欢迎来到二维向量的世界！
你好！本章将带你进入奇妙的向量（Vectors）世界。如果你有时觉得坐标几何略显枯燥，那么向量将为你提供一种强大、直观，且通常更简便的方法来处理运动、方向和几何问题。
如果起初觉得有些棘手，不必担心。向量的应用无处不在——从物理学（描述力与速度）到计算机图形学。学完这份笔记，你将能够利用简洁的代数方法，计算向量模长、确定方向，并解决复杂的几何难题！
1. 基础知识：标量与向量
什么是向量？
向量是一个既有模（magnitude，即大小/长度）又有方向（direction）的量。
- 标量（Scalar）： 只有大小，没有方向（例如：时间、质量、温度、速率）。
- 向量（Vector）： 既有大小又有方向（例如：位移、力、速度）。
向量的表示法（如何书写）
在附加数学（Additional Maths）中，你需要熟悉几种表示向量的方法，它们通常代表在 x 轴和 y 轴方向上的位移。
(a) 粗体小写字母（\(\mathbf{a}\) 或 \(\mathbf{p}\)）
当你看到加粗的变量（如 \(\mathbf{a}\) 或 \(\mathbf{p}\)）时，它代表一个向量。手写时，因为无法加粗，你应该在字母下方画一条横线，例如 a。
(b) 箭头表示法（\(\vec{AB}\)）
这种记法描述了从点 A 出发、指向点 B 的向量。方向至关重要！
- \(\vec{AB}\) 表示从 A 到 B。
- \(\vec{BA}\) 表示从 B 到 A。注意 \(\vec{BA} = - \vec{AB}\)。
(c) 列向量形式（\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)）
这是二维计算中最常见的形式：
类比：可以把它想象成驾驶导航。上面的数字（\(x\)）是水平方向的位移（东/西），下面的数字（\(y\)）是垂直方向的位移（南/北）。
(d) 单位向量形式（\(\mathbf{i}, \mathbf{j}\)）
向量 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 是单位向量（长度为 1 的向量），用于描述基本方向：
- \(\mathbf{i}\) 是 x 轴正方向上的单位向量（\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)）。
- \(\mathbf{j}\) 是 y 轴正方向上的单位向量（\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)）。
因此，向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 也可以写成：
快速回顾： 正确的记法非常重要。始终使用粗体或下划线字母表示向量，并记住 \(\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\) 与 \(5\mathbf{i} - 2\mathbf{j}\) 是等价的。
2. 位置向量与位移向量
位置向量（13.2）
位置向量（position vector）描述了空间中特定点相对于原点（Origin, O）的位置。
- 点 A 的位置向量记为 \(\vec{OA}\)，通常写成 \(\mathbf{a}\)。
- 如果点 A 的坐标是 (3, 5)，则其位置向量为 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\)。
两点间的位移向量
若要找到从点 A 到点 B 的位移向量，需用终点 (B) 的位置向量减去起点 (A) 的位置向量。
记忆秘诀：向量 \(\vec{AB}\) 总是“终点减起点”（B 减 A）。
示例： 如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\)，那么：
\(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\)
重点总结： 位置向量以原点为起点。位移向量（如 \(\vec{AB}\)）描述两点之间的运动轨迹。
3. 向量运算
(a) 向量的模（长度）（13.3）
向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 的模，记作 \(|\mathbf{a}|\)，就是它的长度。我们利用勾股定理（因为 x 和 y 分量构成了一个直角三角形）来计算。
你知道吗？求 \(\vec{AB}\) 的模长，其实就等于坐标几何中两点间的距离公式！
示例： 求 \(\mathbf{v} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}\) 的模长。
\(|\mathbf{v}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) 个单位。
(b) 单位向量（13.2）
单位向量是指模长为 1 的向量。
要找到与 \(\mathbf{a}\) 同方向的单位向量（记作 \(\hat{\mathbf{a}}\)），你需要用原向量除以它的模长。这实际上是将向量“缩放”到长度为 1。
示例： 求 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) 的单位向量（已知 \(|\mathbf{v}| = 5\)）：
\(\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 \\ -4/5 \end{pmatrix}\)
(c) 加法与减法（13.3）
向量的加减法很简单：只需将对应的分量相加或相减即可。
- 加法： \(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\)
- 减法： \(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix}\)
几何意义： 向量加法遵循“首尾相接”规则。如果你沿着 \(\mathbf{a}\) 走，然后再沿着 \(\mathbf{b}\) 走，那么合向量就是 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)。
