欢迎来到第 4 章：方程、不等式与函数图像！
你好，未来的附加数学（Additional Mathematics）专家！这一章非常重要，因为它汇集了你学过的许多技能（比如解二次方程），并将它们应用到新的、复杂的领域中，尤其是处理模函数（Modulus Function）以及使用代换法（Substitution）解各类复杂的方程。
如果觉得绝对值有点棘手，不必担心。我们将通过简单的规则和视觉辅助手段将其拆解。掌握这一主题将极大地增强你解决问题的信心！
第 1 节：求解涉及模（绝对值）的方程
什么是模函数？
一个数的模（或绝对值），记作 \(|x|\)，就是它的非负值。你可以把它看作该数在数轴上到零点的距离。由于距离永远是正数，模的输出结果绝不为负。
- \(|5| = 5\)
- \(|-5| = 5\)
- 类比：模函数就像一名安全警卫，会强行抹去负号。
1.1 基本模方程：\(|ax + b| = c\)
如果 \(| \text{表达式} | = c\)，意味着模内的值可能是 \(c\) 或 \(-c\)。
分步解题法：
- 去掉模号。
- 将表达式分别设为等式右侧的正值和负值。
- 解这两个线性方程。
示例：解方程 \(|2x - 1| = 5\)。
- 情况 1：\(2x - 1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3\)
- 情况 2：\(2x - 1 = -5 \implies 2x = -4 \implies x = -2\)
解集为 \(x = 3\) 或 \(x = -2\)。
1.2 复杂模方程：线性函数
当方程的两边都出现变量，或者两边都有模号时，主要有两种代数方法：
方法 A：两边平方（适用于所有形式）
如果 \(|A| = |B|\)，那么 \(A^2 = B^2\)。这很有用，因为平方会彻底消去模号。
示例：解方程 \(|3x - 2| = |x + 4|\)。
- \((3x - 2)^2 = (x + 4)^2\)
- \(9x^2 - 12x + 4 = x^2 + 8x + 16\)
- \(8x^2 - 20x - 12 = 0\)
- 两边同时除以 4：\(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
- \((2x + 1)(x - 3) = 0\)
- 解为：\(x = 3\) 或 \(x = -0.5\)
关键提示：如果只有一边有模（例如 \(|ax + b| = cx + d\)），平方可能会引入增根（extraneous roots）（即在原方程中不成立的解）。你必须将最终结果代回原方程进行验证。
方法 B：定义法（分情况讨论）
根据模内表达式何时为正、何时为负来拆分方程。
示例：解方程 \(|x| = x - 2\)。
- 情况 1：\(x \geq 0\)（模号不起作用）
\(x = x - 2 \implies 0 = -2\)。这显然是不可能的。此种情况下无解。 - 情况 2：\(x < 0\)（模号导致符号改变）
\(-x = x - 2 \implies 2 = 2x \implies x = 1\)。
但是，我们假设了 \(x < 0\)。由于 \(x = 1\) 违背了这一条件，所以舍去。
结论：方程 \(|x| = x - 2\) 无解。
1.3 模内的二次方程：\(|ax^2 + bx + c| = d\)
这遵循基本的拆分法（见第 1.1 节）：
示例：解方程 \(|x^2 - 3x| = 2\)。
- 令 \(x^2 - 3x = 2\)
\(x^2 - 3x - 2 = 0\)。使用求根公式求解。 - 令 \(x^2 - 3x = -2\)
\(x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0\)。解为：\(x=1\) 和 \(x=2\)。
快速回顾：模方程
解模方程时：一定要拆分为两种情况（或者选择两边平方，但如果方程不是 \(|A| = |B|\) 的形式，记得检查是否有增根）。
第 2 节：求解模不等式
解不等式的核心思路与解方程相同（模内的值靠近正边界或负边界），但一定要特别注意不等号的方向。
2.1 线性模不等式：规则
这里有两个非常有用的记忆法。设 \(a\) 为正实数。
规则 1：小于（Less ThAND，即小于取中间）
如果 \(|x| < a\)，解集在负边界和正边界之间。
$$|x| < a \implies -a < x < a$$
示例：解 \(|2x + 3| \leq 7\)。
