数学 (0580) 学习笔记：不等式章节
欢迎来到奇妙的不等式世界！你一定花了不少时间解方程（这类问题的答案通常精确等于某个数字）。但在现实生活中，情况往往没有那么绝对。比如，你可能需要至少 5 升汽油，或者电梯承重的上限可能要求小于 50 公斤。
不等式正是用来处理这些限制条件的。它们描述了一个变量可以取值的范围。这一章与代数和图形密切相关，能帮助你将这些范围直观地呈现出来。如果起初觉得有些棘手也不用担心，我们会一步步拆解其中的规则！
1. 理解不等号
不等式的核心在于搞懂四个主要符号：
- \(<\) ：小于（严格不等式）
- \(>\) ：大于（严格不等式）
- \(\le\) ：小于或等于（非严格不等式/包含不等式）
- \(\ge\) ：大于或等于（非严格不等式/包含不等式）
快速复习小贴士：这些符号
- 把它想象成贪婪的鳄鱼： 符号的开口总是对着较大的一端。
- 如果符号下方有一条横线（\(\le\) 或 \(\ge\)），意味着边界值也被包含在解集内。
类比：限速标志
如果路标显示限速 40 英里/小时，那么你车速 (\(s\)) 的数学不等式就是 \(s \le 40\)。你可以开 40 或更慢。但如果路标要求你必须以高于 5 英里/小时 的速度行驶才能进入快速车道，这就是一个严格不等式：\(s > 5\)。
2. 在数轴上表示不等式 (C2.6 / E2.6.1)
数轴是将满足不等式的所有数字可视化的最佳方式。我们在边界点使用两种不同的圆圈：
2.1 空心圆圈（严格不等式）
如果是不等式是严格的（\(<\) 或 \(>\)），我们使用空心圆圈 (\(\circ\)) 来表示该数字本身不包含在解集中。
- 例 1： \(x > -2\)
这意味着 \(x\) 可以是 -1.9，-1.999，但*绝不能*正好等于 -2。
图示：在 -2 处画一个空心圆圈，并画一条指向右侧的箭头（指向更大的数字）。
2.2 实心圆圈（非严格不等式）
如果不等式是非严格的（\(\le\) 或 \(\ge\)），我们使用实心圆圈 (\(\bullet\)) 来表示该数字被包含在解集中。
- 例 2： \(x \le 5\)
这意味着 \(x\) 可以正好等于 5，或者任何小于 5 的数字。
图示：在 5 处画一个实心圆圈，并画一条指向左侧的箭头（指向更小的数字）。
数轴要点总结： 符号下面有横线（\(\le, \ge\)）意味着圆点是实心的 (\(\bullet\))。没有横线（\(<, >\)）意味着圆点是空心的 (\(\circ\))。
3. 解一元一次不等式 (C2.6 / E2.6.2)
解一次不等式的方法与解一次方程几乎完全一样。你可以对不等式两边进行加、减、乘、除，从而将变量 (\(x\)) 单独分离出来。
3.1 黄金法则：变号
这是方程与不等式之间最重要的区别，也是同学们最容易犯错的地方！
每当你将不等式两边同时乘以或除以一个负数时，必须将不等号的方向调转（翻转）。
黄金法则示例：
初始条件：\(10 > 5\)。这是成立的。
现在，两边同时除以 \(-5\)：
左边：\(10 \div (-5) = -2\)
右边：\(5 \div (-5) = -1\)
因为 \(-2\) 小于 \(-1\)，所以我们必须翻转不等号：
新不等式：\(-2 < -1\)。(成立)
3.2 分步求解
例 3：求解 \(3x + 4 \le 16\)
- 两边同时减去 4：
\(3x \le 16 - 4\)
\(3x \le 12\) - 两边同时除以 3（因为 3 是正数，符号保持不变）：
\(x \le 4\)
解读： 解集包含 4 以及所有比 4 小的数字。
例 4：求解 \(5 - 2x > 1\)
- 两边同时减去 5：
\(-2x > 1 - 5\)
\(-2x > -4\) - 两边同时除以 -2（因为是负数，所以必须翻转符号）：
\(x < (-4) \div (-2)\)
\(x < 2\)
常见误区： 不要仅仅因为题目中出现了负数（如第一步中的 \(-4\)）就翻转符号。只有在你*进行乘除运算的那个数*是负数时，才需要翻转。
要点总结： 解法如同解方程，但务必警惕黄金法则！如果乘或除以负数，一定要翻转不等号。
4. 复合不等式 (C2.6 / E2.6.2)