(d) 数乘（向量与标量相乘）（13.3）
将向量乘以一个标量（实数 \(k\)）会改变其模长，但方向保持不变（除非 \(k\) 为负）。
核心概念：平行向量
如果两个向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 平行，那么其中一个必然是另一个的标量倍数：
(e) 向量相等（13.3）
如果两个向量相等，则它们对应的分量必须相等。这常用于求解未知数。
若 \(\begin{pmatrix} 2p \\ 3+q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}\)：
- x 分量：\(2p = 10 \implies p = 5\)
- y 分量：\(3+q = 7 \implies q = 4\)
常见的避坑指南： 计算模长时，别忘了最后要开根号！\(|\mathbf{a}|\) 是标量（一个数字），而不是向量。
4. 用向量解决几何问题
向量为证明共线或平行等几何性质提供了一种强有力的方法。
(a) 共线（三点共线）
若三点 A、B 和 C 位于同一条直线上，则称它们是共线（collinear）的。
要证明 A、B、C 共线，必须证明以下两点：
- \(\vec{AB}\) 平行于 \(\vec{BC}\)。（即 \(\vec{AB} = k\vec{BC}\) 或 \(\vec{AB} = k\vec{AC}\)）
- 两个向量之间存在一个公共点（如 B 或 A）。
如果它们平行且有一个公共点，那么它们必然在同一条直线上！
(b) 在向量几何中使用比例
如果点 P 将线段 AB 分成 1:2 的比例，这意味着 P 离 A 更近，且 \(\vec{AP}\) 是总距离 \(\vec{AB}\) 的三分之一。
要求点 P 的位置向量 \(\mathbf{p}\)：
\(\mathbf{p} = \vec{OA} + \vec{AP} = \mathbf{a} + \frac{1}{3} (\mathbf{b} - \mathbf{a})\)
复杂问题的策略： 如果题目提供了图形（或者你能自己画图），总是尝试通过已知的向量路径来表示未知向量。例如，要找到 \(\vec{XY}\)，可以尝试 \(\vec{XO} + \vec{OY}\) 这条路径。
重点总结： 向量几何的核心在于：若 \(\mathbf{p} = k\mathbf{q}\)，则向量平行；若它们有公共点，则点共线。
5. 向量运动学：速度与位移
在物理和附加数学中，运动可以用向量完美描述，尤其是在同时考虑速率和方向时。这被称为运动学（kinematics）。
(a) 速度、位移与速率
- 位移（\(\mathbf{s}\)）： 物体在时间 \(t\) 的位置向量。
- 速度（\(\mathbf{v}\)）： 位移的变化率。这属于向量，因为它包含了运动的方向。
-
速率（speed）： 标量，即速度的模长：
速率 = \(|\mathbf{v}|\)
(b) 合成与合向量（13.4）
当物体受到多种运动影响时（如河中的船或风中的飞机），我们使用向量加法来求整体运动，这被称为合向量（resultant vector）。
示例： 一艘船试图横渡河流（速度为 \(\mathbf{v}_B\)），但河流有水流速度（\(\mathbf{v}_C\)）。
合速度（resultant velocity） \(\mathbf{v}_R\) 为向量之和：
如果 \(\mathbf{v}_B = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{v}_C = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)，则合速度为 \(\mathbf{v}_R = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\)。船的实际速率为 \(|\mathbf{v}_R| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}\)。
(c) 碰撞问题
常见应用之一是两个质点 P 和 Q 按照各自的速度向量运动。
如果一个质点从初始位置 \(\mathbf{s}_0\) 出发，以恒定速度 \(\mathbf{v}\) 运动，其在时间 \(t\) 的位移 \(\mathbf{s}_t\) 为：
碰撞条件： 若两个质点 P 和 Q 发生碰撞，它们必须在同一时间 \(t\) 处于同一位置。
求解步骤：
- 用 \(t\) 写出 P 的位置向量方程。
- 用 \(t\) 写出 Q 的位置向量方程。
- 令两个方程相等。
- 令 \(\mathbf{i}\) (x) 分量相等，求解 \(t\)。
- 令 \(\mathbf{j}\) (y) 分量相等，验证该时间 \(t\) 是否成立。
给同学的贴心提示： 在做文字题时，立即将所有信息转化为列向量。例如，“向东 3 m/s 的速度”即 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)；“起始位置在 (1, 4)”意味着 \(\mathbf{s}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)。
重点总结： 速度问题其实就是向量加法在特定情境下的应用。记住公式 \(\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_0 + t\mathbf{v}\)，并记住速率就是速度向量的模长。
本章总结：核心公式记忆表
- 位移 \(\vec{AB}\)： \(\mathbf{b} - \mathbf{a}\)
- 模长 \(|\mathbf{a}|\)： \(\sqrt{x^2 + y^2}\)
- 单位向量 \(\hat{\mathbf{a}}\)： \(\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}\)
- 时间 \(t\) 时的位置： \(\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_0 + t\mathbf{v}\)
- 平行条件： \(\mathbf{a} = k\mathbf{b}\)