- \(-7 \leq 2x + 3 \leq 7\)
- 各部分同时减去 3：\(-10 \leq 2x \leq 4\)
- 同时除以 2：\(-5 \leq x \leq 2\)
规则 2：大于（GreatOR Than，即大于取两边）
如果 \(|x| > a\)，解集在边界之外，用“或（OR）”连接。
$$|x| > a \implies x < -a \quad \text{或} \quad x > a$$
示例：解 \(|4x - 1| > 5\)。
- 情况 1（正）：\(4x - 1 > 5 \implies 4x > 6 \implies x > 1.5\)
- 情况 2（负）：\(4x - 1 < -5 \implies 4x < -4 \implies x < -1\)
解集：\(x < -1\) 或 \(x > 1.5\)。
2.2 两边都有变量的不等式
最稳妥的代数方法是两边平方，前提是我们要确保求解前将一侧化简为零。
示例：解 \(|x - 5| < 2x\)。
- 两边平方：\((x - 5)^2 < (2x)^2\)
- \(x^2 - 10x + 25 < 4x^2\)
- \(0 < 3x^2 + 10x - 25\)
- 因式分解：\(3x^2 + 10x - 25 = (3x - 5)(x + 5)\)
二次不等式 \((3x - 5)(x + 5) > 0\) 的解为 \(x > 5/3\) 或 \(x < -5\)。
等一下！别忘了限制条件！由于左侧 \(|x-5|\) 必须 \(\geq 0\)，右侧 \(2x\) 也必须为正。
- 限制：\(2x > 0 \implies x > 0\)。
我们将二次不等式的解与限制条件 \(x > 0\) 结合：
- \(x < -5\)（舍去，因为不满足 \(x > 0\)）。
- \(x > 5/3\)（保留）。
最终解：\(x > 5/3\)。
2.3 图象法求解模不等式
你可以通过画出等式两边的函数图像，观察哪个图像在上方或下方，从而解出不等式。
示例：解 \(|x| < x - 2\)（参考前文示例）。
- 画出 \(y = |x|\)（原点处的 V 形图）。
- 画出 \(y = x - 2\)（y 轴截距为 -2 的直线）。
你会发现 \(y = |x|\) 的图像永远不会低于 \(y = x - 2\)。因此，此题无解。（这证实了我们第 1.2 节的代数结论！）
关键要点：模不等式
记住“小于取中间”(\( -a < x < a \)) 和“大于取两边”(\( x < -a \) 或 \( x > a \))。如果两边都有变量，平方通常最快，但一定要时刻检查模函数带来的非负性限制。
第 3 节：使用代换法解相关方程 (4.3)
有时方程看起来很复杂，但如果你仔细观察，会发现它符合标准二次方程 \(ay^2 + by + c = 0\) 的模式。这时代换法就能派上大用场！
代换策略
目标是通过令一个复杂的项等于新变量 \(y\)，来简化非标准方程。
- 识别核心项：寻找一个出现了两次的表达式，其中一个项的平方恰好是另一个项（例如 \(y\) 和 \(y^2\)）。
- 代换：令 \(y\) 等于该核心项。
- 解二次方程：求出 \(y\)。
- 回代：将 \(y\) 换回原表达式，解出 \(x\)。
3.1 指数方程示例
涉及指数的方程是代换法的常用对象。
示例：解方程 \(3e^{2x} = 12 - 5e^{x}\)
- 整理为标准二次型：
\(3e^{2x} + 5e^x - 12 = 0\) - 令 \(y = e^x\)。由于 \(e^{2x} = (e^x)^2\)，方程变为：
\(3y^2 + 5y - 12 = 0\) - 解 \(y\)：\((3y - 4)(y + 3) = 0\)。
\(y = 4/3\) 或 \(y = -3\)。 - 回代：
- 情况 1：\(e^x = 4/3 \implies x = \ln(4/3)\)
- 情况 2：\(e^x = -3\)。由于 \(e^x\) 必须为正，此情况无解。
3.2 对数和分数幂示例
示例 1（对数）：解 \(2(\ln 5x)^2 + \ln 5x - 6 = 0\)。
- 令 \(y = \ln 5x\)。
- 方程变为 \(2y^2 + y - 6 = 0\)。
- \((2y - 3)(y + 2) = 0\)。故 \(y = 3/2\) 或 \(y = -2\)。
- 回代：
\(\ln 5x = 3/2 \implies 5x = e^{3/2} \implies x = \frac{1}{5}e^{3/2}\)
