Information representation

学习笔记：信息表示 (AS Level 9618)

各位未来的计算机科学家，你们好！欢迎来到计算机工作原理的基础领域。本章——信息表示至关重要，因为你所看到的一切——文本、图像、声音、程序——都必须先转换为二进制数据（0 和 1 的序列），计算机才能理解它们。

别担心，即使数字不是你的强项也没关系。我们将通过大量的现实案例，把复杂的转换和概念拆解成简单、易懂的步骤！让我们开始探索计算机的语言吧。

1.1 数据表示

二进制量级：Kibi 与 Kilo

在计算机科学中，我们需要处理海量数据，因此会使用 Kilobyte、Megabyte 和 Gigabyte 等词头。然而，这些词头有两种不同的标准：十进制 (SI) 和 二进制 (IEC)。

十进制词头 (Kilo, Mega, Giga, Tera)

• 基于 10 的幂。
• Kilo (k): \(10^3 = 1000\)
• Mega (M): \(10^6 = 1,000,000\)
• Giga (G): \(10^9 = 1,000,000,000\)
• Tera (T): \(10^{12} = 1,000,000,000,000\)
• 例如：1公里等于1000米。

二进制词头 (Kibi, Mebi, Gibi, Tebi)

• 计算机更偏好 2 的幂（因为它们使用二进制）。这些词头用于描述计算机内存和存储容量，尽管 SI 词头经常被误用。
• Kibi (Ki): \(2^{10} = 1024\) (Kibibyte)
• Mebi (Mi): \(2^{20} = 1,048,576\) (Mebibyte)
• Gibi (Gi): \(2^{30}\) (Gibibyte)
• Tebi (Ti): \(2^{40}\) (Tebibyte)

关键区别： 当你在市场营销中看到“kilo”或“mega”（如硬盘容量）时，通常指十进制系统（10 的幂）。但在编程中计算内存地址或实际文件大小时，二进制系统（2 的幂，即 1024）才是正确的标准。

数制与转换

计算机依赖于不同的数制基数。你必须掌握整数在这些基数之间的转换。

十进制 (Denary, Base 10)

我们日常使用的数字系统，使用 0–9 这 10 个数字。

二进制 (Binary, Base 2)

计算机的母语，只使用 0 和 1 两个数字。每一位数字被称为一个比特 (bit)。

十六进制 (Hexadecimal, Base 16)

使用 16 个字符（0–9 和 A–F）。它是二进制的缩写形式，因为 4 个比特刚好可以转换为 1 个十六进制位，这使得冗长的二进制字符串更易于人类阅读和调试。

分步转换：十进制转二进制（及十六进制）

将十进制数 156 转换为 8 位二进制，再转为十六进制。

第一步：设置权重（2 的幂）：
\(128 \quad 64 \quad 32 \quad 16 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 1\)

第二步：找到能容纳 156 的最大权重：
\(156 - 128 = 28\)。因此，128 位为 ON (1)。

第三步：用余数 (28) 继续计算：
64（太大，为 0）。32（太大，为 0）。16（能容纳：\(28 - 16 = 12\)）。因此，16 位为 ON (1)。

第四步：用余数 (12) 继续计算：
8（能容纳：\(12 - 8 = 4\)）。因此，8 位为 ON (1)。
4（能容纳：\(4 - 4 = 0\)）。因此，4 位为 ON (1)。
2 (0)。1 (0)。

结果（二进制）： \(1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0\)

第五步：将二进制转为十六进制：
将 8 位二进制分为两个半字节（每个 4 位）：
第一组：1001（权重：8+1 = 9）
第二组：1100（权重：8+4 = 12，在十六进制中为 C）

结果（十六进制）： 9C

你知道吗？十六进制通常在数字前加井号 (#) 或“&”符号，如 #9C 或 &9C，有时在编程中写作 0x9C。

二进制编码的十进制 (BCD)

