第1章：物理量与单位 (9702 AS Level)
欢迎来到 AS 物理学的基础章节！我们在物理学中所做的一切都涉及对世界的测量和描述，本章将为你提供准确、清晰地进行这些操作所需的基本工具箱。如果测量误差或矢量看起来很棘手，请不要担心；读完这些笔记，你将扎实地掌握物理学的语言。
1.1 物理量与估算
物理量 (Physical Quantity) 是指任何可以被测量的东西。要完整地定义一个物理量，你需要两部分：
- 数值大小 (Numerical Magnitude)（多少）。
- 单位 (Unit)（什么种类）。
例子：如果质量为 5 kg，5 是数值大小，kg 是单位。
进行合理的估算
物理学经常要求你判断一个答案是否合理。这意味着你需要具备对物理量进行合理估算 (reasonable estimate) 的能力，特别是那些与日常生活相关的量。
- 人的身高： 大约 1.7 m。（不可能是 17 m 或 0.17 m）。
- 汽车的质量： 大约 1000 kg（1 吨）。
- 心跳的时间间隔： 大约 1 秒。
小贴士： 计算出答案后，一定要检查它是否符合实际情况。如果你算出一辆汽车的速度是 \(10^{8}\) m/s，那你一定算错了，因为这比光速还快！
要点 1.1： 所有的物理测量都需要数值和单位。多练习估算常见的物理量，以此来核对你的计算结果。
1.2 SI 单位制（国际单位制）
SI 单位制 (Système International d'Unités) 是全球通用的测量标准。它确保了全世界的科学家和工程师在计算时使用完全一致的基础。
基本量与基本单位
这些是构成所有其他物理量的基础“积木”。它们不能通过其他单位来定义。
教学大纲要求你熟记以下五个基本量及其单位：
| 物理量 | SI 基本单位 | 符号 |
|---|---|---|
| 质量 (Mass) | 千克 | kg |
| 长度 (Length) | 米 | m |
| 时间 (Time) | 秒 | s |
| 电流 (Electric Current) | 安培 | A |
| 热力学温度 (Thermodynamic Temperature) | 开尔文 | K |
导出单位
导出单位 (Derived units) 是通过将基本单位相乘或相除得到的。它们用于描述导出量（如速度、力或能量）。
例子 1：力 (牛顿, N)
根据 \(F = ma\)：
力 = 质量 \(\times\) 加速度
力的单位 = 质量单位 \(\times\) 加速度单位
\(1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg} \times (1 \, \text{m/s}^2) = \mathbf{\text{kg m s}^{-2}}\)
例子 2：电荷 (库仑, C)
根据 \(Q = It\)：
电荷 = 电流 \(\times\) 时间
电荷的单位 = 电流单位 \(\times\) 时间单位
\(1 \, \text{C} = 1 \, \text{A} \times 1 \, \text{s} = \mathbf{\text{A s}}\)
方程的量纲一致性检查 (Homogeneity)
一项关键技能是利用基本单位来检查方程在量纲上是否正确。这被称为检查量纲一致性 (homogeneity)。
如果一个方程是量纲一致的，那么等号左边 (LHS) 的总 SI 基本单位必须等于右边 (RHS) 的总 SI 基本单位。
重要提示： 量纲一致的方程在物理上不一定是正确的（可能缺少一个常数，例如 \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) 中的 \(\frac{1}{2}\)），但如果方程量纲不一致，那它绝对是错的！
分步示例：检查 \(E_k = mv^2\) 是否量纲一致。
- 左边单位 (能量, E)： 能量即功，\(W = Fd\)。\(W\) 的单位 = \((\text{kg m s}^{-2}) \times \text{m} = \mathbf{\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}}\)
- 右边单位 (\(mv^2\))： 质量单位 (\(m\)) \(\times\) 速度平方的单位 (\(v^2\))
