Permutations and combinations

AS & A Level 数学 9709 (Paper 5: 概率与统计 1)

第 5.2 章：排列与组合

欢迎来到统计学中最令人兴奋（有时也最棘手！）的部分：计算事物发生的可能性。无论何时，只要你需要计算排列或选取的方案数，排列与组合就是不可或缺的核心工具。

如果公式起初看起来很复杂，别担心！ 关键在于学会问自己正确的问题：顺序是否重要？ 一旦明确了这一点，剩下的就只是计算问题了。掌握本章的内容，将为你后续解决更复杂的概率问题打下坚实的基础。

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第 1 部分：必备基础——阶乘 (n!)

在深入研究排列之前，我们需要掌握阶乘的概念。

什么是阶乘？

非负整数 \(n\) 的阶乘，记作 \(n!\)，是所有小于或等于 \(n\) 的正整数的乘积。它简单地代表了将 \(n\) 个不同物体排成一列的所有可能方式的总数。

公式：
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1\)

示例： 如果你有 4 位朋友 (A, B, C, D) 和 4 个座位，他们有多少种坐法？

• 座位 1：4 种选择
• 座位 2：剩 3 种选择
• 座位 3：剩 2 种选择
• 座位 4：剩 1 种选择

排列总数 = \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) 种。

需要牢记的要点：
\(0!\) 的值定义为 1。（这听起来可能有点奇怪，但你可以这样理解：排列 0 个物体只有一种方式——即什么都不做！）

核心总结： 阶乘告诉我们排列“所有”不同物体的方式数量。

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第 2 部分：排列（顺序很重要！）

排列 (Permutation) 是指在物体排列时，顺序或位置非常重要的情况。

排列 (P) 的顺序测试： 如果交换所选两个物体的位置会产生一个新的、不同的结果，那么这就是一个排列问题。
类比： 设置密码。“CAT”和“ACT”是不同的。顺序很重要！

A. 不同物体的线性排列

这种情况发生在你从 \(n\) 个物体中选取 \(r\) 个，并将它们排成一列时。

记号： \(_nP_r\) 或 \(P(n, r)\)
意为“从 \(n\) 个物体中取出 \(r\) 个进行排列的方法总数”。

公式：
\(_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\)

分步示例：
一场比赛有 10 名选手。金、银、铜牌有多少种颁发方式？（这里 \(n=10\), \(r=3\)）。

1. 确定顺序很重要（金、银、铜与银、金、铜不同）。使用排列。
2. 应用公式：\(_ {10} P_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}\)
3. 计算：\(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) 种方式。

B. 带重复项的排列（相同物体）

有时，你需要排列的物体并不全是不同的（例如，单词 'BOOK' 中有两个 O）。如果我们直接使用 \(n!\)，就会重复计算看起来完全一样的排列。

为了修正这一偏差，我们必须用排列总数除以每个重复物体出现次数的阶乘。

带重复项排列的公式：
如果你总共有 \(n\) 个物体，其中第 1 类有 \(r_1\) 个相同物体，第 2 类有 \(r_2\) 个相同物体，以此类推，不同排列的总数为：

\[\frac{n!}{r_1! r_2! \dots r_k!}\]

示例（考试范围）：
找出单词 NEEDLESS 中字母的所有不同排列数。

1. 总字母数 \(n=8\)。
2. 统计重复项：E 出现 2 次 (\(r_E = 2\))，S 出现 2 次 (\(r_S = 2\))，N、D、L 各出现 1 次。
3. 计算：\(\frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40320}{2 \times 2} = 10080\) 种不同排列。

C. 带限制的排列（“捆绑法”）

当某些物体必须放在一起时（例如，人们必须站在一起），我们使用“捆绑法”。

方法：

1. 将受限制的物体“捆绑”在一起，将它们视为一个单一整体。
2. 计算包含这个新整体在内的总物体的排列数。
3. 计算受限制物体在其整体内部的排列方式。
4. 将第 2 步和第 3 步的结果相乘。

示例：
4 名男生 (B) 和 2 名女生 (G) 排成一列。如果两名女生必须站在一起，有多少种排列方式？

整体 = (GG)。要排列的总物体 = (整体) + B1 + B2 + B3 + B4 = 5 个物体。

1. 这 5 个物体的排列：\(5! = 120\) 种。
2. 整体内部 (GG) 的排列：\(2! = 2\) 种 (G1G2 或 G2G1)。
3. 总排列数：\(120 \times 2 = 240\) 种。

限制（不能相邻）：
如果 2 名女生不能站在一起，计算方法为：
总排列数（无限制） - 女生在一起的排列数。

• 总排列数（6 人）：\(6! = 720\)
• 女生在一起的排列数（如上所算）：240
• 女生不相邻的排列数：\(720 - 240 = 480\) 种。

