欢迎来到非参数检验的世界！

你好，未来的统计学家！在经历了 \(t\) 检验和正态分布推断中那些严格的假设条件后，这一章的学习可能会让你感到耳目一新。我们将深入探讨**非参数检验**（有时也被称为“无分布检验”）。

我们将学到什么？ 当我们无法假定总体数据符合正态分布等理想分布时，我们将学习如何对总体特征（例如中位数）进行假设检验。

为什么这很重要？ 在现实世界中，数据往往“不守规矩”！非参数检验为我们提供了强大的工具，用于分析偏态或非正态分布的数据，确保我们的结论稳健可靠。

1. 理解非参数检验

什么叫“非参数”检验？

在之前的统计学模块中，你接触过诸如 \(t\) 检验之类的**参数检验**。这些检验对抽样总体做出了一些特定的假设，其中最核心的假设通常是总体**服从正态分布**。

关键区别：参数检验 vs. 非参数检验
  • 参数检验（例如 \(t\) 检验）：

    假设数据来自特定的分布（通常是正态分布）。
    对总体参数（如总体均值 \(\mu\)）进行假设检验。
    当满足假设条件时，它们通常具有更高的统计效能。

  • 非参数检验（例如符号检验、威尔科克森检验）：

    对总体分布**不做假设**（或仅做非常一般的假设，例如对称性）。
    对中位数或分布特征进行假设检验。
    适用于样本量较小，或数据呈显著偏态/非正态分布的情况。

比喻： 想象一下挑选参加活动的服装。参数检验就像是量身定做的西装——如果体型完美契合（符合正态分布），效果会很好；但如果尺寸不对，就会显得很不协调。非参数检验则像是弹力十足的休闲服——无论数据呈现什么形状，它都能很好地适应，因此在分布未知或非正态时非常有用。

核心速记： 当你无法假定数据服从正态分布时，就请使用非参数检验。它们通常聚焦于中位数，而不是均值。

2. 符号检验 (The Sign Test)

符号检验是最简单的非参数检验。它只关注数据相对于假设值或配对观测值之间差异的方向（符号），完全忽略差异的具体数值大小。

2.1 单样本符号检验（检验总体中位数）

我们使用该检验来判断总体**中位数 \(M\)** 是否等于某个假设值 \(M_0\)。

假设通常设定为：\(H_0: M = M_0\) 对阵 \(H_1: M \neq M_0\)（或对应的单侧假设）。

详细步骤：
  1. 确定差值： 计算每个数据点 \(x_i\) 与假设中位数 \(M_0\) 的差：\(d_i = x_i - M_0\)。
  2. 标注符号： 给每个差值分配一个符号（+ 或 -）。
  3. 处理零值： 恰好等于 \(M_0\) 的观测值（即差值为零）直接忽略，样本量 \(n\) 相应减小。
  4. 计算检验统计量： 检验统计量通常为出现次数较少的那类符号的数量（正号或负号中较小的那个计数）。记此数为 \(k\)。
  5. 查找 P 值： 在 \(H_0\) 成立的前提下，正号的数量服从二项分布 \(B(n, 0.5)\)。我们计算观察到 \(k\) 或更少次数的概率（针对单侧检验），或者 \(2 \times P(\text{观察到 } k \text{ 或更少})\)（针对双侧检验）。

示例： 如果我们预期中位数学习时间为 10 小时 (\(M_0 = 10\))，实际发现 12 名学生学习时间更长（正号），3 名学生更短（负号），则统计量 \(k = 3\)。接着我们查找在 \(B(15, 0.5)\) 中获得 3 个或更少负号的概率。

记忆锦囊： 符号检验就像掷硬币！如果零假设成立，数据点高于或低于 \(M_0\) 的可能性是相等的，所以概率 \(p=0.5\)。

2.2 配对样本符号检验

用于匹配配对数据（例如比较干预前后的分数）。我们检验的假设是两组总体（前后）是相同的（这意味着中位差为零）。

处理流程与单样本检验相同，区别在于：

  1. 差值 \(d_i\) 是在配对的观测值之间计算的（例如 \(d_i = \text{分数}_A - \text{分数}_B\)）。
  2. 计数正、负差值的个数（忽略零），然后基于 \(p=0.5\) 进行二项检验。

核心速记： 符号检验简单直观，依赖于二项分布 \(B(n, 0.5)\)。它很有效，但舍弃了关于差异“大小”的重要信息。

3. 威尔科克森检验 (Rank Tests)

威尔科克森检验比符号检验更强大，因为它们通过分配秩次（Ranks）纳入了差异的量级信息，而不仅仅是符号。

大纲重要提示： 只有在假设总体分布是对称的前提下，威尔科克森检验才有效。如果已知数据不对称（如高度偏态），请坚持使用符号检验。

3.1 威尔科克森符号秩检验 (Wilcoxon Signed-Rank Test)

