Constant acceleration formulae

欢迎来到等加速度运动！

在本章中，我们将探讨一维运动学（Kinematics in 1 Dimension）。运动学只是一个描述“研究物体运动”的学术名词。只要物体在运动过程中的加速度保持不变，我们就能学会预测物体的位置、速度以及到达目的地所需的时间。

试着这样想：如果你开车时将油门踩下并保持在完全相同的位置，你的速度会以稳定的速率增加。这种稳定的增加就是我们所说的等加速度（constant acceleration）。如果刚开始觉得这有点抽象也不用担心；一旦你学会了“SUVAT”系统，这就像解谜题一样简单！

1. 五个关键变量：认识“SUVAT”

为了处理这些问题，我们使用五个变量。我们通常称之为 SUVAT 变量，方便记忆。每个字母代表一个特定的物理量：

s = 位移（Displacement）（从起点出发的直线距离，单位为米，\( \text{m} \)）。
u = 初速度（Initial Velocity）（计时开始瞬间的速度，单位为 \( \text{ms}^{-1} \)）。
v = 末速度（Final Velocity）（计时结束瞬间的速度，单位为 \( \text{ms}^{-1} \)）。
a = 等加速度（Constant Acceleration）（每秒速度变化的量，单位为 \( \text{ms}^{-2} \)）。
t = 时间（Time）（运动持续的时间，单位为秒，\( \text{s} \)）。

快速复习：方向很重要！

在一维运动学中，物体可以向前或向后（或向上和向下）移动。我们通常会指定一个方向为正方向（例如“向上”或“向右”）。如果物体向相反方向移动，其位移和速度就会变成负值。如果物体在正方向上减速，那么它的加速度就是负的！

关键要点：在开始解题前，先列出 s, u, v, a, t 并填入已知数值。你通常需要三个已知数值来求出另外两个未知数。

2. 等加速度公式

这些是本章的核心工具。你需要熟练运用它们，并了解它们的推导来源。

1. \( v = u + at \)
2. \( s = \frac{1}{2}(u + v)t \)
3. \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \)
4. \( s = vt - \frac{1}{2}at^2 \)
5. \( v^2 = u^2 + 2as \)

如何选择正确的公式：

每个公式都缺少其中一个 SUVAT 变量。要选择正确的公式，请查看你没有且不需要的变量：
- 没有 s？使用公式 1。
- 没有 a？使用公式 2。
- 没有 v？使用公式 3。
- 没有 u？使用公式 4。
- 没有 t？使用公式 5。

你知道吗？这些公式仅在加速度保持恒定时才适用。如果加速度发生变化（例如汽车换挡时），你必须将问题拆分为多个部分处理，或使用微积分！

3. 公式推导

MEI 课程大纲要求你掌握这些公式的推导。最简单的方法是利用速度-时间图（Velocity-Time graph）。

想象一个图表，速度从 \( u \) 开始，经过时间 \( t \) 后达到 \( v \)。
推导 \( v = u + at \)： 由于加速度是速度-时间图的斜率（gradient）：
\( a = \frac{\text{速度变化量}}{\text{时间}} = \frac{v - u}{t} \)。整理后得到 \( at = v - u \)，即 \( v = u + at \)。

推导 \( s = \frac{1}{2}(u + v)t \)： 位移是图表下的面积。对于一个梯形（图表的形状），其面积为平行边的平均值乘以宽度：
\( \text{面积} = \frac{(u + v)}{2} \times t \)。因此，\( s = \frac{1}{2}(u + v)t \)。

关键要点：如果在考试中忘记了某个公式，试着画一个简单的速度-时间图，并计算其斜率或面积！

4. 重力问题（自由落体）

等加速度在现实中最常见的例子之一就是物体在重力作用下的自由落体。在地球上，我们将其模拟为向下的恒定加速度。

g 的值：在 MEI 考试中，除非题目另有说明，否则一律使用 \( g = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \)。
常见错误：学生常忘记如果选择“向上”为正方向，则 \( a = -9.8 \)。如果你从悬崖上丢下物体，通常选择“向下”为正方向会比较简单，此时 \( a = 9.8 \)。

重力问题解题步骤：

1. 选择一个正方向（如果物体向上抛，通常选“向上”最方便）。
2. 列出 SUVAT：如果是被丢下，\( u = 0 \)。如果物体撞击地面，并不代表 \( v = 0 \)（这代表撞击前那一瞬间的速度）。
3. 设定 \( a \)：如果“向上”为正，则 \( a = -9.8 \)。
4. 找出所需变量并选择公式。

关键要点：当抛体达到最高点时，其垂直速度 (\( v \)) 在那一瞬间永远为零！

5. 解题技巧与常见陷阱

力学问题难在设定过程，而不是数学运算。以下是如何避开常见陷阱的方法：

- 一致性：确保单位统一。如果速度单位是 km/h 而时间单位是秒，你必须先将 km/h 转换为 m/s。
- “隐藏的”零：留意“从静止开始”（\( u = 0 \)）或“停止”（\( v = 0 \)）等字眼。
- 减速：如果物体正在减速，其加速度的符号必须与速度相反。
- 两段式运动：如果汽车先加速然后保持恒定速度行驶，你必须进行两次独立的 SUVAT 计算。第一段运动的“末速度”将成为第二段运动的“初速度”。

重点总结

• SUVAT 代表 s（位移）、u（初速度）、v（末速度）、a（加速度）和 t（时间）。
• 这些公式仅适用于加速度保持不变的情况。
• 地球上的重力模拟为 \( a = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \)，方向向下。
• 在开始计算前，务必先设定好正方向。