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第 3 部分：组合（顺序不重要！）

组合 (Combination) 是指从物体中选取一部分，其中选取的顺序无关紧要。

组合 (C) 的顺序测试： 如果交换所选两个物体的位置，结果仍然一样，那么这就是一个组合问题。
类比： 挑选队伍/委员会。由 {John, Mary} 组成的委员会与 {Mary, John} 是同一个委员会。顺序不重要！

A. 不同物体的选取

这种情况发生在你从 \(n\) 个物体中选取 \(r\) 个，但不涉及排列时。

记号： \(_nC_r\) 或 \(\binom{n}{r}\)
意为“从 \(n\) 个物体中取出 \(r\) 个进行组合的方法总数”。

公式：
\(_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

你知道吗？ 组合公式其实就是排列公式除以 \(r!\)。我们除以 \(r!\) 是因为对于选定的物体，有 \(r!\) 种排列方式，由于在组合中顺序不重要，我们必须剔除这些重复计数。

分步示例：
你有 10 位朋友，需要选出 3 人去电影院。有多少种选择方式？（这里 \(n=10\), \(r=3\)）。

1. 确定顺序不重要（A, B, C 和 C, B, A 是同一组人）。使用组合。
2. 应用公式：\(_ {10} C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! 7!}\)
3. 计算：\(\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\) 种方式。

组合的重要性质：
从 10 个中选 3 个，等同于选出 7 个留下（剔除）。
\(_ {10} C_3 = \_ {10} C_7\)。这种对称性有时可以简化计算。

核心总结： 组合关注的是选取一个子集，而不在乎位置。

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第 4 部分：解决复杂问题（排列与组合综合应用）

许多考试题目要求你结合使用排列和组合，通常涉及不同的组别或限制条件。

A. 涉及不同组别的问题（“和”法则/乘法法则）

如果一个选择过程需要从 A 组中选择 m 个物体，并且从 B 组中选择 k 个物体，你需要分别计算每组的选择可能性，然后将结果相乘。

示例：
从 8 名男生和 6 名女生中组成一个 5 人的委员会，要求恰好包含 3 名男生和 2 名女生。

从 8 男选 3 男的方法：\(_8C_3 = 56\)
从 6 女选 2 女的方法：\(_6C_2 = 15\)
总方法数 = (选男方法) \(\times\) (选女方法)
总方法数 = \(56 \times 15 = 840\)

B. 涉及多种情况的问题（“或”法则/加法法则）

如果场景可以通过情况 1 或者 情况 2 满足（且这些情况是互斥的——不能同时发生），则将结果相加。

示例：
使用上文的人群（8 男，6 女），有多少种方法可以组成一个 5 人的委员会，其中至少有 4 名男生？

“至少 4 名男生”意味着：情况 1（4 男 1 女）或 情况 2（5 男 0 女）。

情况 1： 4 男 1 女
\(_8C_4 \times \_6C_1 = 70 \times 6 = 420\)

情况 2： 5 男 0 女
\(_8C_5 \times \_6C_0 = 56 \times 1 = 56\)

总方法数 = \(420 + 56 = 476\)

C. “先选后排”法则

如果题目要求先选出一个子集，然后对子集进行排列，必须将 C 和 P 结合起来。

第 1 步（选择）： 使用组合 (\(_nC_r\)) 选出物体。
第 2 步（排列）： 使用阶乘 (\(r!\)) 对选中的物体进行排列。

注： 数学上，\(_nC_r \times r! = \_nP_r\)。你本质上就是在执行排列。但在处理复杂约束时，将两个步骤拆解开来思考非常重要。

示例：
从 7 幅画中选出 3 幅挂在墙上。有多少种不同的展示方式？

1. 选择：\(_7C_3 = 35\) 种选取画作的方法。
2. 排列：\(3! = 6\) 种排列这 3 幅画的方法。
3. 总展示数：\(35 \times 6 = 210\)。(或者直接用 \(_7P_3 = 210\))。

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避免常见的陷阱

1. 忘记顺序测试： 永远问自己：如果我交换两个物体，结果是否不同？如果是，用 P；如果不是，用 C。

2. 错误使用“捆绑法”： 如果物体 A 和 B 必须在一起，别忘了内部排列：(AB) 和 (BA) 是不同的，因此必须乘以 \(2!\)。

3. 忽略重复项： 排列字母时，一定要检查是否有重复，并记得除以重复次数的阶乘。

4. “至少”类问题中的重复计数： 计算“至少 X”时，确保你的不同情况（情况 1、情况 2 等）互不重叠。“或”法则（加法）仅适用于互斥事件。

记住，练习是关键！一旦你能准确识别问题是属于 P 还是 C，计算就会变得轻而易举。祝你好运！