欢迎来到图解线性规划 (Graphical Linear Programming)！
你有没有遇过需要在有限的时间、金钱或资源下，将效益最大化的情况？例如：决定每个科目该分配多少复习时间以取得最佳成绩，或者烘焙店该如何分配制作“纸杯蛋糕”与“布朗尼”的数量，才能赚取最多的利润。
这正是线性规划 (Linear Programming, LP) 的精髓所在！在本章中，我们将透过绘图来找出这些现实难题的“最佳方案”。无论你是以夺取高分为目标，还是希望能顺利过关，这些笔记都会一步步带领你掌握技巧。
1. 建立问题模型 (Formulating the Problem)
在绘图之前，我们必须先把文字问题转化为数学语言，这称为建立模型 (Formulation)。你可以把它想象成把中文翻译成“数学式”。
线性规划问题的三大要素：
- 决策变量 (Decision Variables)： 这是你需要决定的对象，我们通常用 \(x\) 和 \(y\) 来表示。 范例：设 \(x\) 为普通蛋糕的数量，\(y\) 为豪华蛋糕的数量。
- 限制条件 (Constraints)： 这就是所谓的“规则”或限制。例如：面粉存量有限，或烤箱的使用时间有限。
快速复习： 不等式通常使用符号 \( \leq \)（小于或等于）或 \( \geq \)（大于或等于）。 - 目标函数 (Objective Function)： 这是你的最终目标。你是要极大化 (Maximise) 利润，还是极小化 (Minimise) 成本？ 范例：极大化 \(P = 5x + 8y\)（其中 5 英镑和 8 英镑分别是两种蛋糕的利润）。
特殊情况：比例限制 (Ratio Constraints)
有时候题目会说：“制作的普通蛋糕数量至少要达到豪华蛋糕的两倍。”
别惊慌！直接照字面意思写出来： \(x \geq 2y\)。然后，移项让变量都落在同一侧： \(x - 2y \geq 0\)。
平凡限制 (Trivial Constraints)
在现实世界中，你不可能制作 -5 个蛋糕。因此，我们几乎总是会加上平凡限制： \(x \geq 0\) 且 \(y \geq 0\)。这些条件能确保我们的图形只出现在第一象限。
重点提示： 在写下不等式之前，请务必清楚定义你的变量及其单位（例如：“蛋糕的数量”）！
2. 图解法 (The Graphical Solution)
当我们有了不等式后，就可以将它们画在坐标平面上。
步骤拆解：绘制可行域
- 绘制边界线： 将每个不等式视为方程式（使用 \(=\)），绘制边界线。 小贴士：要画 \(2x + 3y = 12\)，找出它与轴的交点即可。如果 \(x=0, y=4\)；如果 \(y=0, x=6\)。将 (0,4) 和 (6,0) 连起来。
- 涂黑“不符合”的区域： OCR A Level 的规则通常要求你涂黑“不符合”不等式的区域。 常见错误： 千万不要涂黑“符合”的部分！可行域 (Feasible Region) 应该是中间那一块干净、没有被涂黑的区域。
- 可行域： 这个没被涂黑的区域，代表了所有满足所有规则的 \(x\) 和 \(y\) 的组合。
你知道吗？ 可行域一定是一个凸多边形 (Convex polygon)。这意味着它的边是直的，且没有任何“凹进去”的角。
3. 寻找最优点 (Finding the Optimal Point)
现在我们已经有了清晰的“可行域”，那哪一点才是最好的呢？“完美”答案几乎总是落在可行域的顶点 (Vertices)（即边界交点）上。
方法 A：目标线法（“滑动直尺”技巧）
1. 为目标函数选一个随机数值（例如：若目标是 \(5x + 8y\)，试着设 \(5x + 8y = 40\)）。
2. 在图上画出这条线（通常画成虚线）。
3. 用直尺将这条线在可行域内平行移动。
4. 对于极大化问题，直尺在离开可行域前触碰到的最后一点就是胜出者。对于极小化问题，则是直尺触碰到的第一个点。
方法 B：顶点测试法
直接找出没被涂黑区域的所有顶点坐标，并将它们代入目标函数中。计算结果最大（或最小）的那一点就是答案！
重点提示： 最优解通常出现在顶点。如果目标线与某条边界线平行，那么该边界线上的每一点都可能是最优解！
4. 松弛变量 (Slack Variables)（阶段 2 学习者）
有时候我们想把不等式转化为方程式，这时就需要加入一个松弛变量。
想象你有 10 小时的工时 (\(x + y \leq 10\))。如果你只用了 8 小时，就剩下 2 小时的“松弛”时间。
我们写成： \(x + y + s_1 = 10\)，其中 \(s_1 \geq 0\)。
记忆法： 松弛就是“剩余的”空间。将它加在 \(\leq\) 符号的“较小”那一侧，就能使其相等。
5. 整数规划 (Integer Programming)
如果 \(x\) 和 \(y\) 必须是整数怎么办？（你总不能卖出 2.37 辆车吧！）。
如果你的最优顶点不是整数（例如 \(2.4, 5.8\)），你不能直接四舍五入！因为四舍五入后的点可能会落在可行域之外。
分枝定界法 (Branch-and-Bound Method)
不用担心，这听起来很复杂，但它只是一种“分而治之”的策略：
- 找出非整数的最优解（例如 \(x = 3.5\)）。
- 分枝 (Branch) 成两个新问题：一个设 \(x \leq 3\)，另一个设 \(x \geq 4\)。
- 利用图解法分别解决这些新区域。
- 持续分枝，直到找出最佳的整数点为止。
6. 灵敏度分析 (Sensitivity Analysis)
如果“普通蛋糕”的利润从 5 英镑变为 6 英镑，会发生什么事？
改变目标函数中的系数会改变目标线的斜率 (Gradient)。如果斜率变得够陡，目标线可能会“翻过”某个顶点，从而使另一个顶点成为新的最优解。
快速复习盒：
- 可行域 (Feasible Region)： 没被涂黑的“安全区”。
- 顶点 (Vertex)： 两条边界线的交点。
- 整数 (Integer)： 没有小数部分的完整数字。
- 目标 (Objective)： 你的目的（极大化/极小化）。
最终检查清单
- 建立模型： 写出变量、目标函数和约束条件。
- 作图： 画出边界线并涂黑不符合的区域。
- 优化： 使用滑动目标线或测试各个顶点。
- 整数： 如有要求，使用分枝定界法检查顶点附近的整数点。