Vectors

Further Pure Mathematics 1: 第 1.6 节 向量

你好！欢迎来到“向量”这一章。你在 AS Level 的学习中已经接触过向量了，当时主要侧重于直线和点积。在进阶数学（Further Maths）中，我们将向量带入了更高阶的领域：三维空间、处理平面、计算面积，以及求两条不相交直线（称为异面直线）之间的最短距离。

这一章要求你有很强的空间想象能力。如果觉得概念比较抽象也不用担心——我们会拆解每一个概念，使用类比，并专注于你在 Paper 1 中必须掌握的公式。熟练掌握这些技巧对于解决复杂的几何问题至关重要！

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1. 复习：标量积（点积）

在进入新内容之前，让我们快速回顾一下衡量角度和垂直度的基础工具——标量积（Scalar Product）。

若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)，则标量积为： \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\]

它也可以通过几何定义： \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta\] 其中 \(\theta\) 是两个向量之间的夹角。

• 核心应用： 如果两个非零向量垂直（成 90° 角），那么 \(\cos 90^\circ = 0\)，因此 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)。这是你判断垂直度的首选测试方法！

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2. 向量积（叉积） \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)

向量积是本章中最强大的新工具。与标量积（得到一个数值）不同，向量积得到的是一个向量。

2.1 几何定义与方向

向量积 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 是一个向量，其大小和方向定义如下：

• 大小： \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta\)。这个大小表示由向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 所构成的平行四边形的面积。
• 方向： 结果向量垂直于 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 两者。我们用单位向量 \(\mathbf{n}\) 来表示这个方向。

因此，课程大纲将向量积定义为： \[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta \mathbf{n}\]

你知道吗？ \(\mathbf{n}\) 的方向由右手定则确定。如果你将手指从 \(\mathbf{a}\) 弯曲向 \(\mathbf{b}\)，你的大拇指指向的就是 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 的方向。这意味着 \(\mathbf{b} \times \mathbf{a} = - (\mathbf{a} \times \mathbf{b})\)。顺序很重要！

2.2 分量形式的计算

计算 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 通常使用分量法。这个过程看起来很复杂，但一旦你掌握了规律，它就变得非常机械化。

若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)，则： \[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k}\]

学习小贴士： 如果这个公式让你感到头疼，可以使用行列式法（即使你在考试中不需要显式写出行列式符号）。将 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的分量写两遍，进行交叉相乘，在计算对应的单位向量时，覆盖掉该列：

对于 \(\mathbf{i}\)：忽略第一列，计算 \((a_2b_3 - a_3b_2)\)。
对于 \(\mathbf{j}\)：忽略中间列，计算 \((a_3b_1 - a_1b_3)\)。（注意顺序交换是为了抵消行列式计算中的符号变化。）
对于 \(\mathbf{k}\)：忽略最后一列，计算 \((a_1b_2 - a_2b_1)\)。

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3. 平面方程

平面是三维空间中无限大的二维表面。它有几种等价的定义方式。课程大纲要求你理解并在这三种主要形式之间进行转换。

3.1 笛卡尔形式： \(ax + by + cz = d\)

这是标准的代数形式。

• 系数 \((a, b, c)\) 构成了法向量 \(\mathbf{n}\)。
• 常数 \(d\) 决定了平面相对于原点的位置。

3.2 向量法向形式： \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\)

这是计算中最有用的形式。

• \(\mathbf{r}\) 是平面上任意一点 \((x, y, z)\) 的位置向量。
• \(\mathbf{n}\) 是法向量（垂直于平面）。
• \(p\) 是标量常数。如果 \(\mathbf{n}\) 是单位向量，那么 \(p\) 就是从原点到平面的最短距离。通常情况下，\(p = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)，其中 \(\mathbf{a}\) 是平面上的任意位置向量。

转换技巧： 如果你有 \(\mathbf{r} \cdot (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = p\)，将 \(\mathbf{r}\) 展开为 \(x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)，即可直接得到笛卡尔形式： \(ax + by + cz = p\)。

3.3 参数向量形式： \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{c}\)

这种形式使用两个方向向量来定义平面。

• \(\mathbf{a}\) 是平面上固定点的位置向量。
• \(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\) 是位于平面内的非平行方向向量。
• \(\lambda\) 和 \(\mu\) 是独立的标量参数。
• 类比： 如果直线是由向一个方向移动（\(\mathbf{d}\)）定义的，那么平面就是由向两个独立方向移动（\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\)）定义的。

从参数形式转为法向形式：

关键纽带是向量积！由于 \(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\) 都在平面内，它们的叉积必然给出法向量 \(\mathbf{n}\)： \[\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}\] 一旦得到 \(\mathbf{n}\)，计算 \(p = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)，你就得到了 \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\) 的方程。

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4. 解决涉及直线、平面和角度的问题

这一部分是将标量积和向量积结合起来解决复杂几何场景的环节。

4.1 直线与平面的关系

已知直线 \(\mathbf{L}: \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)（方向 \(\mathbf{d}\)）和平面 \(\mathbf{\Pi}: \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\)（法向量 \(\mathbf{n}\)），会有三种情况：

1. 相交： 直线穿过平面于一点。
2. 平行（无交点）： 直线平行于平面但不在平面内。
3. 直线位于平面内： 直线平行于平面且所有点都在平面上。

如何判定：

• 第一步：检查是否平行。 如果直线平行于平面，其方向向量 \(\mathbf{d}\) 必须垂直于法向量 \(\mathbf{n}\)。
  检查：\(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0\) 是否成立？
  如果 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \neq 0\)，则直线与平面相交（情况 1）。