BCD 是用二进制表示十进制数字的另一种方式，主要用于显示器和简单的算术电路。在 BCD 中，每个十进制数字都用其对应的 4 位二进制代码表示。

例如：十进制 156 的 BCD 表示：
1 变为 0001
5 变为 0101
6 变为 0110

结果（BCD）： 0001 0101 0110（共 12 位）。

BCD 在空间利用上效率较低（156 在纯二进制中仅需 8 位），但在数字时钟或计算器等硬件直接驱动显示的应用中非常有用。

表示负整数：补码 (Two's Complement)

计算机如何存储负号？它使用补码系统。该系统允许我们一致地表示正负整数，并使二进制减法变得更简单（直接变为加法！）。

最左边的一位（最高有效位，MSB）用作符号位：

• 如果 MSB 是 0，则该数为正数。
• 如果 MSB 是 1，则该数为负数。

分步转换：正十进制转负数补码

将 -45 转换为 8 位补码：

1. 找到正数的二进制形式：
   +45 的 8 位二进制是 0010 1101。
2. 执行反码（按位取反）：
   将所有的 0 变为 1，1 变为 0。
   0010 1101 变为 1101 0010。
3. 执行补码（加 1）：
   \(1101\ 0010 + 1 = 1101\ 0011\)

结果： -45 的 8 位补码为 1101 0011。注意 MSB 为 1，表示这是一个负数。

二进制加减法

二进制加法遵循简单的规则：

• \(0 + 0 = 0\) (进位 0)
• \(0 + 1 = 1\) (进位 0)
• \(1 + 1 = 0\) (进位 1)
• \(1 + 1 + 1 = 1\) (进位 1)

二进制减法： 计算机通过补码执行减法。计算 A - B 时，计算机简单地计算 A + (-B)，其中 -B 是用补码表示的。

理解溢出 (Overflow)

当算术计算的结果过大（或过小），超过了分配的位数（如 8 位）所能表示的范围时，就会发生溢出。

示例： 如果使用 8 位补码，最大正数值为 +127 (0111 1111)。如果给 127 加 1，结果 (128) 会导致 MSB 变为 1 (1000 0000)。由于 MSB 现在是 1，计算机将其解释为负数（补码中的 -128），从而导致溢出错误。

字符集 (ASCII 和 Unicode)

文本字符（A, b, !, 5）也必须存储为二进制。字符集是一种标准化映射系统，为每个字符分配唯一的二进制代码。

• ASCII（美国标准信息交换码）： 最初的标准。使用 7 位，允许 128 个不同的字符（0 到 127）。涵盖了英语大小写字母、数字和基本符号。
• 扩展 ASCII： 使用 8 位，允许 256 个字符（0 到 255）。包含了更多的区域性字符和图形符号。
• Unicode： 现代标准。使用 16、24 或 32 位，允许数百万个唯一字符。这对于全球范围内的文本呈现至关重要，涵盖了所有语言、表情符号和数学符号。

关键要点 (1.1)： 数据本身就是原始二进制。我们使用十六进制来提高人类的工作效率，使用补码来处理带符号整数，使用特定的字符集（如 Unicode）将原始位映射为有意义的符号。

1.2 多媒体表示

多媒体数据（图片和声音）比较复杂，必须从其模拟（连续）的现实形式转换为数字（离散二进制）数据。

图形：位图 (Bitmapped Images)

位图图像（如 JPEG 或 PNG）是一个由单个彩色点（称为像素）组成的网格。

编码位图

1. 像素数据： 每个像素被分配一个代表其颜色的二进制代码。
2. 色深 (Colour Depth/Bit Depth)： 用于表示单个像素颜色的位数。色深越高，可表示的颜色就越多。
   颜色总数 = \(2^{\text{色深}}\)
   （例如：8 位 = 256 色；24 位 = 1670 万色。）
3. 图像分辨率： 图像中的像素数量（宽 x 高）。
4. 文件头 (File Header)： 包含关于图像结构的重要信息（如文件类型、分辨率、色深）。

计算位图文件大小

文件大小取决于像素总数和每个像素使用的色深。

公式（单位：位）：
$$ \text{文件大小} = \text{图像宽度 (像素)} \times \text{图像高度 (像素)} \times \text{色深 (位)} $$

若要得到字节数，将结果除以 8。

改变要素的影响

• 增加分辨率： 存储更多像素，图像质量更高，但文件大小按比例增大。
• 增加色深： 每个像素使用更多位数，颜色范围更广（质量更高），但文件大小按比例增大。

图形：矢量图 (Vector Graphics)

