Fractions, decimals and percentages

你好，未来的数学家！欢迎来到“数感中心”！

本章是数学的绝对基础。分数、小数和百分数（FDP）只是表示整体中一部分的三种不同方式——就像同一个数字的三种不同语言。熟练掌握它们之间的转换和运算，不仅能显著提升你的考试成绩，还能帮你管理零花钱、理解统计数据，并在现实生活中游刃有余！

如果以前觉得分数很难，不用担心。我们会一步步拆解每一个概念。相信自己，你一定行！

1. 理解三种形式 (C1.4 / E1.4)

分数：整体的一部分

分数代表整体数量的除法或一部分。

• 分子 (Numerator)： 上面的数字（表示你拥有的部分数量）。
• 分母 (Denominator)： 下面的数字（表示组成整体需要的总部分数）。

我们需要了解三种关键的分数类型：

1. 真分数 (Proper Fractions)： 分子小于分母（例如 \(\frac{3}{4}\)）。其数值小于 1。

2. 假分数 (Improper Fractions)： 分子大于或等于分母（例如 \(\frac{7}{4}\)）。其数值大于或等于 1。

3. 带分数 (Mixed Numbers)： 由整数和真分数组成（例如 \(1 \frac{3}{4}\)）。

关键任务：假分数与带分数的互化

假分数化带分数： 用分子除以分母。

例子： 将 \(\frac{11}{3}\) 化为带分数。

• 11 除以 3 等于 3，余数为 2。
• 整数部分为 3，余数 (2) 成为新的分子。
• 结果：\(3 \frac{2}{3}\)。

带分数化假分数： 用整数部分乘以分母，再加上分子。

例子： 将 \(2 \frac{1}{5}\) 化为假分数。

• \((2 \times 5) + 1 = 11\)。
• 结果：\(\frac{11}{5}\)。

小数：十进制的力量

小数是使用十进制系统书写的分数。每个数字的位置代表其位值（十分位、百分位、千分位等）。

例子：0.25 读作“二十五百分之一”，即分数 \(\frac{25}{100}\)。

百分数：以 100 为基数

百分数（符号 \%）的意思是“每 100 当中”。它实际上就是一个分母固定为 100 的分数。

你知道吗？ “Percent”一词源自拉丁语短语 per centum，意思是“每百个”。

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关键点 1：等价性

这三种形式——分数、小数、百分数——代表的是相同的数值。你必须能够熟练地在它们之间进行转换。

2. 识别等价性与转换 (C1.4 / E1.4)

你必须能够轻松地将一个数值从一种形式转换为另一种。

A. 分数转小数 (F → D)

法则：分子除以分母。

$$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$$

注意：有些分数（如 \(\frac{1}{3}\)）会导致循环小数 (0.333...)。

B. 小数转百分数 (D → P)

法则：将小数乘以 100。

技巧：将小数点向右移动两位，并加上 % 符号。

$$0.42 \times 100 = 42\%$$

$$1.5 \times 100 = 150\%$$

C. 百分数转分数 (P → F)

法则：写成以 100 为分母的分数，并进行约分。

$$75\% = \frac{75}{100}$$

约分（分子分母同时除以 25）：

$$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$$

D. 百分数转小数 (P → D)

法则：将百分数除以 100。

技巧：将小数点向左移动两位，并去掉 % 符号。

$$6.5\% = 6.5 \div 100 = 0.065$$

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速记盒：转换三角图

F → D： 除法
D → P： \(\times 100\)
P → F： 放在 100 下，并约分

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3. FDP 的四则运算 (C1.6 / E1.6)

请记住，在进行复杂运算时，务必遵循运算顺序（BODMAS/BIDMAS）。

A. 分数运算

1. 加法与减法

分数相加减时，分母必须相同（即通分）。

步骤 1： 找到分母的最小公倍数 (LCM)。

步骤 2： 将两个分数都转换为以 LCM 为公分母的等值分数。

步骤 3： 分子相加减，分母保持不变。

例子： 计算 \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\)。

• 4 和 3 的 LCM 是 12。
• 转换：\(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\)，\(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\)。
• 计算：\(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}\)。

2. 乘法

法则：分子相乘作分子，分母相乘作分母。

步骤 1： 分子相乘。

步骤 2： 分母相乘。

步骤 3： 约简结果。

例子： 计算 \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\)。

$$\frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20}$$

约分：\(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)。

3. 除法

法则：保持第一个分数不变，将除号变为乘号，并将第二个分数颠倒（求倒数）。

记忆口诀： K.C.F. (Keep, Change, Flip - 保持、改变、颠倒)

例子： 计算 \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{5}\)。

• 保持 \(\frac{1}{2}\)。
• 将 \(\div\) 改为 \(\times\)。
• 将 \(\frac{3}{5}\) 颠倒为 \(\frac{5}{3}\)。
• 计算：\(\frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}\)。

B. 小数运算

在进行小数计算（尤其是在无计算器试卷中）时，对齐位置是关键。

• 加/减法： 务必对齐小数点。在末尾补零（占位符）可以有效减少错误。
• 乘法： 先忽略小数点进行整数乘法，然后数一下原数中总共有多少位小数，在结果中点上相应的小数点。
• 除法： 如果除数是小数，移动除数和被除数的小数点，直到除数变成整数为止。

避免常见错误： 在将分数转化为小数时，要注意处理舍入问题。如果题目要求保留 3 位有效数字 (3 s.f.)，请在最后一步结果中舍入，中间过程不要过早取整。

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关键点 2：分数运算

加减法需要找公分母。乘法直接相乘。除法使用 KCF 规则。

4. 百分数核心计算 (C1.12 / E1.12)

