Relative and expected frequencies

你好，未来的概率专家！

欢迎来到相对频率（Relative Frequency）与期望频率（Expected Frequency）的奇妙世界！如果说理论概率（比如 \(P(\text{正面}) = 0.5\)）告诉我们“应该”发生什么，那么本章将告诉你当我们在进行实验时“实际”发生了什么，以及如何基于此做出预测。

别担心，这听起来可能有点复杂——我们只是把数学知识与现实世界的结果联系起来，比如判断一枚硬币是否“公平”，或者根据一支球队过去的表现来预测他们可能赢得多少场比赛。让我们开始吧！

第1节：什么是相对频率？（实验概率）

1.1 理论与实验的区别

当你初次学习概率（C9.1）时，你接触的是理论概率（Theoretical Probability）。它是基于完美的数学假设得出的。

• 例子： 掷一枚均匀的六面骰子，掷出“4”的理论概率是 \(P(4) = \frac{1}{6}\)。

然而，如果你真的掷六次骰子，你可能并不会正好得到一个“4”！这就是相对频率发挥作用的地方。

1.2 相对频率的定义

相对频率（也称为实验概率）是仅根据实验或观察结果对概率的估计。它显示了某个事件在实验中发生的比例。

相对频率公式

公式非常简单直接：

\[\n\text{相对频率} = \frac{\text{事件发生的次数}}{\text{试验（或实验）的总次数}}\n\]

请记住： 答案的取值范围始终在 0 和 1 之间（或 0% 到 100% 之间）。

1.3 分步示例

想象一下，一名学生转动一个有偏差的转盘 200 次，并记录了结果：

结果（颜色）	频率（转动次数）
红色	45
蓝色	105
绿色	50

问题： 使用相对频率估算转到蓝色的概率。

第 1 步：找出所需数值。
蓝色出现的次数 = 105
试验总次数 = 200

第 2 步：代入公式。
\[\n\text{相对频率（蓝色）} = \frac{105}{200}\n\]

第 3 步：简化或转换（如有需要）。
\( \frac{105}{200} = \frac{21}{40} \) （或者 0.525，即 52.5%）

关键点： 蓝色的相对频率是 0.525。这是基于本次实验，我们对转到蓝色概率的最佳估计。

1.4 大数定律（为什么我们要进行实验）

如果你只转动转盘 5 次，相对频率可能会非常不准确。然而，你重复实验的次数越多（试验总次数越多），相对频率就会越接近真实的理论概率。

记忆小贴士： 试验次数越多，估算越准确！如果让你在基于 10 次试验和 10,000 次试验的相对频率之间做选择，10,000 次试验提供的数据明显会更可靠。

第2节：期望频率（做出预测）

2.1 什么是期望频率？

一旦我们有了已知的概率（无论是理论概率还是准确的相对频率估计值），我们就可以进行预测。期望频率（Expected Frequency）是指如果我们重复某项实验一定次数，我们预测某个事件将发生的次数。

这就是你从总体或一组试验中获得的“期望值”。

期望频率公式

要计算预测值，只需将概率乘以试验总次数：

\[\n\text{期望频率} = P(\text{事件}) \times \text{试验总次数}\n\]

你知道吗？ 期望频率的结果往往不是整数。这完全正常！如果你预期有 12.5 个人会选择香草冰淇淋，这只是意味着最有可能有 12 或 13 个人会选择它。

2.2 分步示例（使用理论概率）

问题： 掷一枚均匀的六面骰子 300 次。你预期掷出大于 4 的数字会出现多少次？

第 1 步：找出事件的概率。
大于 4 的数字意味着掷出 5 或 6。（2 个成功结果）
总可能结果 = 6
\(P(\text{大于 } 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

第 2 步：确定试验总次数。
试验总次数 = 300

第 3 步：计算期望频率。
\[\n\text{期望频率} = P(\text{事件}) \times \text{试验总次数}\n\] \[\n\text{期望频率} = \frac{1}{3} \times 300 = 100\n\]

结论： 我们预期掷出大于 4 的数字正好 100 次。

2.3 使用相对频率进行估算的示例

让我们回到第 1 节中那个有偏差的转盘。我们估算出 \(P(\text{蓝色}) = 0.525\)。

问题： 如果再转动该转盘 500 次，转到蓝色的期望频率是多少？

第 1 步：使用概率的最佳估计值。
\(P(\text{蓝色}) = 0.525\)

第 2 步：确定试验总次数。
试验总次数 = 500

第 3 步：计算期望频率。
\[\n\text{期望频率} = 0.525 \times 500 = 262.5\n\]

结论： 我们预期蓝色会出现 262 次或 263 次。

第3节：核心词汇：公平（Fair）、偏差（Bias）与随机（Random）

这些术语有助于我们理解进行概率实验的条件。

3.1 公平与偏差

这些术语通常指实验中的所有结果是否具有相同的可能性。

• 公平（Fair）：如果一个物体或事件的所有可能结果具有相同的理论概率，那么它就是公平的。
  例子： 标准骰子是公平的，因为 \(P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}\)。
• 偏差（Bias）：如果一个物体或事件的某些结果比其他结果更有可能发生，那么它就具有偏差（或被称为有偏差的）。此时理论概率不相等。
  例子： 一枚加重的硬币可能 80% 的时间都落在正面，这枚硬币就是偏向正面的。

我们使用相对频率的结果来检查是否存在偏差。如果我们掷一枚硬币 1000 次，结果出现了 990 次正面，我们可以非常有把握地得出结论：这枚硬币是有偏差的，尽管从理论上讲它应该是公平的。

3.2 随机

随机（Random）意味着任何单次试验的结果都是不可预测的，且是由机会决定的。

• 随机样本是指总体中的每个个体都有均等机会被抽中的样本。
• 随机过程（如掷骰子或抽卡片）意味着在结果发生之前，它是不确定的。

类比： 即使你知道一枚硬币是公平的（理论概率为 0.5），下一次投掷的结果依然是随机的。知道前面连续出现了 5 次正面，并不会改变第 6 次投掷出现反面的随机概率！