与位图不同，矢量图（如 SVG）不存储像素数据。相反，它们存储有关如何绘制图像的数学指令（绘图列表）。

• 绘图对象： 基本几何形状（如圆、线、矩形）。
• 属性： 对象的特征（如线条粗细、颜色、位置、填充图案）。

论证：位图 vs. 矢量图

特性	位图 (如照片)	矢量图 (如标志)
缩放	质量下降（出现像素化）。	完美缩放（重新计算数学参数）。
文件大小	取决于分辨率和色深。复杂照片文件较大。	通常较小，取决于对象的复杂程度。
现实用途	照片、具有细腻阴影的复杂图像。	标志、字体、技术图纸、简单图形。

论证技巧： 如果图像需要频繁缩放而不损失质量（例如公司标志在广告牌与信纸上的应用），请使用矢量图。

声音表示

声音本质上是模拟波。要以数字形式存储，必须通过称为采样 (sampling) 的过程进行转换。

采样过程

1. 模数转换器 (ADC)： 将连续的模拟声波转换为数字形式。
2. 采样： 定期测量声波的振幅（响度）。
3. 采样率 (Sampling Rate/Frequency)： 每秒采集的样本数量（单位：赫兹，Hz）。采样率越高，测量越频繁，捕捉到的声波越精确。
4. 采样分辨率 (Sampling Resolution/Bit Depth)： 用于存储每个采样振幅值的位数。分辨率越高，响度级别范围越细腻，准确度越高。

类比：想象声音录制就像制作定格动画。采样率是你每秒拍摄的照片张数，而采样分辨率是每张照片的精细度（色彩深度）。

对文件大小和准确度的影响

如果提高采样率或采样分辨率，音质（准确度）会显著提高，但存储声音所需的总位数也会增加，从而导致文件体积变大。

1.3 压缩

数据压缩至关重要，因为现代文件（尤其是多媒体文件）非常巨大。压缩能减小文件大小，从而节省存储空间并缩短网络传输时间。

有损 vs. 无损压缩

压缩主要分为这两类，了解它们的区别对于论证使用场景至关重要。

1. 无损压缩 (Lossless Compression)

• 定义： 从压缩文件中可以完全无误地还原原始数据。没有任何信息永久丢失。
• 用途： 用于那些每一个比特都至关重要的数据，如文本文档、可执行程序和医疗图像。
• 示例： ZIP, PNG, GIF, 行程编码 (RLE)。
• 缺点： 压缩比通常较低（文件相对较大）。

2. 有损压缩 (Lossy Compression)

• 定义： 在压缩过程中，不可逆的数据被永久丢弃。这些数据通常是人眼或人耳最不容易察觉的信息。
• 用途： 用于多媒体，以牺牲一小部分质量换取大幅度减小文件大小。
• 示例： JPEG (图像), MP3 (音频), MPEG (视频)。
• 缺点： 永久性的质量损失。

论证示例： 如果你在发送科学数据文件，必须使用无损压缩以保持数据完整性。如果你在上传照片到社交媒体，使用有损压缩 (JPEG) 是完全可以接受的，因为文件大小比细节更重要。

压缩方法：行程编码 (RLE)

RLE 是一种简单且常见的无损压缩方式，对于包含长序列相同值的数据（即数据冗余）特别有效。它通过存储数值及其连续重复的次数（即“行程”）来工作。

RLE 如何工作（文本示例）

想象一行文本或一个简单的黑白位图图像行：
原始数据： WWWWWWWBBBWWRRRR

RLE 编码： 我们将其编码为 (计数, 数值)：
\((7, W), (3, B), (2, W), (4, R)\)

不同文件类型的应用：

• 文本文件： 如果有长字符重复（例如许多空格或制表符），非常有效。
• 位图图像： 对于具有大面积纯色块的简单图像非常有效。
• 矢量图： 相关性较低，因为矢量图本质上由数学指令而非顺序像素数据定义。
• 声音文件： 如果存在静音周期（零振幅样本的长运行），也可以使用。