有时一个变量会受到两侧的限制，从而形成复合不等式。它们看起来像是两个不等式连接在一起。考纲主要侧重于“且 (and)”类型的连接。
例 5：求解 \(-3 < 3x - 2 < 7\)
为了求解，我们需要把 \(x\) 单独留在中间。无论进行什么运算，必须对不等式的所有三个部分同时进行。
- 所有三个部分同时加 2：（消掉中间的 -2）
\(-3 + 2 < 3x - 2 + 2 < 7 + 2\)
\(-1 < 3x < 9\) - 所有三个部分同时除以 3：（3 是正数，符号不变）
\(-1 \div 3 < x < 9 \div 3\)
\(-0.33... < x < 3\)
解读： \(x\) 是任何严格介于 \(-1/3\) 和 3 之间的数值。
在数轴上的表示：
你需要在 \(-1/3\) 处画一个空心圆圈，在 3 处画一个空心圆圈，然后涂黑连接它们的线段。解集就是这两个点*之间*的所有数值。
要点总结： 左右中三边地位平等。对三部分进行相同的运算，直到 \(x\) 孤立在中间为止。
(仅限 Extended 课程)
5. 二元一次不等式的图像 (E2.6.4, E2.6.5)
当你遇到涉及 \(x\) 和 \(y\) 的不等式（如 \(y < 2x + 1\)）时，解集就不再是数轴上的一段线，而是笛卡尔坐标系中的一个区域。
求解这类问题需要画出边界线，然后阴影标出要求的区域。
第一步：确定边界线及其样式
首先，忽略不等号，画出对应的直线方程 (\(y = mx + c\))。
-
严格不等式 (< 或 >)： 使用虚线。
原因： 因为直线上的点不满足不等式，不属于解集。 -
非严格不等式 (\(\le\) 或 \(\ge\))： 使用实线。
原因： 因为直线上的点满足不等式，属于解集。
第二步：确定阴影区域（不符合条件的区域）
不等式的解集位于边界线的一侧。为了判断该给哪一侧涂阴影，我们使用测试点。
除非直线经过原点，否则最简单的测试点通常就是原点 \((0, 0)\)。
- 选一个测试点（例如 \((0, 0)\)）。
- 将坐标代入不等式。
- 如果结论为真（TRUE），则该区域是满足条件的（Wanted）区域。
- 如果结论为假（FALSE），则该区域是不满足条件的（Unwanted）区域。
考纲重要说明： 在剑桥 IGCSE 考试中，除非题目另有说明，否则你应该涂黑不满足条件的（Unwanted）区域。这样，留出的空白区域就是最终的解集。
例 6：绘制不等式 \(y < 2x + 1\) 的图像
- 边界线： \(y = 2x + 1\)。因为是 \(<\)，使用虚线。
- 测试点： 使用 \((0, 0)\)。
- 代入： \(0 < 2(0) + 1 \implies 0 < 1\)。这是真（TRUE）。
- 阴影： 因为 \((0, 0)\) 位于满足条件的区域，所以我们给相反的一侧（不满足条件的区域）涂上阴影。
5.3 定义多个不等式的区域 (E2.6.5)
当处理不等式组时，你需要画出多条边界线，最终的解集是同时满足*所有*不等式的区域。
例 7：列出定义未涂影区域 R 的不等式，该区域由直线 L1、L2 和 L3 围成。
假设：
- L1 是水平直线 \(y = 2\)（实线）
- L2 是垂直直线 \(x = -1\)（虚线）
- L3 是斜线 \(y = x + 4\)（实线）
如果区域 R 位于 L1 下方、L2 右侧且 L3 上方，则定义 R 的不等式为：
-
对于 L1 (\(y = 2\))： R 在实线下方。
不等式：\(y \le 2\) -
对于 L2 (\(x = -1\))： R 在虚线右侧。
不等式：\(x > -1\) -
对于 L3 (\(y = x + 4\))： R 在实线上方。（使用测试点 (0,0) 得出 \(0 > 4\)，这是假。所以 R 是“真”的区域）。
不等式：\(y \ge x + 4\)
区域 R 由这三个不等式定义：\(y \le 2\)，\(x > -1\) 和 \(y \ge x + 4\)。
你知道吗？ 不等式在物流和商业规划（称为“线性规划”）中被大量使用，用于在各种限制条件下找到分配资源或利润最大化的最佳方案！
图像作图要点总结： \(\le, \ge\) 用实线，\(<, >\) 用虚线。始终使用测试点来寻找真区域，通常的做法是涂黑不满足条件的区域，从而使解集区域保持清晰。