欢迎来到衍生工具：远期承诺的定价与估值！

你好！欢迎来到 CFA Level II 课程中数学运算最密集，但也最具收获的章节之一。如果你觉得 Level I 的衍生工具内容有点抽象，不用担心。在这里，我们将从“是什么”转向“怎么做”。我们将学习如何为合约定价，并计算随着时间推移，这些合约具体值多少钱。你可以把它视为学习金融世界中一些大型交易背后的“公平市场数学”。让我们开始吧！

1. 根本区别：定价 (Pricing) 与 估值 (Valuation)

在触碰任何公式之前，我们必须先厘清一个常见的误区。在远期承诺（远期合约、期货和互换）的世界里，定价 (Pricing) 与 估值 (Valuation) 是两件截然不同的事情。

定价 (Pricing)： 发生在最开始（时间点 0）。这是确定将写入合约的远期价格 (\(F_0\)) 的过程。此时，合约对双方而言价值为零，因为这是一笔公平的交易，且双方无须支付任何款项。

估值 (Valuation)： 发生在合约开始之后。随着市场价格和利率的变动，其中一方会开始“获利”，另一方则开始“亏损”。价值 (\(V_t\)) 是指一方为了在今天终止合约，需要支付给另一方的金额。

类比： 假设你今天同意在六个月后以 500,000 美元购买一栋房子。定价就是决定那个 500,000 美元的数字。估值则是发生在三个月后——如果房价飙升至 600,000 美元，那么这份合约对你来说就变得非常有价值！

快速总结：
• 在合约初始 (\(t=0\))：价值为零。
• 在存续期间 (\(t > 0\))：价值根据市场波动而变动。
• 在到期时 (\(t=T\))：价值为现货价格与远期价格之间的差额。

2. 远期合约的定价与估值

这里的核心原则是无套利 (No-Arbitrage)。我们假设你无法通过同时购买资产并卖出远期合约来获得无风险利润。

A. 股票远期合约（无收益）

这是最简单的情况。对于无股息股票的远期合约定价，我们只需将现货价格 (\(S_0\)) 按照无风险利率 (\(r\)) 进行复利计算。

公式：
\(F_0 = S_0 \times (1 + r)^T\)

等等！如果我们使用连续复利呢？
\(F_0 = S_0 \times e^{rT}\)

B. 附有收益的股票远期合约（股息）

如果股票支付股息，持有实物股票的人会收到现金，但持有远期合约的人却不会。因此，远期价格必须更低，以反映这种“损失的”收入。

公式（离散收入）：
\(F_0 = (S_0 - PV_{dividends}) \times (1 + r)^T\)

公式（连续收益率，\(q\)）：
\(F_0 = S_0 \times e^{(r-q)T}\)

C. 如何计算价值 (\(V_t\))

如果起初看起来有点棘手也不用担心！价值就是目前的现货价格减去你之前同意支付的价格之“现值”。

公式：
\(V_t = S_t - [F_0 / (1 + r)^{T-t}]\)

应避免的常见错误： 计算价值时，请务必使用剩余时间 (\(T-t\))，而不是原始期限 (\(T\))。

关键要点： 远期价格只是现货价格加上持有成本（利息减去收益）后推移到未来的值。

3. 远期利率协议 (FRAs)

FRA 是一份在未来以特定利率借款或贷款的合约。在 Level II 中，我们使用先设定、后结算 (Set in Advance, Settled in Arrear) 的逻辑，但付款通常会折现到贷款期开始时。

理解标记法

如果你看到一个 "2 x 5 FRA"，这意味着：
• “贷款”从现在起 2 个月后开始。
• “贷款”在现在起 5 个月后结束。
• 贷款本身的期限为 3 个月（5 减 2）。

FRA 的收益

收益基于参考利率 (\(L\)) 与 FRA 利率 (\(IFR\)) 之间的差额。

收益公式：
\(Payoff = \frac{(L - IFR) \times Days/Year}{1 + (L \times Days/Year)} \times Principal\)

你知道吗？ 我们将收益进行折现，是因为 FRA 的付款通常在贷款期开始时进行，但被避险的利率却适用于期末。我们必须将该未来价值折算回现在！

4. 互换合约 (Swaps) 的定价与估值

互换合约看起来可能很吓人，因为它们涉及多次付款，但这里有个秘密：互换合约就是一系列捆绑在一起的远期合约。

A. 利率互换 (Interest Rate Swaps)

在标准的“平价式”(Plain Vanilla) 互换中，一方支付固定利率并收取浮动利率（如 LIBOR 或 SOFR）。为了找到固定利率（即互换利率），我们使用折现因子 (\(Z\))。

固定互换利率 (\(C\)) 的公式：
\(C = \frac{1 - Z_n}{\sum Z_i}\)

用白话说： 互换利率等于（1 减去最后一个折现因子）除以所有折现因子的总和。

B. 货币互换 (Currency Swaps)

货币互换很独特，因为：
1. 本金在期初进行交换。
2. 利息以不同货币支付。
3. 本金在期末换回。

计算货币互换价值的步骤：
1. 计算该货币自身的“固定端”价值。
2. 计算该货币自身的“浮动端”（或第二个固定端）价值。
3. 使用当前现货汇率将它们转换为同一种货币。
4. 将两者相减。

C. 权益互换 (Equity Swaps)

在权益互换中，你可能会用标普 500 指数的报酬去交换固定利率。
• 定价： 固定利率的计算方式与利率互换类似。
• 估值： 价值 = (新的权益价格 / 旧的权益价格) - (固定端的价值)。
小技巧： 如果权益价格上涨了 10%，则“权益端”直接就是名义本金的 1.10 倍。

快速复习：
• 利率互换： 使用折现因子找出固定利率。
• 货币互换： 两种不同货币；别忘了交换本金！
• 权益互换： 其中一方为简单的百分比报酬。

5. 期货定价

你可能会问：“远期合约和期货不是一样的吗？”在数学上它们非常接近，但有一个重大区别：逐日结算 (Marking to Market)。

由于期货是每日结算的，期货合约的价值 (\(V_t\)) 在每个交易日结束时都会重置为零。任何收益或亏损都会立即在你的保证金账户中实现。

你知道吗？ 如果利率保持不变且与资产价格呈正相关，期货价格会略高于远期价格。然而，对于 CFA Level II 考试，除非题目另有说明，否则我们通常将它们视为相同。

总结与最后小贴士

1. 依照时间轴： 一定要画出时间轴。标示出你目前所处的位置 (\(t\)) 以及剩余时间 (\(T-t\))。
2. 现值法则： 衍生工具中几乎所有的估值公式都是：（我今天拥有的东西）减去（我承诺在未来进行的交易之现值）。
3. 不要被符号吓到： 无论是 \(S_0 \times e^{rt}\) 还是 \(S_0 \times (1+r)^T\)，逻辑都是一样的：使用适当的利率将资金在时间轴上进行移动。

关键要点： 定价是为了在初始时找到“公平”利率，使合约价值为零。估值是在市场波动后衡量“赢家的获利”。精通折现因子，你就掌握了互换合约！