Vector geometry

欢迎来到向量几何的世界！

你好！向量看起来可能有点复杂，上面有箭头，还有奇怪的括号，但请别担心。这一章的内容是学习如何精确地描述运动。你可以把向量想象成寻宝图上的指示：它们会精确地告诉你走多远以及往哪个方向走。

在 IGCSE 数学 (0580) 的扩展（Extended）大纲中，我们在二维（平面）空间中使用向量来描述平移、路径和位置，这在物理学和工程学中非常有用。让我们开始拆解它吧！

第一部分：向量到底是什么？

1.1 标量 vs. 向量：核心区别

在数学和物理学中，根据是否涉及方向，我们将量分为两类。

• 标量（Scalar）： 只有大小（magnitude）而没有方向的量。
  例子：速率（50 km/h）、质量（10 kg）、时间（2 小时）。
• 向量（Vector）： 同时具有大小和方向的量。
  例子：速度（50 km/h 向北）、力（10 N 向下）、位移（2 km 向东）。

类比： 如果你说你跑了 5 km，这是一个标量（路程）。如果你说你跑了 5 km 朝向学校的方向，这就是一个向量（位移）。

1.2 向量的记法

我们使用特定的记法来表示一个量是向量：

1. 粗体字母： 在教材或印刷品中，向量通常用粗体小写字母表示，如 a 或 b。
2. 箭头记法： 手写时，我们在字母上方画一条线和一个箭头，例如 \(\vec{a}\)。
3. 点记法： 如果一个向量从点 A 指向点 B，我们将其写为 \(\vec{AB}\)。

第二部分：列向量 (Column Vectors)

在 IGCSE 数学中，我们通常使用一种称为列向量的实用格式，特别是在描述平移时。

2.1 定义列向量

列向量的写法如下： $$ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$ 其中：

• \(x\) 代表水平移动。（向右为正，向左为负）。
• \(y\) 代表垂直移动。（向上为正，向下为负）。

例子： 向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\) 意味着向右移动 3 个单位，向下移动 5 个单位。
例子： 如果一个平移将点向左移动 2 个单位，向上移动 1 个单位，该向量为 \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

2.2 求两点之间的向量

如果你有两个点的坐标 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，向量 \(\vec{AB}\) 可以通过用终点坐标减去起点坐标（终点减起点）得到。

$$ \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

分步例子：

求 \(P(1, 8)\) 到 \(Q(6, 5)\) 的向量 \(\vec{PQ}\)。

1. 确定坐标：\(P(1, 8)\) 和 \(Q(6, 5)\)。
2. 计算水平变化量 (\(x\))：\(6 - 1 = 5\)。
3. 计算垂直变化量 (\(y\))：\(5 - 8 = -3\)。
4. 写出列向量： $$ \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} $$

常见错误提醒！ 请务必记住：列向量描述的是运动，而不是一个位置。记法 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) 是一个向量；而记法 \((3, 5)\) 是一个坐标点。它们看起来相似，但含义不同！

第三部分：向量运算

我们可以对向量进行加法、减法以及标量乘法（乘以一个数）。

3.1 向量加法（行程相加）

如果你完成了一段行程（\(\mathbf{a}\)），然后又完成了另一段行程（\(\mathbf{b}\)），那么最终的单次行程就是 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)。这被称为三角形法则（Triangle Rule）。
如果我们有 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) 和 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\)： $$ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} $$

例子：向量加法

如果 \(\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)：
$$ \mathbf{p} + \mathbf{q} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 5 + (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

3.2 向量减法（逆向行程）

减去一个向量等同于加上它的负向量。
负向量 \(-\mathbf{a}\) 仅仅是将 \(\mathbf{a}\) 的方向反转。

$$ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix} $$

例子：向量减法

使用上面的向量 \(\mathbf{p}\) 和 \(\mathbf{q}\)： $$ \mathbf{p} - \mathbf{q} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} $$

3.3 标量乘法（缩放）

向量乘以一个标量（一个数，我们记作 \(k\)）会改变它的长度，但不会改变方向（除非 \(k\) 是负数）。你需要将 \(x\) 和 \(y\) 的分量同时乘以这个标量 \(k\)。

$$ k\mathbf{a} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} $$

例子：缩放

如果 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\)，求 \(3\mathbf{v}\) 和 \(-2\mathbf{v}\)。

$$ 3\mathbf{v} = 3 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 4 \\ 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix} $$ $$ -2\mathbf{v} = -2 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \times 4 \\ -2 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \end{pmatrix} $$ 注意，\(-2\mathbf{v}\) 因为负号指向了相反方向，且长度增加了一倍。

