Calculus

欢迎来到微积分：变化的数学！

你好，未来的数学家们！微积分听起来可能让人望而生畏，但它是你将学习的数学领域中最强大、最令人兴奋的部分之一。从本质上讲，微积分就是研究事物如何变化的科学——无论是汽车的速度、曲线的斜率，还是流入水箱的水量。

在考试中，你不会得到任何微积分公式，因此熟练掌握这些法则和概念至关重要。别担心，我们将一步步拆解，轻松攻克！

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第一部分：微分（寻找变化率）

1.1 导函数的概念

微分的核心思想是寻找函数的瞬时变化率。把它想象成汽车的里程表：虽然平均速度很容易计算，但微分能告诉你某个特定时刻的精确速度。

对函数 \(y = f(x)\) 进行微分的结果就是导函数或导数，它给出了曲线在任意点 \(x\) 处的斜率。

核心符号：

• \(y\) 对 \(x\) 的导数记作：\(\frac{dy}{dx}\)
• 如果函数是 \(f(x)\)，其导数记作：\(f'(x)\)
• 二阶导数（进行两次微分）记作：\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\)

你知道吗？ 微分的正式定义基于极限的思想，即观察当 \(\delta x\) 趋近于零 (\(\delta x \to 0\)) 时，\(y\) 的改变量 (\(\delta y\)) 与 \(x\) 的改变量 (\(\delta x\)) 之比的行为。但在附加数学（Add Maths）中，你只需要对这一理念有直观理解即可——不需要从导数定义出发进行求导！

1.2 标准导数与基本法则（教学大纲 14.3）

这些是微积分的基石，你必须熟记于心！

幂法则 (Power Rule)

若 \(y = ax^n\)，则 \(\frac{dy}{dx} = n a x^{n-1}\)。

记忆小贴士（幂法则）： 把指数拉下来，然后将指数减 1。

示例：

• 若 \(y = 5x^3\)，则 \(\frac{dy}{dx} = 3 \times 5x^{3-1} = 15x^2\)。
• 若 \(y = \frac{1}{x} = x^{-1}\)，则 \(\frac{dy}{dx} = (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)。
• 若 \(y = 7\)（常数），则 \(\frac{dy}{dx} = 0\)。

标准函数（注意：必须使用弧度制！）

对于三角函数，所有角度必须以弧度 (radians) 为单位。

1. 指数函数：
若 \(y = e^x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = e^x\)。 (这是最简单的一个！)

2. 对数函数：
若 \(y = \ln x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\)。

3. 三角函数：

• 若 \(y = \sin x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \cos x\)。
• 若 \(y = \cos x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = -\sin x\)。
• 若 \(y = \tan x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x\)。

和差法则与常数倍法则

微分运算可以轻松分配到加减法中，常数项则直接保留：
若 \(y = 3x^2 + 5e^x - 2\)，则 \(\frac{dy}{dx} = 6x + 5e^x - 0\)。

第二部分：高级微分技巧

2.1 链式法则 (Chain Rule)（复合函数）

当你遇到一个函数嵌套在另一个函数内部时（例如 \(y = (3x^2 + 4)^5\)），就需要使用这个法则。

若 \(y\) 是 \(u\) 的函数，且 \(u\) 是 \(x\) 的函数，则：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]

类比：剥洋葱。 先对最外层求导，将内部当作 \(u\)，然后再乘以内部函数的导数 (\(\frac{du}{dx}\))。

示例： 求 \(y = (3x^2 + 4)^5\) 的导数。

1. 外层（幂法则）： \(5(3x^2 + 4)^4\)
2. 内层（\(3x^2 + 4\) 的导数）： \(6x\)
3. 链式法则： \(\frac{dy}{dx} = 5(3x^2 + 4)^4 \times (6x) = 30x(3x^2 + 4)^4\)

链式法则是处理涉及 \((ax+b)\) 的标准函数的关键：

• 若 \(y = \sin(2x+1)\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \cos(2x+1) \times 2 = 2\cos(2x+1)\)。
• 若 \(y = e^{4x}\)，则 \(\frac{dy}{dx} = e^{4x} \times 4 = 4e^{4x}\)。

2.2 乘积法则 (Product Rule)（相乘函数）（教学大纲 14.4）

若 \(y\) 是两个函数 \(u\) 和 \(v\) 的乘积，即 \(y = uv\)，则：
\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \]

