Functions

欢迎来到函数的世界！

在本章中，我们将探索数学中最核心的概念之一：函数 (Functions)。你可以把函数想象成一部“数学机器”。你输入一个数字（自变量），机器进行运算，然后输出一个特定的数字（因变量）。掌握函数就像是学会了纯数学 1 (Pure Mathematics 1) 中其他课题的游戏规则。

我们将涵盖如何描述这些机器、如何将它们串联起来、如何将其“反转”，以及如何改变它们在图表上的形态。如果刚开始觉得有些抽象，别担心，我们会一步步拆解开来学习！

1. 到底什么是函数？

函数是一种特殊的关系，其中每一个输入值都刚好对应一个输出值。如果你将同一个数字输入机器两次，两次得到的结果必须完全相同。

关键术语：
• 定义域 (Domain)：所有可能的“输入”值集合（即 \( x \) 值）。你可以把它想象成机器“准许吃进去”的东西。
• 值域 (Range)：所有可能的“输出”值集合（即 \( y \) 或 \( f(x) \) 值）。这是机器运算后产生的结果。

类比：想象一台汽水机。当你按下“可乐”按钮（输入），你会预期拿到一罐可乐（输出）。如果按下“可乐”有时却掉出姜汁汽水，那这台机器就是坏掉的——它不是一个函数！

如何求值域

在考试中，你经常需要根据给定的定义域来求出值域。
例子： 若 \( f(x) = x^2 \)，且定义域为 \( x \geq 1 \)。
如果你代入最小值（\( x = 1 \)），会得到 \( 1^2 = 1 \)。由于 \( x \) 从此处开始变大，输出值也会随之变大。因此，值域为 \( f(x) \geq 1 \)。

快速检视：要找出值域，请观察图像，或将定义域的边界值代入函数。记得特别留意转折点（例如二次函数的顶点）！

2. 单射函数 (One-One Functions)

单射函数是一种非常严格的函数类型。它不仅要求每个输入只有一个输出，还要求每个输出都来自唯一一个输入。换句话说，两个不同的输入绝不能产生相同的输出。

水平线测试 (Horizontal Line Test)：如果在图形上画任何一条水平线，而它与曲线的交点多于一个，那么它就不是单射函数。
例子： 若定义域为所有实数，\( f(x) = x^2 \) 不是单射函数，因为 \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 都会输出 \( 4 \)。但是，如果我们限制定义域为 \( x \geq 0 \)，它就变成单射函数了！

3. 复合函数 (Composite Functions)

复合是指将两部机器连接在一起的过程。第一部机器的输出会变成第二部机器的输入。

符号： \( gf(x) \) 的意思是“先执行 \( f \)，再将结果代入 \( g \)”。
记忆小撇步：永远由右至左进行运算。在 \( gf(x) \) 中，\( f \) 最靠近 \( x \)，所以先处理 \( f \)。

复合函数的黄金法则：
只有当 \( f \) 的值域 包含在 \( g \) 的定义域 内时，才能组成复合函数 \( gf \)。如果第一部机器产生的东西是第二部机器不准许“吃”的，整个系统就会崩溃！

例子： 若 \( f(x) = x + 1 \) 且 \( g(x) = x^2 \)，则 \( gf(x) = g(x + 1) = (x + 1)^2 \)。

4. 反函数 (Inverse Functions)

反函数（写作 \( f^{-1}(x) \)）是一部反向运行的机器。它将输出值带回原始的输入值。

重要提示：只有单射函数才有反函数。如果函数不是单射的，“反向机器”就会困惑该回到哪一个输入值！

如何求反函数（步骤）：

1. 将函数写成 \( y = ... \)
2. 重组方程式，使 \( x \) 成为主项。
3. 交换 \( x \) 和 \( y \)。
4. 将 \( y \) 替换为 \( f^{-1}(x) \)。

例子： 求 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数。
• \( y = 2x + 3 \)
• \( y - 3 = 2x \)
• \( x = \frac{y - 3}{2} \)
• \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)

与图像的连结

\( y = f^{-1}(x) \) 的图像是在直线 \( y = x \) 上，将 \( y = f(x) \) 的图像进行镜像反射。这是因为我们仅仅是交换了 \( x \) 和 \( y \) 坐标。

小知识：\( f \) 的定义域与 \( f^{-1} \) 的值域完全相同，而 \( f \) 的值域则是 \( f^{-1} \) 的定义域。它们将一切都交换了！

5. 图形变换 (Graph Transformations)

有时我们需要平移或拉伸图像。对于 Paper 1，你需要掌握以下四种主要类型：

平移 (Translations)

• 垂直平移：\( y = f(x) + a \)
将图像向上移动 \( a \) 个单位。（若 \( a \) 为负，则向下移动）。
• 水平平移：\( y = f(x + a) \)
将图像向左移动 \( a \) 个单位。
警告：这部分很考验直觉！加 \( a \) 会往负方向（向左）移动，减 \( a \) 则往右移动。这与你直觉想的正好相反！

拉伸 (Stretches)

• 垂直拉伸：\( y = a \cdot f(x) \)
将图像垂直拉伸，比例因子为 \( a \)。\( y \) 坐标乘以 \( a \)。
• 水平拉伸：\( y = f(ax) \)
将图像水平拉伸，比例因子为 \( \frac{1}{a} \)。
警告：与平移一样，水平方向的变换是“由内而外”的。如果你看到 \( 2x \)，图像实际上会变窄（因子为 \( 1/2 \)）。

反射 (Reflections)

• \( y = -f(x) \)：在 x 轴反射（上下颠倒）。
• \( y = f(-x) \)：在 y 轴反射（左右交换）。

总结表：
• \( f(x) + a \)：平移 \( \begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} \)
• \( f(x + a) \)：平移 \( \begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix} \)
• \( a \cdot f(x) \)：垂直拉伸，因子为 \( a \)
• \( f(ax) \)：水平拉伸，因子为 \( \frac{1}{a} \)

常见错误提醒

• 运算顺序：进行多重变换时，顺序非常重要！通常请由括号“内部”往外处理。
• 定义域限制：务必检查题目是否给定了特定定义域。这会影响你的值域，以及反函数是否存在。
• 符号混淆：不要将 \( f^{-1}(x) \) 与 \( \frac{1}{f(x)} \) 搞混。它们完全不同！一个是反函数，另一个是倒数。
• 二次函数的值域：要找出二次函数的值域，必须通过配方法找出顶点。最高点或最低点对于定义值域至关重要。

重点回顾

• 函数将一个输入对应到唯一的一个输出。
• 定义域 = 输入；值域 = 输出。
• 复合函数 \( gf(x) \) 意味着先做 \( f \)，再做 \( g \)。
• 反函数 \( f^{-1} \) 仅存在于单射函数；在 \( y = x \) 直线上进行反射。
• 水平方向的变动（括号内）感觉总是“反向”的。

如果刚开始觉得很难，别担心！多练习绘制这些图形变换并找出反函数，很快你就会得心应手。加油，你一定可以的！