\(\ln 5x = -2 \implies 5x = e^{-2} \implies x = \frac{1}{5}e^{-2}\)
示例 2（分数幂）：解 \(x^{2/3} + x^{1/3} - 12 = 0\)。
- 注意 \(x^{2/3} = (x^{1/3})^2\)。
- 令 \(y = x^{1/3}\)。
- 方程变为 \(y^2 + y - 12 = 0\)。
- \((y + 4)(y - 3) = 0\)。故 \(y = -4\) 或 \(y = 3\)。
- 回代：
\(x^{1/3} = -4 \implies x = (-4)^3 = -64\)
\(x^{1/3} = 3 \implies x = (3)^3 = 27\)
你知道吗？
代换法非常强大，因为它能将对数或指数领域看似复杂的方程，转化为熟悉的二次代数问题。
关键要点：代换法
寻找“一个项是另一个项平方”的结构。记得在最后一步检查限制条件（例如：负数不能取对数，且 \(e^x\) 不能为负）。
第 4 节：三次多项式的图像与不等式 (4.4 & 4.5)
在附加数学中，你需要能够画出三次函数的草图，并理解模函数对其图像的影响，尤其是当三次函数给出因式分解形式时。
4.1 绘制因式分解形式的三次多项式
由三个线性因式定义的三次多项式 \(f(x)\) 形式如下：
$$f(x) = k(x-a)(x-b)(x-c)$$
- 根（x 轴截距）很简单，即 \(x = a\), \(x = b\), \(x = c\)。这就是 \(f(x)=0\) 的位置。
- y 轴截距可以通过计算 \(f(0)\) 得到。
- 整体形状取决于首项系数（包括 \(k\) 在内所有系数的乘积）的符号：
- 如果首项系数为正，图像从左下方（第三象限）开始，向右上方（第一象限）结束。（像一个拉长的 'N'）。
- 如果首项系数为负，图像从左上方（第二象限）开始，向右下方（第四象限）结束。（像一个拉长的 'S'）。
草图示例：\(f(x) = (x+1)(x-2)(x-4)\)
- 根：-1, 2, 4。
- y 轴截距：\(f(0) = (1)(-2)(-4) = 8\)。
- 形状：首项系数为正，从下方进入，穿过 -1，达到峰值，穿过 2，陷入波谷，穿过 4，然后持续上升。
4.2 绘制三次函数的模函数图像：\(y = |f(x)|\)
\(y = |f(x)|\) 的图像是通过对 \(y = f(x)\) 进行变换得到的：
翻折规则：\(y = f(x)\) 图像中所有在 x 轴下方的部分，必须翻折向上，镜像对称到 x 轴上方。原先就在 x 轴上方的部分保持不变。
截距（根）保持不变，但最终的图像在 x 轴截距处会有尖锐的转折点，称为尖点（cusps）。
4.3 图形法解三次不等式 (4.5)
考试要求你通过草图解 \(f(x) \geq d\) 或 \(|f(x)| < d\) 形式的三次不等式。
\(f(x) > d\) 的分步步骤：
- 画出 \(y = f(x)\) 的草图。
- 画出水平直线 \(y = d\)。
- 找出所有交点的 x 坐标（通过解 \(f(x) = d\)）。
- 确定 \(f(x)\) 的草图在直线 \(y = d\) 之上的区间。
示例：利用 \(f(x) = (x+1)(x-2)(x-4)\) 的草图解 \(f(x) \leq 8\)。
- 我们发现 \(f(0) = 8\)，所以图像在 \(x=0\) 时触碰了 \(y=8\)。
- 解 \((x+1)(x-2)(x-4) = 8\)。展开并令其为零：
\(x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = 8\)
\(x^3 - 5x^2 + 2x = 0\)
\(x(x^2 - 5x + 2) = 0\) - 交点为 \(x=0\) 以及 \(x^2 - 5x + 2 = 0\) 的根（记为 \(x_1\) 和 \(x_2\)）。
- 观察草图，我们需要曲线低于或等于 \(y=8\) 的部分。即 \(x \leq x_1\) 以及 \(x_2\) 与 0 之间的区域。
- 最终解将表示为 x 的取值范围。
不等式的重要提示：利用图形法时，如果题目要求精确解，必须通过代数运算求出确切的交点。草图只是为了帮助你确定选择哪些区间。
关键要点：函数图像
绘制三次函数草图时，识别根和端点行为（系数为正从下方开始，负从上方开始）。模函数变换 \(y = |f(x)|\) 仅仅意味着将 x 轴下方的部分“向上镜像”。使用水平直线 (\(y=d\)) 来求解不等式。