Momentum

学习笔记：动量（进阶力学 9231）

欢迎来到动量章节！这是进阶力学（Further Mechanics）的核心主题，重点研究物体发生碰撞时的情况。虽然在 A Level 力学中你已经接触过动量守恒，但进阶力学将带你深入探究，特别是如何利用恢复系数（Coefficient of Restitution, \(e\)）对不同类型的碰撞进行建模。准备好掌握一维和二维碰撞吧！

注：本章内容高度依赖于你在 A Level 数学力学（9709，Paper 4）中所学的力的分解以及运动学方程（SUVAT）的基础知识。

1. 线性动量基础

线性动量是衡量物体质量与速度的物理量。它是一个矢量，因此方向至关重要。

定义与守恒

质点的线性动量（\(p\)）定义为其质量（\(m\)）与速度（\(v\)）的乘积：

$$p = mv$$

动量的标准单位是 \(\text{kg m s}^{-1}\)（有时也写作 \(\text{N s}\)）。

动量守恒定律（CLM）

在一个无外力作用的封闭系统中（例如，在极短的碰撞瞬间忽略重力或摩擦力），系统的总线性动量保持不变。

• 对于两个质量分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的质点，初始速度分别为 \(u_1\) 和 \(u_2\)，最终速度分别为 \(v_1\) 和 \(v_2\)：

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

动量守恒的重要提示：

在解题时，一定要预先定义一个正方向。如果某个速度的方向与预设正方向相反，则必须在方程中用负值表示。

2. 牛顿实验定律（NEL）与恢复

动量守恒为初始速度和最终速度提供了一个关系式。为了求出两个未知数（\(v_1\) 和 \(v_2\)），我们需要第二个方程，这便引出了牛顿实验定律（Newton's Experimental Law, NEL），也称为恢复定律。