示例： 求 \(y = x^2 e^x\) 的导数。设 \(u = x^2\)，\(v = e^x\)。

• \(\frac{du}{dx} = 2x\)
• \(\frac{dv}{dx} = e^x\)
• \(\frac{dy}{dx} = (x^2)(e^x) + (e^x)(2x) = x e^x (x + 2)\)

2.3 商法则 (Quotient Rule)（相除函数）（教学大纲 14.4）

若 \(y\) 是两个函数 \(u\) 和 \(v\) 的商，即 \(y = \frac{u}{v}\)，则：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \]

记忆小贴士（商法则）： “下乘上导，减去上乘下导，分母平方，即可搞定！”（其中“下”为 \(v\)，即分母；“上”为 \(u\)，即分子）。

重要提示： 虽然你可以使用商法则进行除法运算，但通常直接改写函数形式使用乘积法则或链式法则会更简单。例如，将 \(\frac{x}{e^x}\) 改写为 \(x e^{-x}\)，就可以使用乘积法则处理。

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第三部分：微分的应用

3.1 切线与法线（教学大纲 14.5）

切线 (Tangent)

导数 \(\frac{dy}{dx}\) 在特定点 \(x_1\) 的值，就是该点处切线的斜率。

要求切线方程，请使用点斜式：\(y - y_1 = m_{tan} (x - x_1)\)。

法线 (Normal)

法线是与切线在切点处垂直的直线。

若切线斜率为 \(m_{tan}\)，则法线斜率 \(m_{norm}\) 为：
\[ m_{norm} = -\frac{1}{m_{tan}} \]

3.2 驻点（极大值与极小值）（教学大纲 14.6, 14.8, 14.9）

驻点（或转折点）是曲线上斜率为零的点。在这些点上，曲线瞬间是平坦的。

寻找驻点的步骤：
第一步： 求出一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)。
第二步： 令 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 并解出 \(x\)。
第三步： 将求出的 \(x\) 值代回原方程 \(y=f(x)\) 求出对应的 \(y\) 坐标。

注意：你只需处理极大值和极小值。本大纲不包含拐点 (points of inflexion)。

区分极大值与极小值（教学大纲 14.9）

我们需要判定驻点是波峰（极大值）还是波谷（极小值）。有两种标准判定方法：

A) 二阶导数判别法（首选方法）

利用二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)：

• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)（正值），该点为极小值（笑脸，向上凹）。
• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)（负值），该点为极大值（苦脸，向下凹）。

B) 一阶导数判别法（检查驻点两侧的斜率符号）

若二阶导数等于零（或计算过于复杂），检查驻点 \(x=a\) 前后的 \(\frac{dy}{dx}\) 符号：

• 极大值： 斜率从 \((+)\) 变到 \((0)\) 再变到 \((-)\)。
• 极小值： 斜率从 \((-)\) 变到 \((0)\) 再变到 \((+)\)。

判定理由至关重要： 在考试中，你必须列出 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 的值或 \(\frac{dy}{dx}\) 的符号变化，以充分证明你的结论。

3.3 相关变化率与小增量（教学大纲 14.7）

相关变化率

这是指变量随时间 \(t\) 变化的相关性。例如，如果我们知道气球体积的变化速度 (\(\frac{dV}{dt}\))，且已知体积与半径的关系 (\(V\) 和 \(r\))，我们就可以推导出半径的变化速度 (\(\frac{dr}{dt}\))。

我们利用链式法则，通常以时间 \(t\) 为中介：
\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt} \]

小增量与近似计算

当 \(x\) 发生极小的变化 \(\delta x\) 时，\(y\) 的对应小变化 \(\delta y\) 可用导数来近似：
\[ \delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \delta x \]

该公式的基本含义是：\(y\) 的微小改变量近似等于斜率乘以 \(x\) 的微小改变量。

求 \(y\) 的新值：\(y_{new} \approx y_{original} + \delta y\)。

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第四部分：积分（逆向过程）

4.1 不定积分（原函数）（教学大纲 14.10）

积分是微分的逆向过程。如果微分给出了变化率，那么积分就是找回原函数。

当你对一个表达式进行积分时，你执行的是不定积分。

积分法则（逆幂法则）

对 \(x^n\) 进行积分：
\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{其中 } n \neq -1 \]

