欢迎来到微分的进阶领域！
在你的纯数 1 (P1) 学习旅程中，你已经学过如何对 \(x^2\) 或 \(3x^5\) 这类 \(x\) 的基本幂函数进行微分。在纯数 2 (P2) 中，我们将扩展你的“工具箱”。我们将学习如何处理更有趣的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数，并掌握一些处理函数乘法或除法的巧妙规则。
如果这看起来有很多新符号，别担心。把它想象成玩电子游戏时学会了新的招式——一旦你掌握了按键组合，就能挑战更强大的 Boss 了！
1. 新的“核心”函数
在 P2 中，你需要记住五个新的导数。它们是你学习的基石。
指数与对数函数
1. 指数函数： \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
比喻： 函数 \(e^x\) 是数学界最“酷”的函数。它对自己的状态非常满意，以至于无论你如何对它微分，它都保持不变！
2. 自然对数函数： \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
三角函数
3. 正弦 (Sine)： \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
4. 余弦 (Cosine)： \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
5. 正切 (Tangent)： \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)
快速复习箱：
- \(e^x \rightarrow e^x\)
- \(\ln x \rightarrow \frac{1}{x}\)
- \(\sin x \rightarrow \cos x\)
- \(\cos x \rightarrow -\sin x\) (注意那个负号！)
- \(\tan x \rightarrow \sec^2 x\)
常见错误： 同学们在对 \(\cos x\) 微分时经常会忘记负号。一个简单的记忆方法：如果原始三角函数以“c”开头（例如 cosine），其导数就是负的。
2. 链式法则 (P2 复习)
当你有一个“函数内嵌另一个函数”（复合函数）时，你必须使用链式法则 (Chain Rule)。你要对外层进行微分，然后乘以内层的导数。
示例：对 \(y = e^{3x+2}\) 微分
- 外层：\(e^{(\dots)}\) 微分后维持 \(e^{(\dots)}\)。
- 内层：\(3x+2\) 的导数是 \(3\)。
- 结果：\(\frac{dy}{dx} = 3e^{3x+2}\)
重点总结：
永远检查是否存在“内嵌”函数。如果你的三角函数或对数函数中的 \(x\) 实际上是一个更复杂的项（如 \(5x\) 或 \(x^2\)），最后必须乘以该项的导数。
3. 乘积法则 (Product Rule)
当你有两个不同的函数相乘时，例如 \(x^2 \sin x\)，请使用此规则。
如果 \(y = uv\)，则：
\(\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)
记忆口诀：“留左乘右导 + 留右乘左导”。
（第一部分不动 \(\times\) 第二部分的导数）+（第二部分不动 \(\times\) 第一部分的导数）。
示例：对 \(y = x^2 \ln x\) 微分
- 设 \(u = x^2\) 及 \(v = \ln x\)
- \(\frac{du}{dx} = 2x\) 及 \(\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\)
- \(\frac{dy}{dx} = (x^2)(\frac{1}{x}) + (\ln x)(2x)\)
- 化简后：\(\frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x\)
4. 商法则 (Quotient Rule)
当一个函数除以另一个函数时，例如 \(\frac{\sin x}{e^x}\)，请使用此规则。
如果 \(y = \frac{u}{v}\)，则：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
记忆口诀：“下乘上导减上乘下导，除以下面平方”。
- 下 (Low)： 分母函数 (\(v\))
- 上 (High)： 分子函数 (\(u\))
- 导 (D)： 微分
- 下下 (Low-Low)： 分母的平方 (\(v^2\))
重点总结： 分子的顺序很重要！你必须先用分母函数 (\(v\)) 乘以分子的导数。
5. 隐函数微分 (Implicit Differentiation)
通常我们看到的方程式都是 \(y = \dots\) 的形式。但如果 \(x\) 和 \(y\) 混在一起，例如 \(x^2 + y^2 = xy + 7\) 呢？这就是隐函数。
操作方法：
1. 照常对每一项关于 \(x\) 进行微分。
2. 当你对含有 \(y\) 的项进行微分时，照常微分，但在后面补上一个 \(\frac{dy}{dx}\)。
3. 重新整理方程式以求出 \(\frac{dy}{dx}\)。
示例：对 \(y^2\) 微分
把它当作 \((\dots)^2\) 处理。导数为 \(2y \times \frac{dy}{dx}\)。
你知道吗？ 当你无法轻易写出“\(y = \dots\)”形式时，这种技巧对于求圆形或椭圆的切线斜率非常有用！
6. 参数方程微分 (Parametric Differentiation)
有时 \(x\) 和 \(y\) 都由第三个变量定义，通常是 \(t\) (时间) 或 \(\theta\) (角度)。这些被称为参数。
示例：\(x = 2t\), \(y = t^2\)
要计算 \(\frac{dy}{dx}\)，请使用这个简单公式：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)
分步教学：
1. 求出 \(\frac{dx}{dt}\)。
2. 求出 \(\frac{dy}{dt}\)。
3. 将 \(y\) 的结果除以 \(x\) 的结果。
7. 应用：切线与法线
这就是我们利用导数解决几何问题的地方。这与 P1 的做法完全一样，只是换成了我们新的 P2 函数！
- 切线斜率 (Tangent Gradient)： 就是 \(\frac{dy}{dx}\) 在该特定点的值。
- 法线斜率 (Normal Gradient)： 是切线斜率的“负倒数”。(倒过来并改变符号：\(-\frac{1}{m}\))。
- 方程式： 使用直线方程公式：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)。
快速复习箱：
- 乘积法则： 用于 \(u \times v\)
- 商法则： 用于 \(u \div v\)
- 隐函数： 用于混合 \(x\) 和 \(y\) 的式子。（\(y\) 项记得加上 \(\frac{dy}{dx}\)！）
- 参数方程： 用于 \(x\) 和 \(y\) 都取决于 \(t\) 的情况。
如果起初觉得这些很棘手，别担心！微分就是熟能生巧。一旦你学会识别该使用哪种“规则”（是乘积法则？商法则？还是隐函数？），剩下的就只是执行你背下来的步骤而已。你一定做得到！