📊 第 10 章：统计学（扩展内容）
累积频数图 (Cumulative Frequency Diagrams)

各位数学达人大家好！本章将带你把数据可视化水平提升到一个新的高度。我们之前已经学习过频数表和条形图，但有时我们需要了解数据是如何随着数值变化而不断累积的。这时候，累积频数图就派上用场了！

如果听起来有点复杂，别担心——它其实就是一种画在图表上的“累计总额”。掌握这一课题对于处理大规模分组数据，并快速准确地计算出离散程度和平均值（如中位数）至关重要。


1. 理解累积频数 (CF)

1.1 什么是累积频数？

频数 (Frequency)：告诉你某个数值或某组数据出现了多少次。
累积频数 (Cumulative Frequency, CF)：是频数的逐项累加总和。它告诉你截至某个特定数值之前，数据点的总个数。

类比：想象你在记录每天骑行的公里数。当天的公里数就是“频数”，而你从第一天开始骑行至今的总路程就是“累积频数”。

1.2 创建累积频数表

累积频数通常用于分组的连续型数据。

要制作这张表，你需要两列：组距（数据分组）和频数。然后，计算出每一组的 CF。

计算 CF 的步骤：
  1. 从第一组的频数开始，这就是你的第一个累积频数。
  2. 对于第二组，将其频数与之前的累积频数相加。
  3. 重复此过程，直到完成最后一组。

快速自测： 累积频数栏中的最后一个数值必须等于整个数据集的总频数 (\(N\))。


🔑 关键概念：描点

绘制累积频数图时，需要将 CF 值对应到每一组的上限边界 (Upper Class Boundary)。

原因：累积频数表示的是“小于或等于”某组上限的数据点的总个数。

例子：如果分组是 \(10 < t \leq 20\)，且该组的 CF 为 15，意味着有 15 个数据点小于 20。因此，我们绘制的点坐标为 \((20, 15)\)。


2. 绘制累积频数图（累积频数曲线，Ogive）

这种图表通常被称为 Ogive（累积频数曲线）。能准确地画出它是一项考试必备技能。

2.1 设置坐标轴

  • X 轴（横轴）： 表示数据本身（例如：身高、时间、分数）。请务必清晰地标注该轴。
  • Y 轴（纵轴）： 表示累积频数 (CF)。其范围必须从 0 到总频数 (\(N\))。

2.2 绘图过程

  1. 起始点： 曲线必须从可能的最小值开始，此时 CF 为 0。如果你的第一组数据是 \(10 < x \leq 20\)，你必须先画出 \((10, 0)\)。这确保了图表涵盖了所有数据。
  2. 描点： 将计算出的累积频数对应上限边界进行描点（使用细小的叉号 \(x\)）。
  3. 连线： 用平滑的曲线将各点连接起来（应该是流畅的线条，而不是折线）。这一点非常重要，因为我们处理的是连续型数据，数值的变化应该是平滑过渡的。
⚠️ 常见错误提醒！

千万不要用直尺连接各点（画成一连串的折线）。累积频数代表的是平滑累加的分布。使用直尺会导致画图部分不得分！

此外，记得要对应上限边界描点，而不是中点或下限（除了起始点 \((0, 0)\) 或第一个组的下限）。


3. 解读图表：寻找平均值与离散程度

绘制好平滑的累积频数曲线后，我们就可以用它来估计关键的统计量。这些估计值都是直接从图表上读取出来的。

3.1 中位数 (\(Q_2\))

中位数是数据按顺序排列后的中间值。

寻找中位数的方法：

  1. 计算位置：中位数位置 = \(\frac{N}{2}\)，其中 \(N\) 是总频数。
  2. 在 CF（纵轴）上找到这个位置。
  3. 画一条水平线与曲线相交。
  4. 再从交点向下画一条垂直线到 数据（横轴）上。
  5. 读取数据轴上的值。这就是估计出的中位数。

3.2 四分位数 (\(Q_1\) 和 \(Q_3\))

四分位数将数据分成四等份。

  • 下四分位数 (\(Q_1\))： 25% 位置处的值。
    位置：\(\frac{1}{4} \times N\) 或 \(0.25 \times N\)。
  • 上四分位数 (\(Q_3\))： 75% 位置处的值。
    位置：\(\frac{3}{4} \times N\) 或 \(0.75 \times N\)。

记忆小贴士：\(Q_1, Q_2\)（中位数）, \(Q_3\) 分别对应四分之几：即数据的 25%, 50%, 75%。

3.3 四分位距 (IQR)

IQR 是衡量离散程度的指标，它表示中间 50% 数据的跨度。

公式：
$$IQR = Q_3 - Q_1$$

IQR 较小意味着中间 50% 的数据非常集中；IQR 较大则意味着中间 50% 的数据分布很广。

3.4 百分位数

百分位数将数据分成 100 等份。如果你想找到特定的基准点（例如前 10% 的分数），这就很有用。

寻找 \(P\) 百分位数的方法：

  1. 计算位置：\(\frac{P}{100} \times N\)。
  2. 从数据轴读取对应的数值。

例子：要寻找第 80 百分位数，在 CF 轴上找到 \(0.80 \times N\) 的位置并读取横轴数值即可。


✅ 复习回顾：图表解读

  • CF 图有什么用？ 用于估计分组连续数据的中位数、四分位数和百分位数。
  • 如何找到数据值？ 从 CF 轴出发，横向画到曲线，再向下画到数据轴。
  • 如果题目问：“有多少学生得分低于 70 分？” 在数据轴 (x轴)上找到 70，向上画到曲线，再横向读取对应的 CF (y轴) 数值。
  • 准确性： 始终根据 x 轴提供的刻度读取最终答案，通常保留到合适的精度（除非另有说明，一般保留 3 位有效数字）。

冷知识：

虽然 CF 图非常适合求中位数和四分位数，但它无法用来寻找众数 (Mode)。若要寻找众数，通常需要使用频数折线图或直方图。

继续练习你的绘图和读图技巧——你可以做到的！