Characteristics of alternating currents

欢迎来到交流电 (AC) 的世界！

你好，未来的物理学家！在 AS 阶段的学习中，你花费了大量时间研究直流电 (DC) 电路，即电荷在电池等电源的驱动下沿一个方向稳定流动。现在，我们要深入探讨交流电 (AC) 的世界了。

交流电至关重要，因为我们家里的电器和学校的供电都是通过交流电来实现的。理解交流电涉及到处理方向和大小不断变化的物理量，这需要一些新的工具和概念，尤其是均方根值 (r.m.s.) 的概念。

别担心，如果刚开始觉得这个章节有点棘手。我们将逐步拆解交流电不断变化的本质，并学会如何用数学方法来处理它！

21.1 交流电的特性

什么是交流电？

交流电 (AC) 是指随时间周期性反向且大小不断变化的电流或电压。在大多数实际应用中，例如市电供电，这种变化是正弦形式的（遵循正弦波规律）。

正弦交流电的关键定义

当我们在示波器上观察交流信号时，可以识别出三个关键特征：

• 周期 (\(T\))： 波形完成一次完整循环所需的时间。单位为秒 (s)。
• 频率 (\(f\))： 每秒发生的完整循环次数。单位为赫兹 (Hz)。

  小贴士： 频率与周期互为倒数：\(f = 1/T\)。(在许多国家，市电频率为 50 Hz 或 60 Hz。)

• 峰值 (\(x_0\))： 这是电流 (\(I_0\)) 或电压 (\(V_0\)) 在正方向或负方向上达到的最大量值。

正弦交流电的方程

由于电流或电压在不断变化，我们可以用正弦函数从数学上描述其瞬时值 (\(x\))，其中 \(x\) 可以是瞬时电流 \(I\) 或电压 \(V\)。

正弦交流电或电压的方程为：
$$x = x_0 \sin(\omega t)$$

其中：

• \(x\): 瞬时值（电流 \(I\) 或电压 \(V\)）。
• \(x_0\): 峰值（最大振幅）。
• \(\omega\): 角频率（或角速度），单位为弧度每秒 (rad s\(^{-1}\))。
• \(t\): 时间。

联系频率与角频率：
角频率 (\(\omega\)) 与频率 (\(f\)) 和周期 (\(T\)) 的关系为：
$$ \omega = 2\pi f = 2\pi / T $$

记忆技巧： 角频率实际上就是周期循环的快慢，用角度来衡量（一个完整循环对应 \(2\pi\) 弧度）。

纯电阻交流电路中的功率

在直流电路中，功率 \(P = IV\) 是恒定的。而在交流电路中，由于 \(I\) 和 \(V\) 都在不断波动，瞬时功率 (\(P\)) 也会波动。

瞬时功率由 \(P = IV\) 给出。由于 \(I\) 和 \(V\) 呈正弦变化，功率在零和最大值 \(P_0 = I_0 V_0\) 之间振荡。但重要的是，在纯电阻电路中，功率永远不会为负（因为 \(P = I^2 R\)，且 \(I^2\) 始终为正）。

平均功率 (\(\bar{P}\))

当我们计算交流电源做了多少有用功时，我们使用一个完整周期内的平均功率 (\(\bar{P}\))。

• 对于驱动电阻性负载的正弦交流电源：
• 平均功率正好是最大（峰值）功率的一半。
• $$ \bar{P} = \frac{1}{2} P_{max} $$
• 由于 \(P_{max} = I_0 V_0\)，我们有： $$ \bar{P} = \frac{1}{2} I_0 V_0 $$

重点总结： 交流电源在电阻中消耗的功率仅为使用峰值电流和峰值电压计算出的功率的一半，因为电流和电压仅在周期内的短暂瞬间达到其最大值。

均方根值 (R.M.S. Values)

既然交流电压和电流在不断变化，我们如何比较交流电源与直流电源的效果呢？我们使用均方根值 (r.m.s.)。

定义均方根值

均方根电流 (\(I_{r.m.s.}\)) 定义为：在电阻负载中产生与该交流电流相同热效应（相同平均功率）的稳定直流电流的大小。

本质上，r.m.s. 值就是等效的直流值。当你看到标称的市电电压（例如 230 V）时，这始终是 r.m.s. 值。

R.M.S. 公式（仅适用于正弦波）

对于纯正弦交流电（本大纲假设）：

1. 均方根电压： $$ V_{r.m.s.} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} $$
2. 均方根电流： $$ I_{r.m.s.} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} $$

