Ruler and compass constructions

欢迎来到尺规作图的世界！

在本章中，我们将学习如何以极高的精准度绘制几何图形。试着想象自己是一位电脑时代之前的建筑师或设计师！我们不再需要估计一条线的中点在哪里，而是使用两种简单的工具——直尺 (ruler) 和 圆规 (compass)——来精准地找到它。

如果刚开始觉得这些步骤有点“琐碎”，别担心。只要准备一支削尖的铅笔，多加练习，你很快就能画出完美的平分线与轨迹！

几何工具箱

在我们开始“动手建造”之前，先来看看我们的装备（课程编号：8.01f）：

• 直尺：我们用它来画直线并测量距离。在“纯粹”的作图中，我们有时称它为“无刻度直尺 (straightedge)”。
• 圆规：这是用来画圆形和弧线（圆的一部分）的工具。它是用来寻找与两点等距之点最重要的工具。
• 量角器：我们用它来测量和绘制角度。虽然许多作图不需要它，但用来检查你的作业非常有用！

专家贴士：务必保持铅笔芯尖锐，并确保圆规上的螺丝锁紧，这样在画图时它才不会滑动！

1. 垂直平分线 (Perpendicular Bisector)

课程编号：8.02a

垂直 (Perpendicular) 指的是直角（\( 90^\circ \)）。平分 (Bisector) 指的是将某物精确地分成两半。因此，垂直平分线就是一条以 \( 90^\circ \) 将另一条线段一分为二的直线。

它有什么用？ 它能帮你找到线段的中点，并找出所有与线段两端等距（距离相等）的点。

如何作图（步骤教学）：

假设你有一条线段 \( AB \)：
1. 将圆规针尖放在点 \( A \) 上。
2. 将圆规开口调整至超过该线段长度的一半。
3. 画一个大的弧线，使其跨越线段的上方和下方。
4. 保持圆规开口不变，将圆规针尖移到点 \( B \) 上，画另一个弧线。
5. 这两个弧线会在两个点相交（一个在线段上方，一个在下方）。
6. 使用直尺连接这两个交点，画出一条直线。

常见错误： 在步骤 3 和步骤 4 之间改变了圆规的开口。如果开口改变了，你画出的线就不会位于正中间！

重点总结： 这条新直线上的每一点，距离点 \( A \) 与点 \( B \) 的距离都完全相等。

2. 角平分线 (Angle Bisector)

课程编号：8.02b

角平分线是将一个角精确平分成两半的直线。如果你有一个 \( 60^\circ \) 的角，角平分线会创造出两个 \( 30^\circ \) 的角。

如何作图（步骤教学）：

1. 将圆规针尖放在角的顶点 (vertex) 上。
2. 画一个弧线，使其交于角的两条边上。
3. 将圆规针尖放在第一个弧线与第一条边的交点上，在角的内部画一个小弧。
4. 保持圆规开口不变，将圆规针尖放在第一个弧线与第二条边的交点上，画出另一个小弧，使其与刚才画的小弧相交。
5. 使用直尺将角的顶点与两个小弧的交点连接起来。

类比： 这就像是把一块披萨完美地切成两半，让你和朋友拿到的份量一模一样！

重点总结： 角平分线上的任何一点，到组成该角的两条直线的距离都相等。

3. 从一点作垂线 (Perpendiculars from a Point)

课程编号：8.02c

有时你需要从一个特定的点出发，对现有的线画一条 \( 90^\circ \) 的垂直线。这有两种情况：

A. 从线“上”的一点作垂线

1. 将圆规针尖放在该给定点上。
2. 在该线段上画两个弧，分别位于该点的两侧（保持圆规开口不变）。
3. 现在，将这两个新标记视为线段的两端，按照上述垂直平分线的步骤操作！

B. 从线“外”的一点作垂线

1. 将圆规针尖放在线外“漂浮”的那个点上。
2. 将圆规开口调整至足够大，画一个弧线使其与直线在两个位置相交。
3. 从这两个交点出发，在直线的另一侧画出两个相互交叉的弧线。
4. 使用直尺将原先的点与新弧线的交点连接起来。

你知道吗？ 从一点到直线的垂直距离永远是最短距离。如果你想以最快速度到达墙边，请以 \( 90^\circ \) 的角度向它走去！

4. 轨迹与等距点 (Loci and Equidistant Points)

课程编号：8.02d

轨迹 (Locus，复数为 Loci) 是满足特定规则的一组点。你可以把它想象成一个移动物体在必须遵守某种规则时所走过的“路径”。

常见的轨迹规则：

• 规则：“距离点 \( X \) 正好 \( 5 cm \)”
轨迹为：一个以 \( X \) 为圆心，半径为 \( 5 cm \) 的圆。
• 规则：“与点 \( A \) 和点 \( B \) 等距”
轨迹为：线段 \( AB \) 的垂直平分线。
• 规则：“与直线 \( L1 \) 和直线 \( L2 \) 等距”
轨迹为：两条直线之间的角平分线。
• 规则：“距离一条直线正好 \( 2 cm \)”
轨迹为：两条平行线（每侧各一条），两端各有一个半圆。我们称之为“香肠形”或“体育场形”。

速查表：关键词 - 等距 (Equidistant)
Equi = 相等
Distant = 距离
如果一个点到两样事物的距离相等 (equidistant)，那么它正好位于两者的正中间。

总结与要点回顾

• 作图必须仅使用直尺和圆规。千万不要擦掉你的作图痕迹（弧线）——考官需要看到这些线条才能给你分数！
• 使用垂直平分线来寻找线段中点或与两点等距的点。
• 使用角平分线来平分角度或寻找与两线等距的点。
• 轨迹就是满足特定规则的路径或区域。
• 从一点到直线的最短距离就是垂直线。

鼓励的话： 如果你的弧线第一次没交在一起，只要把它们画长一点就好！你做得很好。