• 第二步：如果是平行，检查直线是否在平面内。 如果 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0\)，直线要么平行，要么在平面内。取直线上已知的点 \(\mathbf{a}\)，检查它是否满足平面方程。
  检查：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = p\) 是否成立？
  如果是，则直线位于平面内（情况 3）。如果不是，则直线严格平行（情况 2）。

4.2 求直线与平面的交点

将直线的一般点（\(\mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)）代入平面方程（\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\)）：
\[(\mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}) \cdot \mathbf{n} = p\]
整理此方程解出参数 \(\lambda\)。一旦得到 \(\lambda\)，将其代回直线方程即可求得交点坐标。

4.3 点到平面的垂足

想象从点 P 向平面照射一束激光。垂足就是光束击中平面的位置。

过程：

1. 确定给定的点 P（位置向量 \(\mathbf{p}\)）和平面（\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\)）。
2. 由于垂线必然平行于平面的法向量，写出经过 P 且方向为 \(\mathbf{n}\) 的直线 L 的方程： \[\mathbf{r} = \mathbf{p} + \lambda \mathbf{n}\]
3. 找出这条新直线 L 与平面 \(\Pi\) 的交点（使用 4.2 中的方法）。
4. 这个交点就是垂足。

4.4 涉及平面的角度

处理角度时，记住这个黄金法则：法向量 \(\mathbf{n}\) 是你最好的朋友。

两个平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 之间的夹角

两个平面之间的夹角等于它们的法向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\) 之间的夹角。
使用标量积公式： \[\cos \theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\]

注意：我们使用绝对值 \(| \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 |\) 来确保计算出的角度 \(\theta\) 始终为锐角（0° 到 90° 之间），这是平面夹角的常规约定。

直线 L（方向 \(\mathbf{d}\)）与平面 \(\Pi\)（法向量 \(\mathbf{n}\)）之间的夹角

这是一个常见的陷阱！ 使用 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}\) 计算出的角度并不是要求的夹角。

如果你使用公式 \(\cos \alpha = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}\)，你得到的是直线与法向量之间的夹角 \(\alpha\)。由于法向量垂直于平面，你真正需要的角度 \(\theta\) 是： \[\theta = 90^\circ - \alpha\]

或者，你可以直接计算 \(\sin \theta\): \[\sin \theta = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}\] （因为 \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\)。）

4.5 两个平面的交线

当两个非平行平面相交时，它们形成一条直线 L。

交线必然垂直于两个平面的法向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\)。

• 第一步：求方向向量 \(\mathbf{d}\)。 使用向量积： \[\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2\]
• 第二步：求公有点 \(\mathbf{a}\)。 为一个坐标选择一个值（例如 \(z=0\) 或 \(y=0\)），然后解剩下的两个笛卡尔方程组。
• 第三步：写出直线方程。 使用公有点 \(\mathbf{a}\) 和方向 \(\mathbf{d}\)：\(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)。

5. 两条异面直线之间的最短距离

两条直线如果既不平行也不相交，则称为异面直线（比如立方体上互不相邻的棱）。求它们之间的最短距离通常被认为是向量这一章最棘手的部分。

设直线方程为： \[\mathbf{L}_1: \mathbf{r} = \mathbf{a}_1 + \lambda \mathbf{d}_1\] \[\mathbf{L}_2: \mathbf{r} = \mathbf{a}_2 + \mu \mathbf{d}_2\]

5.1 找公垂线的方向

代表最短距离的线必须垂直于 \(\mathbf{d}_1\) 和 \(\mathbf{d}_2\)。我们使用向量积来找到这条公垂线的方向 \(\mathbf{N}\)： \[\mathbf{N} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2\]

5.2 计算最短距离 (D)

最短距离 D 是连接两个固定点的向量 \((\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)\) 在公垂线方向 \(\mathbf{N}\) 上的投影。

公式为： \[D = \left| \frac{(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) \cdot \mathbf{N}}{|\mathbf{N}|} \right|\]

类比： 想象直线 1 和直线 2 是两根水管。\(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1\) 是连接水管 1 上任意一点和水管 2 上任意一点的向量。最短距离 D 就是通过将这个连接向量投影到最短、最垂直的路径 \(\mathbf{N}\) 上得到的。

5.3 求公垂线的方程

这是一个进阶要求，你需要找到直线 \(\mathbf{L}_1\) 上的点 P 和直线 \(\mathbf{L}_2\) 上的点 Q，它们定义了最短距离。

1. 设 P 和 Q 分别为 \(\mathbf{L}_1\) 和 \(\mathbf{L}_2\) 上的通用点，使用参数 \(\lambda\) 和 \(\mu\)。
2. 向量 \(\vec{PQ}\) 必须平行于公垂线 \(\mathbf{N}\)（即 \(\vec{PQ} = k\mathbf{N}\) 或 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_1 = 0\) 且 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_2 = 0\)）。
3. 建立两个方程：\(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_1 = 0\) 和 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_2 = 0\)。
4. 解关于 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 的联立方程组。
5. 将 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 代回直线方程求出 P 和 Q 的坐标。
6. 公垂线的方程为 \(\mathbf{r} = \mathbf{p} + \tau (\mathbf{q} - \mathbf{p})\)。