欢迎来到无参数检验（Non-Parametric Tests）的世界！
在你之前的统计学课程中，大概花了不少时间讨论正态分布（Normal Distribution）。但如果你的数据看起来不像一个整齐、对称的钟形曲线，该怎么办呢？又或者，如果你的样本量非常小，以至于你根本不知道它背后的分布长什么样子，又该如何处理？
这就是无参数检验大显身手的时候了！这些方法通常被称为“无分布”检验，可以说是统计学中的“瑞士军刀”。无论你的数据是正态分布、偏态分布，还是形状奇怪，它们都能派上用场。在本章中，我们将学习如何针对总体的中位数（median）而非平均值来进行假设检验。
1. 大概念：参数检验 vs. 无参数检验
参数检验（Parametric tests）（如 z 检验或 t 检验）假设你的数据遵循特定的模式（即“参数”），通常是正态分布。
无参数检验（Non-parametric tests）则没有这些假设。它们灵活得多！
类比： 想象你在买一套定制西装。参数检验就像这套西装，是为特定体型制作的——如果你不符合那个身形，穿起来就很糟。而无参数检验就像是一件“均码（one-size-fits-all）”的斗篷。它可能不如定制西装精确，但每个人都能穿！
重点总结：
当我们无法假设总体是正态分布，或者处理的是次序数据（ordinal data，即可以排序但无法精确测量的数据）时，我们就会使用无参数检验。
2. 单样本符号检验（The Single-Sample Sign Test）
符号检验（Sign Test）是最简单的无参数检验。它忽略了数据的实际数值，只看数值是高于 (+) 还是低于 (-) 假设的中位数。
何时使用：
当你想检验单一个体的中位数（\(m\)）时。
步骤：
1. 设定假设：
\(H_0: m = m_0\)（中位数为某个特定值）
\(H_1: m \neq m_0\)（或 \(>\) 或 \(<\)）
2. 计算符号： 对每个数据点，减去假设的中位数。
- 如果结果为正，标记为 +。
- 如果结果为负，标记为 -。
- 如果结果恰好为零，舍弃该数据并缩减样本量 \(n\)。
3. 求检验统计量（\(X\)）： 这是不常见符号出现的次数。例如，如果你有 8 个“+”和 2 个“-”，那么 \(X = 2\)。
4. 分布： 在 \(H_0\) 成立下，“+”号的数量遵循二项分布（Binomial Distribution）：\(X \sim B(n, 0.5)\)。
5. 求 p-value： 使用二项分布公式或查表，计算得到像你的检验统计量一样极端结果的机率。
快速回顾： 为什么是 0.5？因为如果中位数真的是 \(m_0\)，那么数值高于它和低于它的机率应该各为 50%！
3. 单样本 Wilcoxon 符号秩检验（Single-Sample Wilcoxon Signed-Rank Test）
符号检验虽然简单，但有点“浪费”，因为它丢弃了差异的实际大小。Wilcoxon 符号秩检验更强大，因为它同时考虑了与中位数差异的方向和大小。
重要要求： 此检验假设总体分布是对称的（即使它不是正态分布）。
操作方法：
1. 计算每个数值与 \(m_0\) 的差值 \(d_i = x_i - m_0\)。
2. 将绝对差值 \(|d_i|\) 从小到大排序（Rank）（1 为最小值）。忽略零值。
3. 将原本的符号（+ 或 -）分配回各自的秩（rank）。
4. 计算：
- \(W_+\) = 正符号的秩之和。
- \(W_-\) = 负符号的秩之和。
5. 你的检验统计量 \(T\) 是 \(W_+\) 和 \(W_-\) 中的较小值。
如果这看起来很复杂，别担心！ 记住：你只是在计算每个点距离中位数有多“远”，然后检查这些“远距离”的点是否主要分布在某一侧，还是均匀分布。
常见错误：
如果两个差值相同（平手），给它们这些秩的平均值。例如，如果第 3 和第 4 个差值相等，它们都获得秩 3.5。
4. Wilcoxon 秩和检验（双样本 Wilcoxon Rank-Sum Test）
此检验用于判断两个独立样本是否来自具有相同中位数的总体。它是双样本 t 检验的无参数版本。
步骤：
1. 将两个样本合并成一个大小为 \(n = n_1 + n_2\) 的大列表。
2. 将所有数值从 1 到 \(n\) 进行排序。
3. 求出第一个样本的秩之和，记为 \(R_1\)。
4. 使用 Wilcoxon 秩和检验表，根据 \(n_1\) 和 \(n_2\) 找到临界值。
你知道吗？ 这个检验有时被称为 Mann-Whitney U 检验。虽然 \(U\) 的计算方式略有不同，但背后的排序逻辑是完全一样的！
5. 大样本近似（Large Sample Approximations）
当样本量 \(n\) 变大时（通常 \(n > 20\)），这些检验统计量的分布会变得非常接近正态分布。这让我们的生活轻松不少，因为我们可以使用 \(z\)-score 了！
针对 Wilcoxon 符号秩检验（单样本）：
平均值 \(E(W) = \frac{n(n+1)}{4}\)
方差 \(Var(W) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\)
针对 Wilcoxon 秩和检验（双样本）：
平均值 \(E(R_1) = \frac{n_1(n_1 + n_2 + 1)}{2}\)
方差 \(Var(R_1) = \frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}\)
大样本步骤：
1. 使用上述公式计算平均值和方差。
2. 计算 \(z\)-score：\(z = \frac{R_1 - E(R_1)}{\sqrt{Var(R_1)}}\)。
3. 与标准正态分布的临界值进行比较（例如，双尾 5% 检验为 1.96）。
专业提示： 当从离散的秩和转换为连续的正态分布时，别忘了使用 0.5 的连续性修正（continuity correction）！（例如：\(|R_1 - E(R_1)| - 0.5\)）。
本章摘要与重点
1. 符号检验： 只使用数据与中位数相比的方向（+/-）。使用二项分布 \(B(n, 0.5)\)。
2. Wilcoxon 符号秩检验（单样本）： 使用差值的秩。要求分布是对称的。
3. Wilcoxon 秩和检验（双样本）： 通过对合并数据排序来比较两个独立组别。
4. 大样本： 当 \(n\) 很大时，我们使用正态近似，并搭配特定的平均值和方差公式。
5. 为什么要排序？ 排序消除了极端值（outliers）的影响，使检验比 t 检验更“稳健（robust）”。
最后的鼓励： 无参数检验看起来步骤繁琐，但只要掌握了排序（ranking）的艺术，你就克服了一半的挑战！继续练习那些秩和的计算，你一定会做得很好。