\(mv^2\) 的单位 = \(\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg} \times (\text{m}^2 \text{s}^{-2}) = \mathbf{\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}}\) - 比较： 左边单位 (\(\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}\)) = 右边单位 (\(\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}\))。该方程是量纲一致的。
SI 前缀
前缀是处理极大或极小数字时必不可少的快捷方式。
| 前缀 | 符号 | 乘数因子 | 幂 |
|---|---|---|---|
| Tera (太) | T | 1,000,000,000,000 | \(10^{12}\) |
| Giga (吉) | G | 1,000,000,000 | \(10^{9}\) |
| Mega (兆) | M | 1,000,000 | \(10^{6}\) |
| Kilo (千) | k | 1,000 | \(10^{3}\) |
| (基本单位) | |||
| Deci (分) | d | 0.1 | \(10^{-1}\) |
| Centi (厘) | c | 0.01 | \(10^{-2}\) |
| Milli (毫) | m | 0.001 | \(10^{-3}\) |
| Micro (微) | \(\mu\) | 0.000001 | \(10^{-6}\) |
| Nano (纳) | n | 0.000000001 | \(10^{-9}\) |
| Pico (皮) | p | 0.000000000001 | \(10^{-12}\) |
你知道吗？ 大小写非常重要！M (Mega, \(10^6\)) 和 m (milli, \(10^{-3}\)) 是完全不同的。
要点 1.2： 背熟 5 个基本单位。使用量纲一致性检查来捕捉公式中的错误。熟练掌握标准的 SI 前缀。
1.3 误差与不确定度
没有任何测量是完美的。误差 (errors) 和不确定度 (uncertainties) 是实验物理中固有的。
随机误差与系统误差
你需要理解这两大类误差之间的区别：
1. 随机误差 (Random Errors)
- 定义： 导致测量结果在真实值周围随机波动的误差。它们不可预测，且每次测量都会变化。
- 原因： 人为错误（如使用秒表时反应时间差异）、环境波动（如轻微振动）、读取刻度困难（如视差）。
- 影响： 降低精确度 (precision)。
- 解决方法： 进行多次重复测量并计算平均值。
2. 系统误差 (Systematic Errors)
- 定义： 导致所有测量结果始终偏向同一方向（总是偏大或总是偏小）的误差。
- 原因： 校准错误、环境因素影响或零点误差 (zero error)（即仪器在应为零时显示非零读数，如天平在没放物体前显示 0.5 g）。
- 影响： 降低准确度 (accuracy)。
- 解决方法： 对仪器进行校准（如修正零点误差）或使用完全不同的方法。
准确度与精确度
这两个术语常被混淆！可以用投飞镖来类比：
- 准确度 (Accuracy)： 测量值与真实值（或公认值）的接近程度（是否命中靶心）。受系统误差影响。
- 精确度 (Precision)： 重复测量值之间的接近程度（飞镖是否紧密地扎在一起）。受随机误差影响。
一个结果可以非常精确（所有读数都很接近），但不准确（由于较大的零点误差，所有读数都远离真实值）。
不确定度的合成
当你使用带有不确定度的测量值计算导出量时，必须合并它们的不确定度。在考试中，我们使用两条简单的规则：
规则 1：加法和减法 (\(Z = A + B\) 或 \(Z = A - B\))
如果你相加或相减两个物理量，你需要相加它们的绝对不确定度。
\(Z\) 的绝对不确定度 = \(A\) 的绝对不确定度 + \(B\) 的绝对不确定度
例子：通过两次读数测量长度 L：\(L_2 = 10.0 \pm 0.1 \text{ cm}\) 和 \(L_1 = 2.0 \pm 0.1 \text{ cm}\)。则长度 L = \(8.0 \pm (0.1 + 0.1) \text{ cm} = 8.0 \pm 0.2 \text{ cm}\)。
