Information representation

学习笔记：信息表示 (AS Level 9618)

各位未来的计算机科学家，大家好！欢迎来到计算机工作原理的基础殿堂。本章节信息表示 (Information Representation) 至关重要，因为你所见到的一切——文本、图像、声音、程序——在计算机能理解之前，都必须先转换为二进制数据 (binary data)（即 0 与 1 的序列）。

别担心，如果数字不是你的强项也没关系。我们将会把复杂的转换过程与概念拆解成简单易懂的步骤，并辅以大量的实例！让我们一起深入了解计算机的语言吧。

1.1 数据表示

二进制数量级：Kibi 与 Kilo

在计算机科学中，我们经常处理海量的数据，因此会使用 Kilobyte、Megabyte 和 Gigabyte 等词头。然而，这些词头有两套截然不同的标准：十进制 (Decimal/SI) 与 二进制 (Binary/IEC)。

十进制词头 (Kilo, Mega, Giga, Tera)

• 基于 10 的幂次方。
• Kilo (k): \(10^3 = 1000\)
• Mega (M): \(10^6 = 1,000,000\)
• Giga (G): \(10^9 = 1,000,000,000\)
• Tera (T): \(10^{12} = 1,000,000,000,000\)
• 例子：1 公里 (Kilometre) 等于 1000 米。

二进制词头 (Kibi, Mebi, Gibi, Tebi)

• 计算机偏好使用 2 的幂次方（因为它们使用二进制）。这些词头用于描述计算机内存与存储容量，尽管业界常误用 SI 词头。
• Kibi (Ki): \(2^{10} = 1024\) (Kibibyte)
• Mebi (Mi): \(2^{20} = 1,048,576\) (Mebibyte)
• Gibi (Gi): \(2^{30}\) (Gibibyte)
• Tebi (Ti): \(2^{40}\) (Tebibyte)

关键差异：当你在市场营销中看到 'kilo' 或 'mega' 时（如硬盘容量），通常指的是十进制系统（10 的幂次方）。但在编程中计算内存地址或文件实际大小时，二进制系统（2 的幂次方，即 1024）才是正确的标准。

数制与转换

计算机依赖不同的进位制。你必须具备在这些进位制之间转换整数的能力。

十进制 (Denary, Base 10)

我们日常生活使用的数字系统，包含 10 个数字 (0–9)。

二进制 (Binary, Base 2)

计算机的原生语言，仅使用两个数字 (0 与 1)。每一个数字称为一个比特 (bit)。

十六进制 (Hexadecimal, Base 16)

使用 16 个字符 (0–9 及 A–F)。由于 4 个比特可以精确转换为 1 个十六进制数字，它常被用作二进制的简写，让人们更容易阅读和调试长串的二进制代码。

步骤说明：十进制转二进制（及十六进制）

将十进制数字 156 转换为 8-bit 二进制，再转换为十六进制。

步骤 1：设置权重（2 的幂次方）：
\(128 \quad 64 \quad 32 \quad 16 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 1\)

步骤 2：找出能放入 156 的最大权重：
\(156 - 128 = 28\)。所以，128 比特为 ON (1)。

步骤 3：继续处理余数 (28)：
64 (太大，为 0)。32 (太大，为 0)。16 (可放入：\(28 - 16 = 12\))。所以，16 比特为 ON (1)。

步骤 4：继续处理余数 (12)：
8 (可放入：\(12 - 8 = 4\))。所以，8 比特为 ON (1)。
4 (可放入：\(4 - 4 = 0\))。所以，4 比特为 ON (1)。
2 (0)。1 (0)。

结果 (二进制)： \(1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0\)

步骤 5：将二进制转为十六进制：
将 8 个比特分为两个半字节 (nibble，各 4 比特)：
第一组：1001 (权重：8+1 = 9)
第二组：1100 (权重：8+4 = 12，十六进制对应为 C)

结果 (十六进制)： 9C

小知识：十六进制通常会在数字前加上井号 (#) 或符号 (&)，例如 #9C 或 &9C，在编程中也常写作 0x9C。

二进制编码十进制 (BCD)

