Inequalities

🌟 代数第二章：不等式 🌟

欢迎来到不等式章节！在之前的学习中，你已经花费了很多时间解方程（即方程两边相等的情况）。但在现实世界中，事物往往并不完全相等。我们时刻都在处理各种限制条件、预算和最低要求。

本章将教你如何用数学语言描述各种数量关系，比如一个量大于、小于或至多另一个量。掌握不等式对于解决数学问题以及其他领域的实际应用至关重要！

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第 1 节：不等式基础与符号表示

不等式是一个数学陈述，用来表示两个不相等的表达式之间的关系。

不等式关键符号

符号	含义	不等式类型
\(<\)	小于	严格不等式
\(>\)	大于	严格不等式
\(\leq\)	小于或等于	非严格不等式（包含）
\(\geq\)	大于或等于	非严格不等式（包含）
\(\neq\)	不等于	（在 IGCSE 题目中较少见）

在数轴上表示不等式 (C2.6 / E2.6)

由于不等式通常有许多可能的解（即一个数值范围），我们使用数轴来清晰地展示解集。圆圈的标记方式非常关键：

1. 严格不等式 (< 或 >)： 使用空心圆圈。
   这表示该数字本身不包含在解集中。

   例子： \(x > 2\)。数字 2 不是解，但 2.000001 是。

2. 非严格不等式 (≤ 或 ≥)： 使用实心圆圈。
   这表示该数字本身包含在解集中。

   例子： \(x \leq 5\)。数字 5 是解。

💡 记忆小贴士：
符号 \(\leq\)（小于或等于）下方有一条线，就像实心的底座。所以要用实心（封闭）圆圈。
符号 \(<\)（小于）中间是空的，所以用空心圆圈。

示例表示：

\(x > -1\)
<-----O------|------|------|------|-----> x
      -2     -1      0     1     2

\(x \leq 3\)
<-----|------|------|------●-----> x
      1     2     3     4     5

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第 2 节：解线性不等式 (C2.6 / E2.6)

解线性不等式与解线性方程的方法几乎完全相同。你需要运用同样的运算规则（加、减、乘、除）来分离变量 (\(x\))。

不等式的金科玉律

这里有一个关键区别，同学们经常会忘记。这也是本章最常见的错误！

如果你不等式两边同时乘以或除以一个负数，必须改变不等号的方向。

为什么呢？让我们用一个简单的类比：
我们知道 \(5 > 2\)，这是正确的。
如果我们将两边同时乘以 \(-1\)：
变为 \(-5\) 和 \(-2\)。
此时，\(-5\) 实际上小于 \(-2\)。因此，我们必须翻转符号：\(-5 < -2\)。

分步解题流程

例 1（基础核心例题）： 解 \(5 - 2x \leq 13\)

1. 两边同时减去 5：
   \(5 - 2x - 5 \leq 13 - 5\)
   \(-2x \leq 8\)
2. 两边同时除以 -2（金科玉律警告！）：
   因为我们要除以一个负数（\(-2\)），所以必须将 \(\leq\) 翻转为 \(\geq\)。
   \(\frac{-2x}{-2} \geq \frac{8}{-2}\)
   \(x \geq -4\)
3. 解读： 解为所有大于或等于 -4 的数。（在数轴上，这表示为在 -4 处画实心圆，箭头指向右侧。）

例 2（扩展构造例题）： 解 \(3x < 2x + 4\)

1. 归并 \(x\) 项： 两边同时减去 \(2x\)。
   \(3x - 2x < 4\)
   \(x < 4\)
2. 解读： 解为所有严格小于 4 的数。（在 4 处画空心圆，箭头指向左侧。）

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第 3 节：复合不等式 (Extended E2.6)

复合不等式将两个简单不等式结合成一个语句，通常表示一个连续的取值范围。

例子： \(-3 < x < 5\) 表示 \(x\) 必须同时大于 \(-3\) 且小于 \(5\)。

解复合不等式（“三明治”法）

当解类似 \(a \leq bx + c < d\) 的不等式时，你需要同时对全部三个部分进行相同的运算。

例子： 解 \(-3 \leq 3x - 2 < 7\)