规则 2：乘法、除法和幂运算 (\(Z = A \times B\) 或 \(Z = A / B\) 或 \(Z = A^n\))
如果你相乘或相除两个物理量，你需要相加它们的百分比不确定度。
计算步骤：
- 计算每个初始物理量的百分比不确定度： \[\text{百分比不确定度} = \left( \frac{\text{绝对不确定度}}{\text{测量值}} \right) \times 100\%\]
- 将这些百分比相加，得到最终结果 (\(Z\)) 的百分比不确定度。
- （可选，但经常要求）将最终的百分比不确定度换算回绝对不确定度。
例子：如果密度 (\(\rho\)) 由质量 (\(m\)) 和体积 (\(V\)) 计算得出，即 \(\rho = m/V\)。
\[\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}\]
幂运算 (\(Z = A^n\))： 如果物理量 A 被提升到幂次 \(n\)，则将其百分比不确定度乘以 \(n\)。
\[\frac{\Delta Z}{Z} = n \times \frac{\Delta A}{A}\]快速回顾：不确定度规则
- 加/减物理量 \(\implies\) 相加绝对不确定度。
- 乘/除物理量 \(\implies\) 相加百分比不确定度。
- 幂运算 (\(A^n\)) \(\implies\) 将百分比不确定度乘以 \(n\)。
要点 1.3： 系统误差降低准确度；随机误差降低精确度。在计算中合并变量时，总是根据计算类型相加其绝对不确定度或百分比不确定度。
1.4 标量与矢量
物理量根据“方向是否重要”进行分类。
标量与矢量的区别
1. 标量 (Scalar Quantities)
- 定义： 完全由其大小 (magnitude)（数量）定义的物理量。方向无关紧要。
- 例子： 质量、时间、能量、温度、路程、速率。
2. 矢量 (Vector Quantities)
- 定义： 由大小和方向共同定义的物理量。
- 例子： 力、速度、加速度、动量、位移。
记忆窍门： 矢量 (Vector) 需要你关注方向 (Direction)！
共面矢量的加减
由于矢量有方向，它们必须使用几何（图解）法或三角函数法相加，而不能直接做简单的算术加法。
加法（首尾相接法）：
- 画出第一个矢量。
- 从第一个矢量的箭头（头）处画出第二个矢量。
- 合矢量（总和）从第一个矢量的尾部指向第二个矢量的头部。
减法：
从矢量 \(\mathbf{A}\) 中减去矢量 \(\mathbf{B}\) (\(\mathbf{A} - \mathbf{B}\)) 等同于加上 \(\mathbf{B}\) 的负矢量 (\(\mathbf{A} + (-\mathbf{B})\))。负矢量 \(-\mathbf{B}\) 的大小与 \(\mathbf{B}\) 相同，但指向完全相反的方向。
将矢量分解为垂直分量
通常，力和速度会以一定的角度作用。通过将单个矢量 (\(\mathbf{F}\)) 分解 (resolving) 为两个相互垂直的分量（通常为水平分量 \(F_x\) 和垂直分量 \(F_y\)），可以更容易地分析运动和受力。
如果矢量 \(\mathbf{F}\) 与水平方向成 \(\theta\) 角：
1. 平行分量（水平方向，邻近 \(\theta\)）：
\[F_x = F \cos \theta\]
2. 垂直分量（垂直方向，对应 \(\theta\)）：
\[F_y = F \sin \theta\]
类比： 想象你在推割草机。如果你斜着推（施加的力为 \(\mathbf{F}\)），你的一部分力推动割草机向前运动 (\(F_x\))，另一部分力则向下压向地面 (\(F_y\))。
如果一开始觉得这很难，别担心： 矢量分解是 AS 物理中最核心的技能之一。练习画直角三角形，以确定哪一边是 \(\sin \theta\)，哪一边是 \(\cos \theta\)。通常，紧邻夹角 \(\theta\) 的边取余弦 (\(\cos\))。
要点 1.4： 标量只需要大小（如速率），而矢量需要大小和方向（如速度）。我们通过几何法相加矢量，并使用三角函数将其分解为相互垂直的分量，以便于计算。