恢复系数（\(e\)）的定义

恢复系数（\(e\)）量化了碰撞的“弹性”程度。它是基于碰撞前后质点的相对速度定义的。

$$e = \frac{\text{分离速度}}{\text{接近速度}}$$

从数学上讲，对于两个质点的碰撞，NEL 表示为：

$$v_2 - v_1 = e (u_1 - u_2)$$

其中 \(u_1, u_2, v_1, v_2\) 是沿碰撞线方向测量的速度，且需符合预设的正方向。

\(e\) 的取值范围与碰撞类型

恢复系数始终在 0 到 1 之间（包含边界）：\(0 \le e \le 1\)。

• 1. 完全弹性碰撞 (\(e = 1\))：
  

  如果 \(e=1\)，则 \(v_2 - v_1 = u_1 - u_2\)。

  在这种理想情况下，动能（KE）是守恒的。这是反弹程度最大的情况。

  你知道吗？现实世界中没有完美的弹性碰撞，但台球之间的碰撞通常被建模为这种类型，因为它们非常接近理想状态。

• 2. 非弹性（或完全塑性）碰撞 (\(e = 0\))：
  

  如果 \(e=0\)，则 \(v_2 - v_1 = 0\)，即 \(v_1 = v_2\)。

  碰撞后质点粘在一起作为一个整体运动。在保持动量守恒的前提下，这种情况导致的动能损失最大。

  类比：就像一块黏土撞击静止物体并粘在上面一样。

• 3. 一般情况 (\(0 < e < 1\))：
  

  这涵盖了现实世界中的大多数碰撞。动量守恒，但动能会有损失（转化为热能、声能或变形能）。

3. 直接碰撞（一维碰撞）

直接碰撞（或正面碰撞）是指质点的速度方向沿连接它们球心的直线（碰撞线）时发生的碰撞。

3.1 两光滑球体之间的直接碰撞

要求出最终速度（\(v_1\) 和 \(v_2\)），你需要联立求解两个方程：

方程 1：动量守恒（CLM）

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad \text{(始终成立)}$$

方程 2：牛顿实验定律（NEL）

$$v_2 - v_1 = e (u_1 - u_2) \quad \text{(始终成立)}$$

加油：如果代数过程看起来很复杂也不要担心！记住，通过将 NEL 方程中的 \(v_2\) 或 \(v_1\) 的表达式代入 CLM 方程，可以高效求解。

3.2 与固定表面的直接碰撞

当一个光滑球体撞击固定表面（如墙壁或地面）时，可以将固定表面建模为具有无限大的质量。这意味着：

• CLM 无用： 由于墙的质量是无限的，我们无法有效地应用 CLM 方程。
• NEL 是唯一需要的原则： 我们只需要考虑垂直于墙面的运动（即碰撞线方向）。

如果球体以速度 \(u\) 垂直撞击固定墙面，并以速度 \(v\) 反弹：

$$v = eu$$

最终速度仅仅是初始速度乘以 \(e\)。

4. 斜碰撞（二维碰撞）

斜碰撞是指初始速度不平行于碰撞时连接球心的直线的碰撞。这就需要将速度分解为分量。

解决二维碰撞的关键在于理解动量规则和 NEL 应用在哪个方向。

识别坐标轴

碰撞过程仅影响沿碰撞线（LOI）方向的运动。垂直于碰撞线（PDOI）方向的运动不受影响。

• 碰撞线（LOI）： 碰撞瞬间连接两个球心的连线。这是动量发生变化且 NEL 生效的方向。
• 垂直于碰撞线（PDOI）： 碰撞点的公切面。该方向的速度对每个质点各自守恒。

两球斜碰撞的逐步解法

第一步：分解初始速度

• 对于质点 1 (\(m_1\))，将 \(u_1\) 分解为：
  • \(u_{1L}\)（沿 LOI 分量）
  • \(u_{1P}\)（沿 PDOI 分量）
• 对质点 2 (\(m_2\)) 做同样的处理：\(u_{2L}\) 和 \(u_{2P}\)。

第二步：在 PDOI 方向应用守恒律

垂直于碰撞线的分速度保持不变。

• 质点 1 的最终 PDOI 速度：\(v_{1P} = u_{1P}\)
• 质点 2 的最终 PDOI 速度：\(v_{2P} = u_{2P}\)

第三步：在 LOI 方向应用 CLM 和 NEL

将其视为仅使用 LOI 分量的一维直接碰撞。现在你有两个未知数，\(v_{1L}\) 和 \(v_{2L}\)：

CLM (LOI)：

$$m_1 u_{1L} + m_2 u_{2L} = m_1 v_{1L} + m_2 v_{2L}$$

NEL (LOI)：

$$v_{2L} - v_{1L} = e (u_{1L} - u_{2L})$$

联立求解这些方程以找到 \(v_{1L}\) 和 \(v_{2L}\)。

第四步：重组最终速度

质点 1 的最终速度 (\(v_1\)) 是其两个最终分量（\(v_{1L}\) 和 \(v_{1P}\)）的矢量和。

量值通过勾股定理求得：

$$|v_1| = \sqrt{v_{1L}^2 + v_{1P}^2}$$

方向（角度）通过三角函数求得（通常是与 LOI 的夹角）。

与固定表面的斜碰撞

如果球体斜向撞击固定表面，我们使用相同的原理：将其分解为垂直于表面和平行于表面的分量。

设 \(\alpha\) 为入射角（初始速度矢量 \(u\) 与表面法线，即 LOI 之间的夹角）。

• PDOI（平行于表面 / 切向）： 由于表面是光滑的，没有切向摩擦力或冲量。平行于表面的分速度守恒：

  $$v_{\text{parallel}} = u_{\text{parallel}} = u \sin \alpha$$

• LOI（垂直于表面 / 法向）： 这是发生碰撞的方向。我们使用简单的固定表面 NEL：

  $$v_{\text{normal}} = e u_{\text{normal}} = e (u \cos \alpha)$$

如果最终速度 \(v\) 与法线成 \(\beta\) 角，我们可以利用最终分量求出 \(\beta\)：

$$\tan \beta = \frac{v_{\text{parallel}}}{v_{\text{normal}}} = \frac{u \sin \alpha}{e u \cos \alpha} = \frac{1}{e} \tan \alpha$$