Permutations and combinations

AS & A Level 数学 9709 (Paper 5: 概率与统计 1)

第 5.2 章：排列与组合 (Permutations and Combinations)

欢迎来到统计学中最令人兴奋（有时也最烧脑！）的部分：计算事件发生的总数。无论何时需要计算排列或选取方式，排列（Permutations）与组合（Combinations）都是不可或缺的工具。

别担心公式初看时会很复杂！ 关键在于学会问正确的问题：顺序重要吗？（Does the order matter?） 一旦回答了这个问题，剩下的就只是简单的计算了。掌握这一章，将为你日后解决更复杂的概率问题打下坚实的基础。

课程范围提示： Cambridge 9709 课程范围涵盖线性排列与选取。有关物体排成圆形的题目并不包括在内。

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第 1 部分：必备基础知识 – 阶乘 (Factorials, n!)

在深入研究排列之前，我们需要先掌握阶乘 (Factorial) 的概念。

什么是阶乘？

非负整数 \(n\) 的阶乘，记作 \(n!\)，是指所有小于或等于 \(n\) 的正整数之积。它简单地代表了将 \(n\) 个不同物体排成一列的总方法数。

公式：
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1\)

示例： 如果你有 4 位朋友 (A, B, C, D) 和 4 张椅子，他们有多少种就座方式？

• 第 1 张椅子：4 种选择
• 第 2 张椅子：剩下 3 种选择
• 第 3 张椅子：剩下 2 种选择
• 第 4 张椅子：剩下 1 种选择

排列总数 = \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) 种。

要点提示：
\(0!\) 的值定义为 1。（听起来很奇怪，但你可以把它理解为：排列 0 个物体只有一种方法——即什么都不做！）

重点总结： 阶乘告诉我们排列“所有”不同物体的方法数。

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第 2 部分：排列 (Permutations，顺序很重要！)

排列 (Permutation) 是指在选取物体时，顺序或位置非常重要的情况。

排列 (P) 的顺序测试： 如果改变两个所选物体的位置会产生一个新的、不同的结果，那么它就是一个排列。
类比： 设置密码。“CAT”与“ACT”是不同的。顺序很重要！

A. 不同物体的线性排列

当你从 \(n\) 个物体中选取 \(r\) 个物体，并将它们排成一列时，就会用到这个概念。

符号： \(_{n}P_{r}\) 或 \(P(n, r)\)
这代表“从 \(n\) 个物体中每次取 \(r\) 个进行排列的方法数”。

公式：
\(_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\)

分步示例：
一场比赛有 10 名选手。金、银、铜牌有多少种颁发方式？（这里 \(n=10\)，\(r=3\)）。

1. 确认顺序很重要（金银铜与银金铜是不同的）。使用排列。
2. 代入公式：\(_{10}P_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}\)
3. 计算：\(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) 种。

B. 有重复项的排列 (相同物体)

有时候，你排列的物体并非全都不同（例如，单词 'BOOK' 中的字母有两个 O）。如果直接使用 \(n!\)，我们会计算出外观相同的重复排列。

为了修正重复项的影响，我们必须用排列总数除以每个重复物体出现次数的阶乘。

有重复排列的公式：
如果你有 \(n\) 个总物体，其中第 1 类有 \(r_1\) 个相同物体，第 2 类有 \(r_2\) 个相同物体，依此类推，不同排列的数量为：

\(\frac{n!}{r_1! r_2! \dots r_k!}\)

示例（课程范围）：
求单词 NEEDLESS 中字母的不同排列数。

1. 总字母数 \(n=8\)。
2. 计算重复：E 出现 3 次 (\(r_E = 3\))，S 出现 2 次 (\(r_S = 2\))，N、D、L 各出现 1 次。
3. 计算：\(\frac{8!}{3! \times 2!} = \frac{40320}{6 \times 2} = 3360\) 种不同排列。

C. 有限制的排列 (“捆绑法”/Glue Method)

当某些物体必须在一起时（例如，人们必须坐在相邻的位置），我们使用“捆绑法”。

方法：

1. 将有限制的物体“捆绑”在一起，将它们视为一个单一整体。
2. 计算包括这个新整体在内的总物体排列方法数。
3. 计算限制物体在其单位内部的排列方法数。
4. 将第 2 步和第 3 步的结果相乘。

示例：
4 男 (B) 和 2 女 (G) 排成一列。如果两名女生必须站在一起，有多少种排列方式？

单位 = (GG)。要排列的总物体 = (单位) + B1 + B2 + B3 + B4 = 5 个物体。

1. 5 个物体的排列：\(5! = 120\) 种。
2. 单位内部 (GG) 的排列：\(2! = 2\) 种（G1G2 或 G2G1）。
3. 总排列数：\(120 \times 2 = 240\) 种。

限制（必须“不”站在一起）：
如果 2 名女生必须不站在一起，计算方法为：
总排列数（无限制）- 排列数（女生在一起）。

• 总排列数（6 人）：\(6! = 720\)
• 女生在一起的排列数（上述已算）：240
• 女生不在一起的排列数：\(720 - 240 = 480\) 种。

