欢迎来到不等式的世界！
在这一章，我们要跳出「相等」的简单方程，去探索不等式的领域——也就是关于大于、小于或两者之间关系的世界。你可以把它想象成限速：你不需要刚好开到每小时 60 英里；你只需要保持在这个数值或以下就可以了。不等式让我们能够描述数值范围与区域，这对于从工程公差到财务预测等各个领域都至关重要。
如果刚开始觉得有点抽象，别担心。看完这些笔记，你将能充满自信地解线性与二次不等式，甚至还能把它们画在图表上！
1. 基本概念：线性不等式
解线性不等式与解普通的线性方程（例如 \(2x + 3 = 7\)）非常相似。你的目标依然是把 \(x\) 单独留在一边。
黄金法则
有一点巨大的差异你必须记住：如果你乘或除以一个负数，你必须将不等号翻转。
例子： 如果你有 \(-2x < 10\)，当你除以 \(-2\) 时，答案会变成 \(x > -5\)。
逐步范例
解 \(3(x - 2) \leq 12 + x\)：
1. 展开括号：\(3x - 6 \leq 12 + x\)
2. 将所有 \(x\) 项移到一边：\(2x - 6 \leq 12\)
3. 将常数移到另一边：\(2x \leq 18\)
4. 除以 2：\(x \leq 9\)
速查表：
\( > \) : 大于
\( < \) : 小于
\( \geq \) : 大于或等于
\( \leq \) : 小于或等于
重点总结： 把不等式当作方程来处理，但只要乘或除以负数，就一定要记得翻转符号！
2. 表达你的答案
在 A Level 数学中，答案的写法跟答案本身一样重要。你需要熟练掌握以下三种表达方式：
A. 集合标记法 (Set Notation)
这看起来有点花哨，但其实很简单。我们使用花括号 \(\{ \}\) 来描述一组「集合」。
例子： \(\{x : x > 3\}\) 的意思是「所有满足 \(x > 3\) 的 \(x\) 值集合。」
B. 区间标记法 (Interval Notation)
这是一种简写范围的方式：
- 如果数字包含在内 (\(\leq\) 或 \(\geq\))，使用方括号 \([ \,\, ]\)。
- 如果数字不包含在内 (\(<\) 或 \(>\))，使用圆括号 \(( \,\, )\)。
例子： \((2, 5]\) 的意思是 \(2 < x \leq 5\)。
C. 「且」(And) 与「或」(Or)
- 且 (\(\cap\))： 当 \(x\) 必须同时满足两个条件（即重叠的部分）时使用。
- 或 (\(\cup\))： 当 \(x\) 可以属于其中一个区域或另一个区域（即并集）时使用。
记忆小撇步： 把并集符号 **U** 想成一个水桶，把两边的所有东西都收集进来！
常见错误： 写成 \(5 < x < 2\)。这是绝对不可能的！一个数不可能同时大于 5 又小于 2。你应该写成 \(x > 5\) 或 \(x < 2\)。
3. 二次不等式
二次不等式（例如 \(x^2 - 5x + 6 < 0\)）稍微复杂一点。你不能直接「解出 \(x\)」，必须遵循以下步骤：
三步法
第一步：找出临界值 (Critical Values)。
假装它是个方程 (\(= 0\)) 并解出它（通常通过因式分解）。
例子： \(x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0\)。临界值为 \(x = 2\) 和 \(x = 3\)。
第二步：绘制草图。
画一个抛物线的简单草图。由于 \(x^2\) 的系数为正，这是一个「开口向上」的 U 型曲线，并在 2 和 3 处与 \(x\) 轴相交。
第三步：识别区域。
- 如果不等式是 \( < 0 \)，你要找的是曲线在 \(x\) 轴下方的部分。
- 如果不等式是 \( > 0 \)，你要找的是曲线在 \(x\) 轴上方的部分。
在我们的例子中 (\( < 0 \))： 曲线在 2 到 3 之间位于轴下方，所以是 \(2 < x < 3\)。
重点总结： 永远不要在没画草图的情况下解二次不等式！草图会告诉你答案是一个连续的范围，还是两个分开的部分。
4. 图形不等式
有时候你需要将不等式表示在坐标平面 (\(x\) 与 \(y\)) 上。这对于可视化「允许区域」非常有用。
阴影区域规则：
1. 画线： 先画出方程的直线或曲线。
- 如果是 \(\leq\) 或 \(\geq\)，使用实线。
- 如果是 \(<\) 或 \(>\)，使用虚线。
2. 区域：
- \(y > f(x)\) 代表线的上方区域。
- \(y < f(x)\) 代表线的下方区域。
你知道吗？ 这项技术是「线性规划」(Linear Programming) 的基础，像 Amazon 这样的公司就是用它来计算最高效的物流路线！
5. 模数不等式 (Modulus Inequalities)
模数 \(|x|\) 指的就是一个数的绝对值（正值）。它代表的是该数与零的距离。
例子： \(|x - 3| < 5\)。
这代表 \(x\) 与 3 之间的距离小于 5 个单位。
要解这个不等式，你可以改写为：\(-5 < x - 3 < 5\)。
将每一项加 3：\(-2 < x < 8\)。
快速技巧： 对于 \(|f(x)| < a\)，写成 \(-a < f(x) < a\)。对于 \(|f(x)| > a\)，写成 \(f(x) > a\) 或 \(f(x) < -a\)。
总结： 模数不等式其实是把两个不等式藏在里面！把它们拆开来，然后按照普通方式解开即可。
最后快速复习
1. 线性： 把 \(x\) 单独移到一边。乘除负数时要翻转符号。
2. 二次： 因式分解找出临界值，画出草图，然后选取范围（\(<\) 选 U 型中间，\(>\) 选外侧）。
3. 标记法： 使用 \([ \, ]\) 表示「包含」，\(( \, )\) 表示「不包含」。
4. 图像： 严格不等式（\(<\)、\(>\)）用虚线，有等号（\(\leq\)、\(\geq\)）用实线。
5. 模数： 考虑距离，将不等式拆成两部分求解。
如果觉得内容有点多，别担心！从线性开始，一旦你熟练了抛物线作图，二次不等式就会迎刃而解。加油，你一定做得到！