BCD 是另一种使用二进制来表示十进制数字的方法，主要用于显示器及简单的算术电路。在 BCD 中，每个十进制位数分别由其专用的 4-bit 二进制代码表示。

例子：十进制 156 的 BCD 表示：
1 变成 0001
5 变成 0101
6 变成 0110

结果 (BCD)： 0001 0101 0110 (总共 12 比特)。

BCD 的空间效率较低（156 在纯二进制中仅需 8 比特），但非常适合数字时钟或计算器等硬件直接显示数字的应用。

表示负整数：补码 (Two's Complement)

计算机如何存储负号？它使用补码 (Two's Complement) 系统。此系统能让我们一致地表示正整数与负整数，并使二进制减法变得简单（实际上变成了加法！）。

最左边的比特（即最高有效位，MSB）被用作符号位 (Sign Bit)：

• 若 MSB 为 0，数字为正数。
• 若 MSB 为 1，数字为负数。

步骤说明：正十进制转负数补码

将 -45 转换为 8-bit 补码。

1. 找出正数的二进制：
+45 的 8-bit 二进制为 0010 1101。

2. 进行反码 (One's Complement)（按位取反）：
将所有 0 变为 1，1 变为 0。
0010 1101 变为 1101 0010。

3. 进行补码运算（加 1）：
\(1101\ 0010 + 1 = 1101\ 0011\)

结果： -45 的 8-bit 补码为 1101 0011。注意 MSB 为 1，代表负数。

二进制加法与减法

二进制加法遵循简单规则：

• \(0 + 0 = 0\) (进位 0)
• \(0 + 1 = 1\) (进位 0)
• \(1 + 1 = 0\) (进位 1)
• \(1 + 1 + 1 = 1\) (进位 1)

二进制减法：计算机通过补码执行减法。要计算 A - B，计算机只需计算 A + (-B)，其中 -B 是以补码形式表示。

了解溢出 (Overflow)

当算术运算结果过大（或过小），导致无法存储在分配的比特数（例如 8 比特）内时，就会发生溢出 (Overflow)。

例子：如果我们使用 8 比特补码，最大正值为 +127 (0111 1111)。如果将 127 加 1，结果 (128) 会导致 MSB 变为 1 (1000 0000)。由于 MSB 现在是 1，计算机危将该数字解释为负数（在补码中为 -128），从而引发溢出错误。

字符集 (ASCII 与 Unicode)

文本字符 (A, b, !, 5) 也必须存储为二进制。字符集 (character set) 是一种标准化映射系统，为每个字符分配唯一的二进制代码。

• ASCII (美国信息交换标准代码)：原始标准。使用 7 比特，提供 128 个不同字符 (0 至 127)。这涵盖了英文大小写字母、数字及基本符号。
• 扩展 ASCII (Extended ASCII)：使用 8 比特，提供 256 个字符 (0 至 255)。这包含了更多地区性字符与图形符号。
• Unicode：现代标准。它使用 16、24 或 32 比特，容纳数百万个唯一字符。这对于全球化文本显示至关重要，涵盖所有语言、表情符号及数学符号。

重点总结 (1.1)：数据即原始的二进制。我们使用十六进制等系统来提高人类工作效率，使用补码处理带符号的整数，并使用特定的字符集（如 Unicode）将原始比特映射为具意义的符号。

1.2 多媒体表示

多媒体数据（图片与声音）相当复杂，必须从真实世界的模拟 (analogue)（连续）形式转换为数字 (digital)（离散的二进制）数据。

图形：位图 (Bitmapped Images)

位图 (bitmap image)（如 JPEG 或 PNG）是由个别彩色点组成的网格，这些点称为像素 (pixels)。

编码位图

1. 像素数据：每个像素被分配一个二进制代码，代表其颜色。
2. 色彩深度 (Colour Depth / Bit Depth)：用来表示单个像素颜色的比特数。色彩深度越高，可呈现的颜色就越多。
色彩数量 = \(2^{\text{色彩深度}}\)
(例如：8 比特 = 256 色；24 比特 = 1670 万色。)
3. 图像分辨率：图像中的像素数量 (宽 x 高)。
4. 文件头 (File Header)：包含有关图像结构的重要信息（如文件类型、图像分辨率、色彩深度）。

计算位图文件大小

文件大小取决于总像素数与每个像素使用的色彩深度。

公式 (单位为 bit)：
\(\text{文件大小} = \text{图像宽度 (像素)} \times \text{图像高度 (像素)} \times \text{色彩深度 (bits)}\)