百分数问题通常分为两类：

A. 计算某个数量的百分比

这通常是指已知“整体”和“百分比”，求“部分”的数值。

例子： 求 600 的 30%。

方法 1：使用小数（建议在有计算器时使用）

将百分数转化为小数并相乘。

$$30\% = 0.30$$

$$0.30 \times 600 = 180$$

结果：180

方法 2：使用分数/心算（适用于无计算器考试）

利用基础百分数（10%, 1%, 50% 等）。

• \(600 \text{ 的 } 10\% = 60\)。
• \(30\% = 3 \times 10\%\)。
• \(3 \times 60 = 180\)。

B. 将一个数量表示为另一个数量的百分比

这相当于在问：“A 是 B 的百分之多少？”

法则：写成分数，然后乘以 100%。

$$\text{百分比} = \frac{\text{部分}}{\text{整体}} \times 100\%$$

例子： 一位学生在 60 分的总分中得了 45 分。其百分比是多少？

$$\frac{45}{60} \times 100\%$$

先约分：\(\frac{45}{60} = \frac{3}{4}\)。

$$\frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$$

C. 计算百分数的增加或减少 (C1.12.3)

百分比变化表示一个数值相对于其原始值增加了多少或减少了多少。

方法 1：两步计算法（较长但更稳妥）

1. 计算实际增加或减少的数额。

2. 在原始值的基础上加上或减去这个数额。

方法 2：倍数法（更高效，且必不可少）

倍数是一个单一的小数，用它乘以原始值即可得到最终值。

• 增加： 以 100% 为基准，加上百分数，转化为小数（例如，增加 20%：\(100\% + 20\% = 120\% = 1.2\)）。
• 减少（折扣）： 以 100% 为基准，减去百分数，转化为小数（例如，减少 15%：\(100\% - 15\% = 85\% = 0.85\)）。

例子： 将 450 增加 12%。

• 新百分比：\(100\% + 12\% = 112\%\)。
• 倍数：1.12。
• 最终计算：\(450 \times 1.12 = 504\)。
• 结果：504

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关键点 3：倍数法

处理百分比增加或减少时，务必使用倍数法，尤其是在处理货币或多次变化时。这种方法更快，且不容易产生舍入误差。

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5. 金融数学：单利与复利 (C1.12.4)

大纲要求你进行单利和复利计算。请注意，考试不提供公式，因此你必须理解其背后的概念和过程。

A. 单利 (Simple Interest, SI)

单利仅根据初始投入或借入的金额（即本金, P）进行计算。每年赚取的利息金额都是相同的。

• P = 本金 (起始金额)
• R = 利率 (通常为每年利息的百分比，计算时需转化为小数)
• T = 时间 (以年为单位)

通常使用的公式是：总利息 \(= P \times R \times T\)。(计算出利息后，最后加到本金上即为总额)。

例子： 计算 5000 元以每年 4% 的单利存 3 年的利息。

• 利率 R = 0.04。
• 每年利息：\(5000 \times 0.04 = 200\)。
• 总利息：\(200 \times 3 = 600\)。

B. 复利 (Compound Interest, CI)

复利是根据初始本金以及之前积累的所有利息来计算的。

类比： 单利就像只从你最初播下的种子中获益。复利就像是从种子加上你去年长出的庄稼（利息）中获益。

这里我们使用倍数法，按年数进行多次乘积。

复利倍数： \((1 + \frac{\text{利率}}{100})\)

总额 \(A\) = 本金 \(P\) \(\times\) (倍数)^{时间 \(n\)}

$$A = P (1 + R)^n$$

例子： 计算 5000 元以 4% 的复利存 3 年后的最终金额。

• 倍数 R = 1.04。
• 最终金额：\(5000 \times (1.04)^3\)。
• \(5000 \times 1.124864 = 5624.32\)。
• 结果：$5624.32 (总利息为 \(5624.32 - 5000 = 624.32\))。

6. 扩展内容：逆向百分比 (E1.12.5)

这是仅针对 Extended 学生的关键技能，也经常让人混淆！逆向百分比用于已知百分比变化后的最终金额，需要推导原始起始金额的情况。

逆向百分比的黄金法则：

$$\text{原始值} = \frac{\text{最终值}}{\text{倍数}}$$

步骤 1： 确定最终值代表的百分比（即 \(100\% + X\%\) 或 \(100\% - X\%\)）。

步骤 2： 找出对应的小数倍数。

步骤 3： 用最终值除以这个倍数。

例子 1（增加）： 一家店卖一件夹克，利润率为 20%，售价为 180 元。原价是多少？

• 最终价格 (180 元) 代表 \(100\% + 20\% = 120\%\)。
• 倍数：1.20。
• 原始价格：\(\frac{180}{1.20} = 150\)。
• 结果：原价为 150 元。

例子 2（减少）： 打 15% 的折扣后，洗衣机售价为 765 元。原价是多少？

• 最终价格 (765 元) 代表 \(100\% - 15\% = 85\%\)。
• 倍数：0.85。
• 原始价格：\(\frac{765}{0.85} = 900\)。
• 结果：原价为 900 元。

⚠ 逆向百分比的常见错误 ⚠

千万不要试图直接去求最终价格的百分比。例如，如果 180 元比原价高出 20%，原价绝不是 \(180 - (180 \times 0.20)\)。这是错误的！请永远使用“除以倍数”这个方法！

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最后总结：FDP 小结

分数、小数和百分数是数值的不同呈现方式。熟练转换能让我们根据题目选择最简便的形式进行计算（例如，算百分比时用小数，非计算器考试时用分数）。对于所有涉及增长或衰减的金融计算（利息、盈亏、折旧），倍数法是最强大的工具。