记忆小贴士： 指数加 1，然后除以新的指数。

任意常数 \(+C\)： 由于任何常数的导数都是零，我们在进行微分的逆运算时会丢失有关原常数的信息。因此，进行不定积分时，你必须始终加上任意常数 \(+C\)。

4.2 标准积分（教学大纲 14.11, 14.12）

这些是标准导数的逆规则，通常针对 \((ax+b)\) 的形式进行推广。切记，如果积分对象是 \((ax+b)\) 的函数，必须除以内部函数的导数，即 \(a\)。

I. 幂法则（一般形式）

\[ \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C, \quad \text{对于有理数 } n \neq -1 \]

II. 特殊情况 \(n = -1\)

当 \(n=-1\) 时，不能除以零。因为 \(\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}\)，所以积分为：
\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]
\[ \int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C \]

III. 指数函数与三角函数（注意：角度始终为弧度！）

• \(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C\)
• \(\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C\)
• \(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C\)
• \(\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C\)

4.3 定积分与面积（教学大纲 14.13）

定积分具有上限和下限（\(a\) 和 \(b\)）。它表示曲线 \(y=f(x)\) 在这些区间内的净面积。

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]

（其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数）。

计算平面面积

定积分计算的是面积。如果曲线位于 x 轴下方，则积分结果会是负的。面积必须总是正的！

曲线与 x 轴之间的面积：

• 若曲线完全在 x 轴上方，面积 = \(\int_{a}^{b} y dx\)。
• 若曲线完全在 x 轴下方，面积 = \(|\int_{a}^{b} y dx|\)（取正值）。
• 若曲线穿过 x 轴，你必须先找出 x 轴截距，将积分拆分为不同的区域，将负面积取绝对值后再相加。

两曲线之间的面积：
面积 = \(\int_{a}^{b} (y_{上} - y_{下}) dx\)
必须首先令两个方程相等以找到交点（\(a\) 和 \(b\)）。

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第五部分：微积分在运动学中的应用

运动学将微积分应用于物体直线运动的情况。位移 (\(s\))、速度 (\(v\)) 和加速度 (\(a\)) 之间的关系是基础。

5.1 运动学中的微分（教学大纲 14.14）

速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。

1. 位移 (\(s\)) \(\to\) 速度 (\(v\))
   \[ v = \frac{ds}{dt} \]
2. 速度 (\(v\)) \(\to\) 加速度 (\(a\))
   \[ a = \frac{dv}{dt} \]
3. 因此： \(a = \frac{d^2s}{dt^2}\)

示例：若位移 \(s = 3t^3 - 10t^2 + 4t + 8\)：
速度 \(v = 9t^2 - 20t + 4\)
加速度 \(a = 18t - 20\)

重要区别：

• 位移 (\(s\))： 相对于固定原点的位置（可为正或负）。
• 路程 (Distance)： 运动的总长度（始终为正）。求路程时，必须找出速度为零的点（物体改变运动方向的位置），并对各段路程的位移大小求和。
• 速率 (Speed)： 速度的大小（始终为正）。

5.2 运动学中的积分（教学大纲 14.14）

积分用于逆运算，寻找原速度函数或位移函数。

1. 加速度 (\(a\)) \(\to\) 速度 (\(v\))
   \[ v = \int a dt \]
2. 速度 (\(v\)) \(\to\) 位移 (\(s\))
   \[ s = \int v dt \]

进行积分时，需要使用任意常数 \(+C\)。要求出 \(C\) 的值，必须已知初始条件（例如，当 \(t=0\) 时 \(v=5\)，或当 \(t=1\) 时 \(s=2\)）。

5.3 运动学图像（教学大纲 14.15）

由微积分推导出的关键关系也适用于图象分析：

1. 速度-时间图像 (v-t graph)：

• 图像的斜率给出加速度 (\(\frac{dv}{dt}\))。
• 图像下方的面积给出位移 (\(\int v dt\))。

2. 位移-时间图像 (s-t graph)：

• 图像的斜率给出速度 (\(\frac{ds}{dt}\))。

3. 加速度-时间图像 (a-t graph)：

• 图像下方的面积给出速度的变化量 (\(\int a dt\))。