欢迎来到图形变换！
你有没有想过电脑动画师是如何让角色在屏幕上移动，或是音频工程师是如何调整声波的？他们使用的就是图形变换 (Graph Transformations)！在本章中，我们将学习如何运用基本的“母函数”(Parent Function)——例如 \(y = x^2\)——通过平移、拉伸或翻转，绘制出我们想要的任何图形。如果一开始觉得规则太多，别担心；只要掌握当中的规律，就会发现它就像使用修图应用程序一样简单。
1. 黄金法则：内部 vs. 外部
在深入了解各种操作之前，有一个“黄金法则”会让整个章节变得轻松许多。这完全取决于数字在方程 \(y = f(x)\) 中是加在还是乘在什么位置。
- 括号外部： 这些变化会影响 y 坐标。它们是“诚实”的，会完全按照你预期的那样运作（例如，\(+3\) 会让图形向上平移）。
- 括号内部： 这些变化会影响 x 坐标。它们是“反直觉”的，运作方式与你预期的相反（例如，\(+3\) 会让图形向左平移）。
速查表：
外部 = 垂直方向 (y) = 符合逻辑。
内部 = 水平方向 (x) = 与逻辑相反。
2. 平移 (Translations)
平移是指将图形向上、向下、向左或向右移动，而不改变其形状或方向。
垂直平移： \(y = f(x) + a\)
在函数外部加上一个常数会使其垂直平移。
- \(y = f(x) + a\)：向上平移 \(a\) 个单位。
- \(y = f(x) - a\)：向下平移 \(a\) 个单位。
水平平移： \(y = f(x + a)\)
在括号内部加上一个常数会使其水平平移。记住：内部是反的！
- \(y = f(x + a)\)：向左平移 \(a\) 个单位。
- \(y = f(x - a)\)：向右平移 \(a\) 个单位。
向量记法：
在考试中，你可能需要使用列向量 (column vector) \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 来描述这些变化。
例如 \(y = f(x - 3) + 2\) 的平移，可以用向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) 来描述。
重点总结： 要移动图形，就进行加减。外部影响高度 (y)；内部影响左右 (x) 但符号相反。
3. 拉伸 (Stretches)
拉伸会将图形从轴线拉远或向轴线压缩。我们将这个乘数称为比例因子 (scale factor)。
垂直拉伸： \(y = a \cdot f(x)\)
在函数外部乘以一个数会使其垂直拉伸。
- 这是一个平行于 y 轴、比例因子为 \(a\) 的拉伸。
- 所有 y 坐标都乘以 \(a\)，而 x 坐标保持不变。
水平拉伸： \(y = f(ax)\)
在括号内部乘以一个数会使其水平拉伸。记住：内部是反的！
- 这是一个平行于 x 轴、比例因子为 \(\frac{1}{a}\) 的拉伸。
- 所有 x 坐标都除以 \(a\)，而 y 坐标保持不变。
你知道吗？
如果你有 \(y = f(2x)\)，并不是让图形变宽两倍；实际上是把它压缩成原来的一半宽！把它想象成弹簧：当内部的数字变大时，“张力”增加，图形就会被压缩。
拉伸总结表：
- \(y = 3f(x)\)：比例因子 3，平行于 y 轴（垂直）。
- \(y = f(3x)\)：比例因子 \(\frac{1}{3}\)，平行于 x 轴（水平）。
4. 反射 (Reflections)
反射其实就是一种特殊的拉伸，其中乘数为 \(-1\)。
关于 x 轴的反射： \(y = -f(x)\)
负号在外部。它影响 y 值，将正的高度变为负的深度。这会让图形沿着 x 轴上下翻转。
关于 y 轴的反射： \(y = f(-x)\)
负号在内部。它影响 x 值，将“右”变为“左”。这会让图形沿着 y 轴左右翻转。
记忆口诀：“In-Y-Out-X”
负号在内 (In) = 关于 Y 轴反射。
负号在外 (Out) = 关于 X 轴反射。
5. 组合变换
当你有超过一个变换时，顺序通常很重要！对于 OCR H240，你需要能处理类似 \(y = a \cdot f(x + b)\) 的组合。
“安全”顺序：
一般来说，遵循运算顺序 (BIDMAS)。
1. 先处理内部（水平移动）。
2. 再处理外部（垂直移动）。
例子： \(y = 2f(x - 5)\)
第一步：平移向量 \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)（向右移动 5）。
第二步：以比例因子 2 平行于 y 轴进行拉伸（高度加倍）。
常见错误：
不要搞混水平拉伸的比例因子。如果你看到 \(f(4x)\)，比例因子是 \(\frac{1}{4}\)，而不是 4！
6. 线性函数的模数： \(y = |ax + b|\)
模数 (Modulus) 符号 \(| \dots |\) 代表“取绝对值”（忽略负号）。在阶段 2 中，你需要绘制类似 \(y = |2x - 3|\) 等线性函数的模数图。
绘图步骤：
1. 画出直线 \(y = ax + b\)，假装模数不存在（将 x 轴下方的部分画成虚线）。
2. 识别“负”的部分：找出直线位于 x 轴下方（即 \(y < 0\)）的所有部分。
3. 反射它：将那些负的部分沿着 x 轴向上翻转，使它们变为正值。
4. 结果通常看起来像一个 “V”字形。
类比： 把 x 轴想象成地板。模数函数就像一颗弹力球；它不能穿过地板。一旦碰到地板，它就会向上反弹！
重点总结： 对于 \(y = |f(x)|\)，不允许任何结果为负。将所有“地底”的部分翻转到“地面上”。
成功检查清单
- 我能区分 \(f(x) + a\) 和 \(f(x + a)\) 吗？
- 我记住水平变化是倒数（针对拉伸）或相反符号（针对平移）了吗？
- 我会使用列向量来进行平移吗？
- 我能画出“V”字形的模数图吗？
如果一开始觉得很棘手，别担心！试着在同一个坐标轴上画出 \(y = x^2\) 和 \(y = (x-2)^2 + 3\)，看看规则是如何运作的。多加练习是让这些“编辑”过程变得直观的最好方法。