由于 \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\)，r.m.s. 值大约是峰值的 71%。

示例： 如果英国市电电压为 230 V (r.m.s.)，那么施加在你电器上的实际峰值电压为 \(V_0 = 230 \times \sqrt{2} \approx 325\) V。这差别可大了！

将 R.M.S. 与功率联系起来

我们基于等效功耗定义了 r.m.s.。如果我们使用 r.m.s. 值，就可以利用熟悉的直流功率公式来计算平均功率：

$$ \bar{P} = V_{r.m.s.} I_{r.m.s.} = I_{r.m.s.}^2 R = \frac{V_{r.m.s.}^2}{R} $$

你知道吗？ “均方根 (root-mean-square)”一词字面意思描述了计算它的数学过程：先平方值 (Square)，算出平方后的平均值 (Mean)，最后开平方根 (Root)。这个过程确保了电流方向的改变不会抵消其做功的效果。

21.2 整流与平滑

大多数电子设备（如电脑和手机充电器）需要直流电 (DC) 才能运行，但它们插在交流墙壁插座上。将交流电转换为直流电的过程称为整流 (Rectification)。

整流通过二极管 (Diode) 实现。二极管是一种半导体元件，允许电流沿一个方向（正向偏置）轻松流动，但在反向（反向偏置）时几乎完全阻断电流。

1. 半波整流

这是最简单的整流形式，仅需一个二极管。

过程：

• 当交流电压为正时，二极管正向偏置并导通。输出电压等于输入电压。
• 当交流电压为负时，二极管反向偏置并阻断电流。输出电压为零。

结果是产生脉动直流输出，其中只保留了原始交流波的一半。该输出电压不是平滑的直流电；它是脉动的，每个周期会降至零一次。

图形观察： 如果你画出图表，正弦波的负半部分会被切除，并由 \(V=0\) 的直线代替。

2. 全波整流（桥式整流器）

半波整流浪费了一半的输入能量。全波整流利用了整个交流波形，产生更高效（尽管仍然是脉动的）直流输出。这通常使用一种称为二极管桥式整流器（四个二极管）的电路来实现。

过程（桥式电路如何工作）：

四个二极管排列成桥式结构，使得：

1. 在交流输入的正半周期间，电流通过两个特定的二极管流向负载（电阻）。
2. 在交流输入的负半周期间，电流方向反转。然而，它会通过桥中的另外两个特定的二极管流向负载。

结果： 流经负载电阻的电流始终保持相同的方向，无论输入的交流极性如何。输入正弦波的负半部分被“翻转”变为了正数。

图形辨析：

• 半波： 输出有一半时间为零（输出脉冲周期 = \(T\)）。
• 全波： 输出从不为零，且脉冲频率加倍（输出脉冲周期 = \(T/2\)）。

3. 平滑输出（电容器）

整流后的电流（无论是半波还是全波）仍然是质量较差的直流电——它具有高度的脉动性，无法很好地驱动敏感电子设备。我们需要对输出进行平滑处理。

我们通过在负载电阻两端并联一个大电容器 (Capacitor) 来实现平滑。

平滑是如何工作的（水库类比）：

可以将电容器想象成一个小型能量水库。

1. 充电： 当整流电压升向峰值时，电容器迅速充电，储存电能。
2. 放电（关键功能）： 当整流电压开始从峰值下降（原本会急剧下降）时，二极管关断。电容器现在充当临时电源，将其储存的能量通过负载电阻放电。这种放电使电压保持在高位，直到下一个脉冲到来。

结果是输出电压永远不会有明显的下降，从而减少了“纹波”（电压中的微小波动）。

分析 C 和负载电阻 (R) 的影响

平滑效果取决于电容器放电所需的时间，这由时间常数 (\(\tau\)) 决定。对于 RC 电路，\(\tau = RC\)。

• 电容 (C) 的影响：

  较大的电容 (C) 意味着较大的时间常数 (\(\tau\))。电容器放电需要更长的时间，这意味着在下一个脉冲到达之前电压下降较少。结果：平滑效果更好（纹波更小）。

• 负载电阻 (R) 的影响：

  较大的负载电阻 (R) 意味着负载消耗的电流较小。电容器通过高电阻放电较慢。结果：平滑效果更好（纹波更小）。

我们希望时间常数 (\(\tau = RC\)) 远大于输入交流电源的周期，以确保获得极佳的平滑效果。