Newton’s laws of motion

牛顿运动定律（力学 9709，试卷 4）

欢迎来到力学中最基础的章节之一！牛顿三大运动定律解释了物体为何会移动、为何会停止，以及力之间是如何相互作用的。掌握这些定律绝对至关重要，因为它们构成了本课程大纲中解决几乎所有涉及运动问题的基础。

如果起初觉得应用这些定律有点棘手，请不必担心——这需要仔细绘图和逻辑思考。我们将逐步拆解每一条定律，并研究常见的情境。

1. 理解三大运动定律

牛顿第一定律 (N1L)：惯性定律

概念：除非受到外在合力作用，否则物体将保持静止状态或维持匀速运动（零加速度）。

简单来说，N1L 解释了惯性。物体是“懒惰的”，会抗拒其运动状态的改变。

• 如果物体是静止的，它会保持静止。
• 如果物体正以恒定速率沿直线运动，它会继续保持这种运动状态。
• 这种状态（静止或匀速）称为平衡 (Equilibrium)。在平衡状态下，合力 \(F\) 为零 (\(F=0\))。

类比：当你在车上猛踩刹车时，你的身体会继续向前移动，直到安全带施加一个合力来阻止你为止。

牛顿第二定律 (N2L)：威力强大的方程

概念：作用于物体的合力等于动量随时间的变化率；或者，对于质量恒定的质点，合力与其产生的加速度成正比。

这是你在解决力学问题时会不断用到的方程：

\(F = ma\)

• \(F\) 是合力（或净力），单位为牛顿 (N)。
• \(m\) 是质点的恒定质量，单位为千克 (kg)。
• \(a\) 是加速度，单位为 \(\text{m\,s}^{-2}\)。

N2L 的关键点：加速度的方向始终与合力的方向相同。如果 \(a\) 为零，N2L 就简化为 N1L (\(F=0\))。

牛顿第三定律 (N3L)：作用力与反作用力

概念：当物体 A 对物体 B 施加一个力（“作用力”）时，物体 B 会同时对物体 A 施加一个大小相等且方向相反的力（“反作用力”）。

重要区别：N3L 配对中的力总是作用在不同的物体上。

课程大纲范例：质点对地面施加的力，与地面对质点施加的力大小相等且方向相反。

• 力 1（作用力）：质点下拉地球的重力。
• 力 2（反作用力）：地球上拉质点的万有引力。

你知道吗？放在地面上的木块所受到的地面正压力（\(R\)），并不是该木块重力（\(W\)）的 N3L 配对。\(R\) 和 \(W\) 都是作用在木块上的力，但如果木块处于平衡状态（N1L），它们会相互抵消。

2. 质量、重量与重力加速度 (\(g\))

在使用 \(F=ma\) 之前，我们必须正确辨别质量与重量。

质量 (\(m\))

质量是物体所含物质的量。它是一个标量（只有大小），并且无论位置如何都保持不变（除非是在接近光速的情况下移动，但这不在我们的考虑范围内！）。

重量 (\(W\))

重量是因重力而施加于物体上的力。它是一个矢量（有大小和方向），且总是垂直向下。

\(W = mg\)

其中：

• \(W\) 是重量（力，单位为 N）。
• \(m\) 是质量（单位为 kg）。
• \(g\) 是重力加速度。课程大纲要求使用近似数值：\(g = 10 \, \text{m\,s}^{-2}\)，除非题目另有说明。

3. 力学中的常见模型力

在大多数问题中，你会遇到重量、正压力、张力、摩擦力和推力等力。

A. 正压力 (\(R\))

这是表面施加的力，方向垂直于接触面，用以承托在其上的物体。

B. 摩擦力 (\(F_f\)) 与接触力

两个表面之间的接触力可以分解为两个分量：法向分量 (\(R\)) 和 摩擦分量 (\(F_f\))，后者平行于接触面并阻碍运动（或运动趋势）。

光滑与粗糙接触

• 光滑接触：这是一个理想化的模型，假设摩擦力为零 (\(F_f = 0\))。这会大大简化计算。
• 粗糙接触：存在摩擦力。

极限平衡（极限摩擦力）

当物体处于静止但“即将滑动”的状态，或正在运动时，摩擦力达到其最大可能值，称为极限摩擦力 (Limiting Friction)。

定义此极限的关系式为：

\(F = \mu R\)

• \(\mu\) (mu) 是摩擦系数（一个无量纲常数）。
• \(R\) 是正压力。

摩擦力的一般规则：

• 如果物体正在运动或处于极限平衡（即将滑动）：\(F = \mu R\)。
• 如果物体静止且没有即将滑动的趋势：实际摩擦力 \(F\) 小于最大可能摩擦力：\(F < \mu R\)。

C. 不可伸长绳索中的张力 (\(T\))

张力是通过绳子、绳索或缆线传递的力。

• 轻绳：假设质量为零，因此忽略其重量。
• 不可伸长绳索：假设不会被拉长。这意味着由绳子连接的质点必须具有相同大小的加速度。

D. 连接杆中的推力或压缩力 (\(C\))

当两个物体（例如汽车和拖车）由刚性杆件推动时，传递的力称为推力 (thrust)（有时称为压缩力）。此力作用的方向背离被推动的物体。

4. 逐步应用牛顿第二定律 (\(F=ma\))