若要换算为 bytes，请将结果除以 8。

变更元素之影响

• 提高图像分辨率：存储更多像素，带来更高质量的图像，但文件大小会按比例增加。
• 提高色彩深度：每个像素使用更多比特，呈现更广的色彩范围（质量更高），但文件大小亦会按比例增加。

图形：矢量图 (Vector Graphics)

与位图不同，矢量图 (vector graphics)（如 SVG）不存储像素数据。相反，它们存储关于如何绘制图像的数学指令（绘图列表 (drawing list)）。

• 绘图对象 (Drawing Object)：基础几何形状（如圆形、线条、矩形）。
• 属性 (Property)：对象的特征（如线条粗细、颜色、位置、填充样式）。

选用理由：位图 vs 矢量图

特性对比：
• 缩放：位图画质会下降（出现像素化）；矢量图完美缩放（重新计算数学值）。
• 文件大小：位图取决于分辨率和色彩深度，复杂照片文件较大；矢量图通常较小，取决于对象的复杂度。
• 实际应用：位图用于照片、含细微阴影的复杂图像；矢量图用于标志、字体、技术图纸、简单图形。

选用技巧：如果图像需要频繁缩放而不损失质量（如将公司标志放在广告看板与信头上），则选用矢量图。

声音表示

声音本质上是模拟波。为了数字化存储，我们必须通过采样 (sampling) 过程进行转换。

采样过程

1. 模数转换器 (ADC)：将连续的模拟声波转换为数字形式。
2. 采样：定时测量声波的振幅（音量）。
3. 采样率 (Sampling Rate / Frequency)：每秒采样的次数（以 Hertz, Hz 为单位）。较高的频率意味着测量更频繁，能更准确地捕捉声波。
4. 采样分辨率 (Sampling Resolution / Bit Depth)：分配给每个样本存储振幅值的比特数。分辨率越高，可表示的音量细节就越丰富，提升准确度。

类比：想象录音就像制作定格动画。采样率是你每秒拍摄的照片张数，而采样分辨率则是每张照片的细节（色彩深度）。

对文件大小与准确度的影响

提高采样率或采样分辨率会大幅提升音质（准确度），但存储声音所需的总比特数也会增加，导致文件变大。

1.3 压缩 (Compression)

数据压缩至关重要，因为现代文件（特别是多媒体）极为庞大。压缩可缩小文件体积，从而节省存储空间并缩短网络传输时间。

有损压缩 vs 无损压缩

主要有两种类型的压缩，理解其差异对于阐述选用理由非常重要。

1. 无损压缩 (Lossless Compression)

• 定义：原始数据可以从压缩后的文件完美重现。信息不会永久丢失。
• 用途：用于每个比特数据都至关重要的文件，如文本文档、可执行程序及医疗影像。
• 例子：ZIP, PNG, GIF, 行程编码 (RLE)。
• 缺点：压缩率通常较低（文件仍然相对较大）。

2. 有损压缩 (Lossy Compression)

• 定义：压缩过程中会永久舍弃不可逆的数据。这些数据通常是人眼或人耳最不容易察觉的部分。
• 用途：用于对质量细微下降可接受，但需大幅缩小文件体积的多媒体。
• 例子：JPEG (图片), MP3 (音频), MPEG (视频)。
• 缺点：永久性的画质或音质退化。

选用理由例子：若你要发送一份科学数据文件，必须使用无损压缩以维持数据完整性。若你是在社交媒体上传照片，有损压缩 (JPEG) 是可以接受的，因为文件大小比微小的细节更重要。

压缩方法：行程编码 (Run-Length Encoding, RLE)

RLE 是一种简单且常见的无损压缩形式，对于含有长串重复数值（即数据冗余）的数据特别有效。它的原理是记录数值及其连续出现相同数值的次数（即“行程”）。

RLE 如何运作（文本例子）

想象一串文本或简单的黑白位图行：

原始数据： WWWWWWWBBBWWRRRR

RLE 编码：我们将它编码为 (数量, 数值)：

\((7, W), (3, B), (2, W), (4, R)\)

应用于不同文件类型：
• 文本文件：若含有长串相同字符（如大量空格或 Tab），效果显著。
• 位图：对于大面积纯色的简单图像效果很好。
• 矢量图：较不相关，因为矢量图是由数学指令定义的，而非序列像素数据。
• 声音文件：若存在静音期（长串零振幅样本），可使用此方法。