3.4 平行向量

如果一个向量是另一个向量的标量倍数，那么这两个向量平行。
如果 \(\mathbf{a} = k\mathbf{b}\)，那么 \(\mathbf{a}\) 平行于 \(\mathbf{b}\)。

例子： \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\) 和 \(\mathbf{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)。由于 \(\mathbf{r} = 3\mathbf{s}\)，向量 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{s}\) 是平行的。

第四部分：向量的大小（模）

向量的大小就是它的长度。我们使用勾股定理来计算，因为 \(x\) 和 \(y\) 的移动量构成了直角三角形的两条直角边，而向量本身就是斜边。

4.1 大小记法和公式 (E8.3)

向量 \(\mathbf{a}\) 的大小记作模符号：\(|\mathbf{a}|\) 或 \(|\vec{AB}|\)。

对于向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)，其大小为： $$ |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

分步例子：计算大小

求向量 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}\) 的大小。

1. 平方分量：\(x^2 = 5^2 = 25\)，且 \(y^2 = (-12)^2 = 144\)。
2. 将它们相加：\(25 + 144 = 169\)。
3. 开平方： $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13 $$ 向量的长度为 13 个单位。

4.2 使用大小计算两点间距离 (E4.3)

求 A、B 两点间的距离，其实就等同于求向量 \(\vec{AB}\) 的大小。

如果 \(A=(x_1, y_1)\) 且 \(B=(x_2, y_2)\)，距离 \(d\) 为： $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ 这不过是应用在 \(\vec{AB}\) 分量上的大小公式！别担心它看起来有点复杂，其实它就是隐藏起来的勾股定理！

第五部分：向量在几何中的应用

向量是解决几何问题的绝佳工具，尤其是在涉及平行线、中点和直线的问题中。

5.1 寻找路径（向量路径）

在复杂的几何图形（如平行四边形或三角形）中，你经常需要寻找代表两点间路径的向量，而这条路径可能并没有直接画出来。你可以通过组合已知的向量来完成。

规则： 要从 P 到 Q，找到一系列能带你从 P 到 Q 的已知向量。

如果你想在平行四边形 \(ABCD\) 中找到 \(\vec{AC}\)： $$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} $$

例子：使用负向量

如果 \(\vec{OA} = \mathbf{a}\) 且 \(\vec{OB} = \mathbf{b}\)。求向量 \(\vec{AB}\)。

1. 要从 A 到 B，我们不能直接走（除非题目给出）。
2. 我们必须沿 \(\vec{OA}\) 的反方向走（即 \(\vec{AO}\)），然后沿 \(\vec{OB}\) 的正方向走。
3. 向量 \(\vec{AO}\) 即为 \(-\mathbf{a}\)。
4. 因此： $$ \vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} \quad \text{或} \quad \mathbf{b} - \mathbf{a} $$

5.2 向量中的中点与比例

向量能帮我们描述线段上的点。

• 如果 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点： $$ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} $$
• 如果点 \(P\) 将 \(AB\) 分割成 1:3 的比例，那么 \(P\) 处于 \(AB\) 总长度的 1/4 处： $$ \vec{AP} = \frac{1}{4} \vec{AB} $$

例子：结合向量与比例

在三角形 \(OAB\) 中，\(\vec{OA} = \mathbf{a}\)，\(\vec{OB} = \mathbf{b}\)。点 \(M\) 是 \(AB\) 的中点。求 \(\vec{OM}\) 用 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 表示。

1. 首先，求代表整个边 \(\vec{AB}\) 的向量： $$ \vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} $$ 2. 由于 \(M\) 是中点，\(\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB}\)： $$ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) $$ 3. 现在，通过走路径 O 到 A，再从 A 到 M 来求 \(\vec{OM}\)： $$ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \mathbf{a} + \frac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) $$ 4. 简化表达式： $$ \vec{OM} = \mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{a} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} $$

5.3 共线测试（点在同一直线上）

如果连接三个点 A、B 和 C 的向量相互平行且共享一个公共点，那么这三个点就是共线的（即在同一条直线上）。

如果 \(\vec{AB} = k \cdot \vec{BC}\)，且它们共享点 B，那么 A、B、C 共线。