该检验是单样本或配对样本 \(t\) 检验的非参数等价物，用于对总体中位数 \(M\) 进行假设检验。

详细步骤（配对样本/检验 \(M_0\)）：
  1. 计算差值： 算出 \(d_i\)（即 \(x_i - M_0\) 或 \(A_i - B_i\)）。
  2. 忽略零值： 剔除所有差值为零的观测值，并相应减少 \(n\)。
  3. 对绝对差值排序： 对剩余差值的绝对值 \(|d_i|\) 进行排序。（注意： 课程大纲说明考题中不会涉及秩次并列的情况，这简化了步骤。）
  4. 赋予秩次符号： 为每个秩次标注其原始差值 \(d_i\) 的符号。
  5. 计算秩次和：
    • \(P\)：所有正差值对应的秩次之和。
    • \(Q\)：所有负差值对应的秩次之和。
    （校验：\(P + Q = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\)，其中 \(n\) 为非零差值的个数。）
  6. 确定检验统计量 (\(T\))：

    检验统计量 \(T\) 取 \(P\) 和 \(Q\) 中的较小值。

    \[ T = \min(P, Q) \]

  7. 查阅临界值表： 使用威尔科克森符号秩检验的临界值表（MF19）。如果计算出的 \(T\) 小于或等于临界值，我们拒绝 \(H_0\)。

为什么取较小值？ 如果 \(H_0\) 成立，正秩和与负秩和应该大致相等。如果其中一个非常小（意味着另一个非常大），则表明数据偏离了零中位数。

辅助小贴士： 不必背诵临界值，考试时会提供表 (MF19)。只需记住，在此检验中，\(T\) 值越小，反驳 \(H_0\) 的证据越强。

3.2 威尔科克森秩和检验 (曼-惠特尼 U 检验)

该检验用于比较两个独立总体，以查看它们是否相同（即分布是否一致）。它是两样本 \(t\) 检验的非参数替代方案。

设 \(m\) 为较小样本的容量，\(n\) 为较大样本的容量，且 \(m \le n\)。

详细步骤：
  1. 合并与排序： 将两个样本的所有数据点合并成一组，对所有 \(m+n\) 个观测值进行从小到大（秩次 1 到 \(m+n\)）的排序。
  2. 计算 \(R_m\)： 求出较小样本（容量为 \(m\)）所有秩次之和，记为 \(R_m\)。
  3. 确定检验统计量 (\(W\))： 我们需要计算一个对比值。
    • \(R_m\)（较小样本的秩和）
    • \(m(n+m+1) - R_m\)（对比和）
    检验统计量 \(W\) 为这两个值中的较小者。
    \[ W = \min\left( R_m, \ m(n+m+1) - R_m \right) \]
  4. 查阅临界值表： 使用威尔科克森秩和检验的临界值表（MF19），利用对应的 \(m\) 和 \(n\) 值。如果计算出的 \(W\) 小于或等于临界值，则拒绝 \(H_0\)（即总体分布一致的假设）。

你知道吗？ 威尔科克森秩和检验在数学上等同于曼-惠特尼 U 检验，尽管它们在统计量的计算公式上略有不同。

核心速记： 威尔科克森检验依赖于对数据排序。符号秩检验（单样本/配对）将秩次与中位数/零差异进行比较，而秩和检验（两独立样本）则比较两组之间的秩和。

4. 大样本的正态近似

正如二项分布和泊松分布一样，当样本量变得很大时，通过查表来计算临界值或概率会变得非常繁琐（而且临界值表通常只到一定限度，例如 \(n=20\)）。

当 \(n\)（或 \(m\) 和 \(n\)）较大时，我们可以利用正态分布来近似检验统计量的分布。这依赖于中心极限定理。

4.1 威尔科克森符号秩检验 \(T\) 的正态近似

当样本量 \(n\)（非零差值的数量）较大时使用。

检验统计量 \(P\)（或 \(Q\)）近似服从正态分布：

均值：\(E(P) = \mu_P = \frac{1}{4}n(n+1)\)
方差：\(Var(P) = \sigma^2_P = \frac{1}{24}n(n+1)(2n+1)\)

由于 \(T\) 是 \(P\) 和 \(Q\) 的较小值，我们计算差值和小于或等于观测值 \(T\) 的概率。

4.2 威尔科克森秩和检验 \(R_m\) 的正态近似

当两个样本量 \(m\) 和 \(n\) 均较大时使用。我们通常关注较小样本秩和 \(R_m\) 的分布。

检验统计量 \(R_m\) 近似服从正态分布：

均值：\(E(R_m) = \mu_{R_m} = \frac{1}{2}m(m+n+1)\)
方差：\(Var(R_m) = \sigma^2_{R_m} = \frac{1}{12}mn(m+n+1)\)

在这两种情况下，一旦得到均值和方差，我们就可以计算标准化检验统计量 \(Z\)：

\[ Z = \frac{T - \mu_T}{\sigma_T} \quad \text{或} \quad Z = \frac{R_m - \mu_{R_m}}{\sigma_{R_m}} \]

（注意：在使用正态近似时，你可能需要进行连续性修正，尽管这通常影响较小，具体取决于题目要求。）

常见错误警示！

学生们经常搞混什么时候用哪种威尔科克森检验：

  • 符号秩检验 (\(T\))： 用于单样本或配对数据。它使用的是差值。
  • 秩和检验 (\(W\))： 用于两个独立样本。它使用的是合并后的秩次。

核心速记： 对于大样本，非参数检验可以通过正态分布进行近似，利用基于秩次导出的特定均值和方差公式即可完成。