Inequalities

欢迎来到不等式的世界！

在以前的数学课里，你们花了很多时间寻找 \(x\) 的确切数值（例如 \(x = 5\)）。在这个章节中，我们将探讨不等式 (Inequalities)。我们不再只寻找单一答案，而是要找出可能的数值范围 (range)。

试想一下限速：如果路牌显示限速 70 英里，你不必刚好开 70 英里。只要车速 \(s\) 满足 \(s \le 70\)，你就可以维持任何车速。不等式能帮助我们描述这些现实世界的限制，从桥梁的载重极限，到化学反应所需的温度条件。如果起初觉得这些概念有点陌生，别担心——看完这份笔记，你将会成为寻找并标示这些区域的专家！

1. 单变量线性不等式

解线性不等式几乎与解线性方程一模一样，但有一个非常重要的“黄金法则”。

基础知识

我们主要使用四个符号：
\( > \) ：大于
\( < \) ：小于（提示：这个符号看起来就像是一个压扁的“L”，代表 Less than！）
\( \ge \) ：大于或等于
\( \le \) ：小于或等于

不等式的“黄金法则”

当你将不等式两边同时乘以或除以一个负数时，必须反转不等号。

例子：如果我们有 \( -2x < 10 \)，我们将两边除以 \( -2 \)。符号必须反转：
\( x > -5 \)

为什么呢？想想数轴。\( 2 < 5 \) 是正确的。但如果我们把它们都乘以 \( -1 \)，那么 \( -2 < -5 \) 对吗？不对！因为 \( -2 \) 在数轴上其实比 \( -5 \) “更靠右”（更大）。所以我们必须将其反转为 \( -2 > -5 \) 才能维持陈述正确。

逐步解题：处理括号与分数

1. 展开所有括号。
2. 将每一项乘以分母，消除分数。
3. 重组各项，将所有含 \(x\) 的项移至一边，常数项移至另一边。
4. 解出 \(x\)（记得如果除以负数，要反转符号！）。

快速回顾：将不等式视为方程来处理，99% 的情况下都行得通。只是要留意那些负数！

2. 以图形表示不等式

有时，我们需要在坐标平面（\(x-y\) 图表）上表示不等式。这在 Ma7 的参考范围内很常见，例如 \( y > x + 1 \)。

边界线 (Boundary Line)

首先，将不等式视为等号并画出直线（例如 \( y = x + 1 \)）。

• 使用虚线表示 \( < \) 或 \( > \)。这显示边界本身不包含在内。
• 使用实线表示 \( \le \) 或 \( \ge \)。这显示边界包含在内。

标示区域 (Shading)

要决定直线的哪一侧需要涂色（阴影），请使用“测试点”方法 (Test Point Method)：

1. 挑选一个不在直线上的点（原点 \( (0,0) \) 通常是最简单的选择！）。
2. 将该点的 \(x\) 和 \(y\) 数值代入你的不等式中。
3. 如果结果是正确的，就将包含该点的那一侧涂色。如果结果是错误的，就涂另一侧。

你知道吗？在 MEI 考试中，你必须清楚说明你所标示的是哪一个区域。有些人会标示“满足要求的”区域，有些人则标示“不想要的”区域。务必仔细阅读题目，看看它是否要求你“涂出满足不等式的区域”。

3. 二次不等式

解二次不等式（参考 a8），例如 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)，需要稍微不同的方法。你不能直接像解方程那样去“解 \(x\)”。

三步骤方法

步骤 1：找出“临界值”(Critical Values)
将不等式视为方程并解开（通常因式分解最好用）。
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
临界值：\( x = 2 \) 及 \( x = 3 \)。

步骤 2：草绘曲线
简单画出抛物线的草图。因为 \( x^2 \) 的系数为正，这是一个开口向上的 U 型曲线，分别在 2 和 3 处与 \(x\) 轴相交。

步骤 3：识别区域
观察原始的不等号：
- 如果它是 \( < 0 \)，你需要的是曲线在 \(x\) 轴下方的部分。这通常是一个单一区间：\( 2 < x < 3 \)。
- 如果它是 \( > 0 \)，你需要的是曲线在 \(x\) 轴上方的部分。这会是两个分离的区域（尾部）：\( x < 2 \) 或 \( x > 3 \)。

常见错误：许多学生看到 \( x^2 > 9 \)，就直接写 \( x > 3 \)。他们忽略了负数的部分！如果你画出曲线图，你会发现答案实际上是 \( x > 3 \) 或 \( x < -3 \)。

4. 集合记号与“且/或”

参考 a9 要求你使用标准记号写出答案。以下是表达相同内容的三种常见方式：

1. 简单不等式

例子： \( x < 1 \) 或 \( x > 4 \)

2. 使用“且 (And)”与“或 (Or)”

• “或” (并集 \( \cup \))： 当区域是分离的时候使用（例如二次不等式的两个尾部）。
• “且” (交集 \( \cap \))： 当数值必须同时满足两个条件时使用（例如二次不等式的中间部分）。

3. 集合记号 (Set Notation)

看起来有点复杂，但理解后就很简单：
\( \{x : x > 4\} \)
读作：“所有 \(x\) 的集合，使得 (such that) \(x\) 大于 4。”
- 大括号 \( \{ \} \) 代表“……的集合”
- 冒号 \( : \) 代表“使得……”

重点总结：
区域分离？使用 或 (or) / \( \cup \)。
在两个数值之间？使用 且 (and) / \( \cap \)。

成功检核清单

• 如果除以负数，我有反转符号吗？
• 对于二次不等式，我有画出草图吗？（一定要画！）
• 我的边界线是虚线（严格大于/小于）还是实线（包含等于）？
• 我有检查题目是否要求使用“集合记号”吗？
• 我有代入一个点（例如 \(0,0\)）来确保我涂对了那一侧吗？

如果集合记号一开始看起来像外星语言，别担心。只要记住冒号代表“使得”，剩下的就只是你已经解出的不等式而已！