1. 分离中间的 \(x\) 项。 先给三部分同时加上 2：
   \(-3 + 2 \leq 3x - 2 + 2 < 7 + 2\)
   \(-1 \leq 3x < 9\)
2. 分离 \(x\)。 给三部分同时除以 3（因为是正数，不需要翻转符号）：
   \(\frac{-1}{3} \leq \frac{3x}{3} < \frac{9}{3}\)
   \(-\frac{1}{3} \leq x < 3\)
3. 解读（数轴）： 解为从 \(-\frac{1}{3}\)（包含，实心圆）到 3（不包含，空心圆）的所有值。

你知道吗？ 有时将复合不等式拆分为两个独立的不等式分别求解，然后再寻找它们解的交集会更容易。例如，\(-3 \leq 3x - 2 < 7\) 可以拆解为：
1. \(-3 \leq 3x - 2\)
2. \(3x - 2 < 7\)

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第 4 节：图形不等式 (Extended E2.6)

处理双变量不等式（如 \(x\) 和 \(y\)）时，其解不再仅仅是一条线或一个点，而是坐标平面上的整个区域。

边界线与阴影

首先，通过将不等号替换为等号（例如，\(y < 2x + 1\) 变为 \(y = 2x + 1\)）画出边界线。

1. 严格边界 (< 或 >)： 使用虚线。
   （线上的点不属于解集。）
2. 非严格边界 (≤ 或 ≥)： 使用实线。
   （线上的点属于解集。）

阴影约定（IGCSE 0607 考试关键）：

除非题目另有说明，本考纲 (E2.6) 的标准惯例是涂掉不想要的区域（阴影部分代表不满足条件的区域）。这意味着清晰、未涂阴影的空白区域即为解集。

分步法：确定解区域

例子： 找出 \(y > 2x - 1\) 定义的区域。

1. 画边界： 画出直线 \(y = 2x - 1\)。因为不等式是 \(>\)（严格不等式），请使用虚线。
2. 测试点： 选择一个简单的测试点，通常是原点 \((0, 0)\)，代入原不等式：
   \(y > 2x - 1\)
   \(0 > 2(0) - 1\)
   \(0 > -1\)
3. 确定阴影区域：
   • \(0 > -1\) 是否正确？是的。这意味着 \((0, 0)\) 在所需的解区域内。
   • 由于我们涂掉的是不想要的区域，我们需要把不包含 \((0, 0)\) 的那一边画上阴影。

💪 关于 \(y > \text{或 } y <\) 的进阶技巧： 如果不等式写成 \(y > mx + c\) 的形式，目标区域在直线的上方。如果写成 \(y < mx + c\)，目标区域在直线的下方。记住这个规则的前提是：确保 \(y\) 的系数为正！

根据给定图形定义区域

有时题目会给出包含阴影区域的图形，要求你列出定义空白（解）区域的不等式。

步骤：

• 识别每条边界线的方程（\(y = mx + c\) 或 \(x = k\)）。
• 检查边界线是实线（使用 \(\leq\) 或 \(\geq\)）还是虚线（使用 \(<\) 或 \(>\)）。
• 使用原点 \((0, 0)\) 或其他测试点来确定相对于未涂影区域的正确不等号方向。

例如，如果边界是 \(y = 1\)（实线），且未涂影的解区域在它上方，则不等式为 \(y \geq 1\)。

使用 GDC 解方程/不等式 (Extended E2.6.3)

图形显示计算器 (GDC) 是可视化和解决不等式的强大工具，特别是对于那些不熟悉或非线性的不等式（尽管此考纲主要关注线性不等式）。

要解类似 \(2x^2 + 3 < 11\) 的不等式：

1. 绘制 \(y_1 = 2x^2 + 3\) 和 \(y_2 = 11\) 的图像。
2. 找到两条曲线的交点。这些点定义了解的边界。
3. 观察图像：抛物线 \(y_1\) 在水平线 \(y_2\) 下方的部分在哪里？该区段对应的 \(x\) 值即为你的解。