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第 3 部分：组合 (Combinations，顺序不重要！)

组合 (Combination) 是指在选取物体时，选取的顺序无关紧要。

组合 (C) 的顺序测试： 如果改变两个所选物体的位置结果是一样的，那么它就是一个组合。
类比： 选择团队/委员会。委员会 {约翰, 玛丽} 与 {玛丽, 约翰} 是同一个委员会。顺序不重要！

A. 不同物体的选取

当你从 \(n\) 个物体中选取 \(r\) 个物体，但不需要将它们排列时，就会用到这个概念。

符号： \(_{n}C_{r}\) 或 \(\binom{n}{r}\)
这代表“从 \(n\) 个物体中每次取 \(r\) 个进行组合的方法数”。

公式：
\(_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

你知道吗？ 组合公式其实就是排列公式除以 \(r!\)。我们除以 \(r!\) 是因为所选物体有 \(r!\) 种排列方式，而在组合中，既然顺序不重要，我们就需要消除这些重复的排列。

分步示例：
你有 10 位朋友，需要选出 3 位去看电影。有多少种选法？（这里 \(n=10\)，\(r=3\)）。

1. 确认顺序不重要（A, B, C 与 C, B, A 是同一组人）。使用组合。
2. 代入公式：\(_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! 7!}\)
3. 计算：\(\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\) 种。

组合的重要属性：
从 10 个中选出 3 个，等于选出 7 个“留下来（不选）”。
\(_{10}C_3 = {}_{10}C_7\)。这种对称性有时可以简化计算。

重点总结： 组合是关于选取一个位置无关的子群体。

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第 4 部分：解决复杂问题 (排列与组合结合)

许多考试题目要求将排列与组合混合使用，通常涉及不同的群组或限制。

A. 涉及不同群组的问题 (“AND”乘法法则)

如果选择过程需要从 A 组中选取 m 个物体，并且 (AND) 从 B 组中选取 k 个物体，你需要分别计算每组的选取可能性，然后将结果相乘。

示例：
从 8 名男士和 6 名女士中组成一个 5 人委员会，要求其中必须刚好有 3 名男士和 2 名女士。

从 8 人中选 3 男：\(_{8}C_3 = 56\)
从 6 人中选 2 女：\(_{6}C_2 = 15\)
总方法数 = (选男方法) \(\times\) (选女方法)
总方法数 = \(56 \times 15 = 840\)

B. 涉及多个情况的问题 (“OR”加法法则)

如果场景可以由情况 1 或 (OR) 情况 2 来满足（这些情况互斥——不能同时发生），你将结果相加。

示例：
使用上述群组（8 男，6 女），有多少种方法可以组成 5 人委员会，且至少有 4 名男士？

“至少 4 名男士”意味着：情况 1（4 男 AND 1 女）或 情况 2（5 男 AND 0 女）。

情况 1： 4 男 1 女
\(_{8}C_4 \times {}_{6}C_1 = 70 \times 6 = 420\)

情况 2： 5 男 0 女
\(_{8}C_5 \times {}_{6}C_0 = 56 \times 1 = 56\)

总方法数 = \(420 + 56 = 476\)

C. 先选择后排列法则

如果题目要求先选择一个子群组，然后对该子群组进行排列，则必须结合使用 C 和 P。

步骤 1 (选择)： 使用组合 (\(_{n}C_{r}\)) 来选取物体。
步骤 2 (排列)： 使用阶乘 (\(r!\)) 来排列所选物体。

注意： 从数学上讲，\(_{n}C_r \times r! = {}_{n}P_r\)。你本质上是在执行一个排列操作。然而，理解这两个独立步骤对于处理复杂约束条件至关重要。

示例：
从 7 幅画中选出 3 幅挂在墙上。有多少种不同的展示方式？

1. 选择：\(_{7}C_3 = 35\) 种选取方式。
2. 排列：\(3! = 6\) 种排列这些所选画作的方式。
3. 总展示方式：\(35 \times 6 = 210\)。(或者直接用 \(_{7}P_3 = 210\))。

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常见错误与避坑指南

1. 忘记顺序测试： 永远要问：如果我交换两个物体，结果会不同吗？如果是，请使用 P。如果不是，请使用 C。

2. 误用“捆绑法”： 如果物体 A 和 B 必须在一起，别忘了内部的排列：(AB) 和 (BA) 是不同的内部排列，所以你必须乘以 \(2!\)。

3. 忽略重复项： 如果在排列字母，一定要检查是否有重复，记得要除以重复次数的阶乘。

4. 在“至少”问题中重复计算： 计算“至少 X”时，确保你的不同情况（情况 1、情况 2 等）没有交集。使用“OR”法则（加法）仅适用于互斥的情况。

请记住，练习才是关键！一旦你能正确判断题目属于排列还是组合，计算就会变得非常自然。加油！