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在之前的学习中，你已经学会如何对 \(x^2\) 或 \(5x\) 这些简单项进行微分。但如果函数变得「杂乱无章」该怎么办？如果两个函数相乘、相除，甚至像俄罗斯套娃一样层层嵌套呢？
别担心，刚开始觉得棘手是很正常的！ 大多数同学起初都会觉得这些法则很复杂，但只要掌握了当中的规律，它们很快就会变成你的直觉。在本指南中，我们将精通链式法则 (Chain Rule)、乘积法则 (Product Rule) 以及商法则 (Quotient Rule) —— 这些都是任何 A Level 数学学生必备的三大法宝。

1. 链式法则：函数内的函数

当你遇到复合函数 (Composite function) 时，就需要使用链式法则。这本质上就是一个「函数内的函数」。

如何辨识？

留意括号外有次方，或者函数被包在平方根或三角函数内的情况。
例子：\(y = (3x^2 + 1)^5\)。这里，「内层」函数是 \(3x^2 + 1\)，而「外层」函数则是「某物体的 5 次方」。

公式

如果 \(y\) 是 \(u\) 的函数，而 \(u\) 又是 \(x\) 的函数，那么：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \)

步骤拆解

  1. 找出内层函数，并将其设为 \(u\)。
  2. 对 \(u\) 关于 \(x\) 微分，得出 \(\frac{du}{dx}\)。
  3. 将原方程改写，用 \(u\) 代替括号部分。
  4. 对这个新方程微分，得出 \(\frac{dy}{du}\)。
  5. 将这两个结果相乘。

简单的记忆技巧

很多同学喜欢用「由外到内」法则：
「先对外层微分（保持内层不变），然后乘以内层的导数。」

快速复习：
例子：对 \(y = \sin(x^2)\) 微分
1. 内层是 \(x^2\)，其导数是 \(2x\)。
2. 外层是 \(\sin(\dots)\)，其导数是 \(\cos(\dots)\)。
3. 结果：\( \frac{dy}{dx} = 2x \cos(x^2) \)。

常见错误：忘了对内层括号微分。记得时刻检查是否有「内层」部分需要单独进行微分！

重点总结：链式法则让我们能像「剥洋葱」一样，一层一层地拆解函数。

2. 乘积法则：函数相乘

当两个不同的 \(x\) 函数相乘时，我们使用乘积法则。

如何辨识？

留意两个明显不同的部分相乘，例如 \(x^2 \sin(x)\)。你不能直接把它们各自的导数相乘！

公式

如果 \(y = uv\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 都是 \(x\) 的函数：
\( \frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \)

类比理解

将其想象成一场双人表演。一个人站着不动，另一个人表演（微分），然后互换角色，最后将两人的表演成果相加。

步骤拆解

  1. 将函数拆分为两部分：\(u\) 和 \(v\)。
  2. 分别求出它们的导数：\(\frac{du}{dx}\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)。
  3. 交叉相乘并相加：(第一项 \(\times\) 第二项的导数) + (第二项 \(\times\) 第一项的导数)。

口诀：
「左乘右导，加右乘左导」（导即导数）。

你知道吗？
乘积法则最早由莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在 17 世纪末提出。其实他第一次尝试时也写错了，所以如果你第一次做错了，千万别灰心！

重点总结：当项相乘时，其导数就是「部分乘导数」之和。

3. 商法则：函数相除

商法则适用于分数形式，即分子和分母都是 \(x\) 的函数时。

如何辨识？

留意像 \(y = \frac{\ln(x)}{x^2}\) 这样的代数分数。

公式

如果 \(y = \frac{u}{v}\)：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \)

记忆法：低高口诀

这是微积分中最著名的口诀。称分子为「高 (High)」，分母为「低 (Low)」：
「低 d 高，减高 d 低，再除以底部的平方。」

需避免的常见错误

  • 顺序很重要！ 因为分子中间是减号，你必须先从分母函数 (\(v\)) 开始。如果调转顺序，答案的符号就会出错。
  • 别忘了分母要平方： 同学经常在处理完复杂的分子后，却忘了将整个式子除以 \(v^2\)。

温馨提示：这个公式看起来很长，但分母 (\(v^2\)) 通常不需要展开。保留为 \((...)^2\) 即可！

重点总结：对于分数，请使用「低 d 高」口诀，并记得分母要平方。

4. 进阶变化率（链式法则的应用）

MEI 课程大纲也要求你将链式法则应用于相关变化率 (Connected rates of change) 和反函数 (Inverse functions)。

相关变化率

这在现实建模中非常实用。例如，如果你知道气球半径增加的速度 (\(\frac{dr}{dt}\))，你就可以求出体积增加的速度 (\(\frac{dV}{dt}\))。
窍门：设置你的分数，让它们能「消去」从而得到你想要的变量。
\( \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt} \)

反函数微分

有时求 \(\frac{dx}{dy}\) 比求 \(\frac{dy}{dx}\) 更容易。课程大纲 (Ref: c15) 提醒我们：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \)

快速复习盒：
链式法则：\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \)（俄罗斯套娃）
乘积法则：\( uv' + vu' \)（双人表演）
商法则：\( \frac{vu' - uv'}{v^2} \)（低 d 高）

最后的小贴士：当你看到一个复杂函数时，问自己：「这是一个括号吗？这是一个乘积吗？还是这是一个分数？」 辨识出正确的法则就已经成功了 90%！