应用 N2L 包括两个主要步骤：绘制图表和分解力。

步骤 1：绘制受力图

始终将你要分析的质点分离出来，并画出所有作用在该质点上的力（受力分析图）。标示加速度 (\(a\)) 的方向。

步骤 2：分解力

选择一组垂直的方向来分解力。通常这些方向为：

• 垂直于运动方向（通常在此方向 \(a=0\)，用于求 \(R\)）。
• 平行于运动方向（用于计算合力 \(F\) 并求出 \(a\)）。

情境 1：垂直运动

当质点做严格的垂直运动（例如电梯或下落的物体，除非另有说明，否则忽略空气阻力）时，力通常只有重量 \(W\) 以及支撑或拉动的力 \(T\) 或 \(R\)。

范例：电梯以加速度 \(a\) 向上移动。

受力情况（向上为正）：\(T\)（缆线张力，向上）和 \(W\)（重量 \(mg\)，向下）。

应用 \(F=ma\)：

\(T - mg = ma\)

如果电梯向下加速：

\(mg - T = ma\)

情境 2：斜面上的运动

这种情境很常见，且容易造成混淆。我们必须沿着斜面平行和垂直的方向分解力，而不是沿着水平和垂直方向。

关键的三角函数技巧：如果斜面与水平面成 \(\alpha\) 角，则重力矢量 \(mg\)（垂直向下）可以分解为：

• 垂直于斜面： \(mg \cos \alpha\)
• 平行于斜面（向下）： \(mg \sin \alpha\)

逐步分解：

1. 垂直于斜面 (\(a = 0\))： 力保持平衡。
\(R - mg \cos \alpha = 0 \implies R = mg \cos \alpha\)
2. 平行于斜面 (\(F=ma\))： 假设物体向下滑动。向下作用的力有 \(mg \sin \alpha\) 以及可能的摩擦力 \(F_f\)。
如果斜面是光滑的且物体向下滑动：
\(mg \sin \alpha = ma \implies a = g \sin \alpha\)

鼓励一下：记住重力的分量技巧：\(\sin\) 用于滑动，\(\cos\) 用于挤压。正弦分量使物体向下滑动，余弦分量决定了正压力（挤压）。

情境 3：连接质点的运动

质点可以透过滑轮上的绳索连接（简单的阿特伍德机 Atwood machine），或者由杆件/绳索拖动（汽车和拖车）。

A. 汽车拖曳拖车（推力或张力）

当质量为 \(M\) 的汽车使用轻质刚性牵引杆（推力）或绳索（张力 \(T\)）拖曳质量为 \(m\) 的拖车时，它们会以共同的加速度 (\(A\)) 加速。

方法 1：将其视为一个单一系统。

总质量为 \((M+m)\)。内部作用力（张力/推力）会互相抵消。如果汽车提供驱动力 \(P\)，且总阻力为 \(R_{tot}\)：

\(P - R_{tot} = (M+m)A\)

方法 2：分别分析每个质点。

我们使用此方法来求内部作用力（张力 \(T\) 或推力 \(C\)）：

• 对于拖车（质量 \(m\)）： 如果 \(T\) 是张力，\(R_m\) 是其阻力：
\(T - R_m = mA\)
• 对于汽车（质量 \(M\)）： 如果 \(P\) 是引擎力，\(R_M\) 是其阻力：
\(P - T - R_M = MA\)

B. 透過光滑滑轮连接的质点

如果两个质量 \(m_1\) 和 \(m_2\) (\(m_1 > m_2\)) 由绕过光滑滑轮的轻质不可伸长绳索连接，则系统会以单一加速度大小 \(a\) 移动。

我们分别分析每个质量：

• 质量 1（向下移动）： 受力为 \(m_1g\)（向下）和 \(T\)（向上）。
\(m_1g - T = m_1a \quad (i)\)
• 质量 2（向上移动）： 受力为 \(T\)（向上）和 \(m_2g\)（向下）。
\(T - m_2g = m_2a \quad (ii)\)

（注意：将 \((i)\) 和 \((ii)\) 相加，张力 \(T\) 会抵消，从而可以快速计算出 \(a\)。）

总结：牛顿定律的关键要点

力学部分重点在于在恒力作用下应用 N2L (\(F=ma\))，这会导致恒定加速度。请记住：

• 如果速度恒定或为零，则 \(a=0\) 且 \(F_{net}=0\) (N1L)。
• 重量为 \(W=mg\)，使用 \(g=10 \, \text{m\,s}^{-2}\)。
• 只有在物体正在运动或即将运动时，摩擦力才为 \(F=\mu R\)。
• 请务必确保力是在正确的方向上进行分解——特别是在斜面上，重力分量 \(mg \sin \alpha\) 是驱动运动的关键。