Percentages

欢迎来到百分比的世界！

在本章中，我们要掌握百分比 (percentages)。你随处可见百分比的身影：当你最喜欢的商店有 50% 折扣时、手机电量剩下 12% 时，或者银行你的储蓄提供利息时。百分比只是表达分数 (fractions) 和小数 (decimals) 的另一种方式，但在现实生活中，它往往是比较事物时最实用的工具。

如果你以前觉得这部分很棘手，不用担心。我们会一步一步拆解，直到你成为百分比达人！

1. 什么是百分比？

百分比 (percent) 一词源自拉丁文 'per centum'，字面意思是“每百”。

想象一个由 100 个小方格组成的正方形。如果你把其中的 25 个涂成红色，你就涂了该正方形的 \( 25\% \)。每一个百分比其实就是分母为 100 的分数。

关键词： 百分比 (Percentage) – 以 100 为总数中的部分数量。

快速回顾：

• \( 50\% \) 代表 100 中的 50（即一半）。
• \( 10\% \) 代表 100 中的 10（即十分之一）。
• \( 100\% \) 代表全部！

重点小贴士： 永远记住“百分比”代表“每百份中的几份”。只要记住这一点，你就已经成功了一半！

2. “黄金三角”：FDP 转换

要在 J560 课程中取得好成绩，你需要灵活运用分数、小数和百分比 (Fractions, Decimals, and Percentages, 简称 FDP)。它们本质上是同一数值的不同“装扮”。

从小数转换为百分比

将小数乘以 100（将小数点向右移动两位）。

例子： \( 0.45 = 45\% \)
例子： \( 0.07 = 7\% \)

从分数转换为百分比

尝试将分母变为 100，或者直接用分子除以分母，然后乘以 100。

例子： \( \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25\% \)

从百分比转换为分数

将百分数写在 100 上，然后约分。

例子： \( 60\% = \frac{60}{100} \)。分子分母同时除以 20，得到 \( \frac{3}{5} \)。

你知道吗？ \( \% \) 这个符号看起来就像是 100 的重新排列！两个圆圈是零，而斜线则是“1”。

3. 计算数量的百分比

有两种主要方法：“积木法”(Building Block)（非常适合非计算器试卷）和“乘数法”(Multiplier)（适合计算器试卷）。

积木法（不使用计算器）

大多数百分比可以通过先找到 \( 10\% \) 或 \( 1\% \) 来计算：
• 要找 \( 10\% \)：除以 10。
• 要找 \( 1\% \)：除以 100。

例子：找出 £120 的 \( 15\% \)。
1. 找出 \( 10\% \)：\( 120 \div 10 = 12 \)
2. 找出 \( 5\% \)（\( 10\% \) 的一半）：\( 12 \div 2 = 6 \)
3. 将它们相加：\( 12 + 6 = 18 \)。所以，\( 15\% \) 是 £18。

乘数法（使用计算器）

将百分比转换为小数，然后乘以总数。

例子：找出 £450 的 \( 37\% \)。
1. \( 37\% \) 作为小数是 \( 0.37 \)。
2. 计算：\( 0.37 \times 450 = 166.5 \)。所以是 £166.50。

重点小贴士： 为了进行快速的“合理性检查”，问问自己：“我的答案合理吗？”如果你计算 £100 的 \( 10\% \) 却得到 £50，你就会知道哪里出错了！

4. 将一个数量表示为另一个数量的百分比

你经常会被问到：“\( A \) 是 \( B \) 的百分之几？”(例如：你的考试分数)。

公式： \( \frac{\text{部分}}{\text{总数}} \times 100 \)

例子：你在测验中 25 分满分拿到了 18 分。你的百分比是多少？
\( \frac{18}{25} \times 100 = 72\% \)

5. 百分比增减

这是我们改变原始值的情况。你可能会加上加薪（增加）或减去折扣（减少）。

快捷方式：使用乘数

这是 Foundation 和 Higher 级别最爱用的方法，因为它速度快，且有助于处理日后更难的问题。
• 对于增加：将百分比加到 \( 100\% \)，然后转换为小数。
• 对于减少：从 \( 100\% \) 减去百分比，然后转换为小数。

例子 1（增加）：将 £50 增加 \( 12\% \)。
新百分比 = \( 100\% + 12\% = 112\% \)。乘数 = \( 1.12 \)。
计算：\( 50 \times 1.12 = 56 \)。

例子 2（减少）：一件 £150 的外套有 \( 20\% \) 折扣。
新百分比 = \( 100\% - 20\% = 80\% \)。乘数 = \( 0.8 \)。
计算：\( 150 \times 0.8 = 120 \)。

需避免的常见错误： 如果价格先增加 \( 10\% \)，然后再减少 \( 10\% \)，你不会回到原价！因为第二次的 \( 10\% \) 是基于新的、较大的数字来计算的。

6. 反向百分比（逆向计算）

这类题目会给你新价格，并要求你找出原始价格。这往往是本章最难的题目。

法则： 永远不要去计算新价格的百分比。相反，找出新价格代表了原价的百分之几。

例子：手机在打 \( 10\% \) 折扣后价格为 £360。原价是多少？
1. 如果有 \( 10\% \) 的折扣，那么 £360 一定代表原价的 \( 90\% \) (\( 100 - 10 \))。
2. 所以：\( 90\% = £360 \)。
3. 找出 \( 1\% \)：\( 360 \div 90 = 4 \)。
4. 找出 \( 100\% \)（原价）：\( 4 \times 100 = 400 \)。原价是 £400。

记忆辅助： 在反向百分比问题中，你通常需要除以乘数，才能回到“过去”的原始值。

7. 单利与复利

银行利用百分比来奖励你的储蓄，或在你借款时向你收取利息。

单利 (Simple Interest)

利息仅根据原始金额计算。每年金额保持不变。

例子：£1000 以 \( 5\% \) 的单利存 3 年。
£1000 的 \( 5\% \) 是 £50。你每年获得 £50。
总利息 = \( £50 \times 3 = £150 \)。

复利 (Compound Interest)

利息是根据每年新的结余计算的。也就是“利滚利”。

公式（Higher 级别）： \( \text{总金额} = P \times (\text{乘数})^n \)
其中 \( P \) 是起始金额，\( n \) 是年数。

例子：£1000 以 \( 5\% \) 的复利存 3 年。
计算：\( 1000 \times (1.05)^3 = 1157.63 \)。
（与单利获得的 £1150 相比！复利增长得更快。）

重点小贴士： 单利就像平铺直叙的加法；而复利就像滚雪球，随着它滚动并积累利息，雪球会变得越来越大。

总结清单

在结束之前，请确保你能：
• 将百分比定义为“每百份中的几份”。
• 在分数、小数和百分比之间进行转换。
• 计算数量的百分比（使用及不使用计算器）。
• 使用乘数进行百分比增减。
• 通过找出 \( 1\% \) 的值来解决反向百分比问题。
• 区分单利和复利。