欢迎来到风险测量（Risk Measurement）的世界！

你好！欢迎来到 FRM Part I 旅程中最重要的章节之一。在我们管理风险之前，必须先学会测量它。你可以把这一章想象成金融界的“温度计”。正如医生会检查你的体温和心跳来判断健康状况一样，风险管理人员会检查回报率（Returns）、波动率（Volatility）和相关性（Correlation），以了解投资组合的“健康状态”。

如果起初觉得这些术语充满数学味，别担心！我们会将这些概念拆解成简单、易于消化的内容，并结合实际生活例子。学完之后，你谈论 GARCH 和 EWMA 时将会像专业人士一样得心应手！


1. 回报率：离散型 vs. 连续型

在谈论风险之前，我们需要知道赚了多少或赔了多少。在金融领域，我们关注的是回报率（Returns）。

简单回报率（Discrete Returns）

这就是你在学校学过的那种。如果你以 $100 买入股票，现在变成 $110，回报率就是 10%。
公式： \( R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} \)

对数回报率（Logarithmic / Continuously Compounded Returns）

在 FRM 的世界里，我们非常喜欢对数回报率。为什么？因为它们让长期的数学运算变得更容易！如果你有一连串的对数回报率，只需将它们相加即可得出总回报率。
公式： \( r_t = \ln(\frac{P_t}{P_{t-1}}) \)

重点复习：为什么要使用对数回报率？
• 时间可加性（Time Additivity）： 你可以直接将每日的对数回报率相加，得到每周的回报率。
• 正态分布（Normal Distribution）： 它们通常比简单回报率更符合我们的统计模型。

常见避坑指南：千万不要搞混！如果考试要求计算“连续复利回报率”（continuously compounded return），请务必在计算器上按下 ln（自然对数）键。


2. 波动率：恐惧的测量标准

波动率（Volatility），即标准差，告诉我们股票价格围绕其平均值“跳动”的幅度。高波动率意味着高风险（当然也可能伴随高回报）。低波动率则代表市场走势更平稳、更可预测。

标准公式：
历史上，我们通过观察偏离平均值的平方差平均数来计算方差（\( \sigma^2 \)）：
\( \sigma^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m} (u_{n-i} - \bar{u})^2 \)

比喻：想象有两位驾驶。驾驶 A 始终保持时速 60 英里；驾驶 B 则不断在 80 英里和 40 英里之间变换速度。两者的平均时速都是 60，但驾驶 B 的过程更“剧烈”，风险更高！

关键结论：在风险管理中，为了简化数学运算，对于极短的时间周期（如一天），我们通常假设平均回报率（\( \bar{u} \)）为零。这是 FRM 中非常常见的约定！


3. EWMA：赋予近期数据更高权重

标准波动率模型将过去的每一天视为同等重要。但三年前的市场崩盘真的和昨天的市场波动一样重要吗？可能不是！这就是指数加权移动平均法（Exponentially Weighted Moving Average, EWMA）派上用场的时候。

核心概念：我们赋予最近的数据最高的权重，并随着时间回溯逐渐“淡化”旧数据的重要性。

公式：
\( \sigma_n^2 = \lambda \sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda) u_{n-1}^2 \)

记忆辅助（Lambda 规则）：
• \(\lambda\) (Lambda)： 对于每日数据，通常取 0.94（RiskMetrics 标准）。
• 如果 \(\lambda\) 很高（接近 1），波动率变化缓慢（具有“粘性”）。
• 如果 \(\lambda\) 很低，波动率会对新信息反应非常迅速。

小知识：EWMA 实际上是我们即将要学的 GARCH 模型的一个特殊情况！


4. GARCH (1,1)：引入均值回归

如果说 EWMA 是个“酷炫的弟弟”，那么 GARCH (1,1) 就是“成熟深沉的哥哥”。GARCH 的全称是广义自回归条件异方差模型（别担心，你不需要一口气念出全名！）。

最大差异：GARCH 假设波动率最终会回到一个长期的平均水平，这称为均值回归（Mean Reversion）。

GARCH (1,1) 的配方：
方差由三个要素组成：
1. 加权后的长期平均方差（\( \omega \)）
2. 昨天的“新闻”或回报率平方（\( \alpha u_{n-1}^2 \））
\n3. 昨天预测的波动率（\) \beta \sigma_{n-1}^2 \））

公式：
\( \sigma_n^2 = \omega + \alpha u_{n-1}^2 + \beta \sigma_{n-1}^2 \)

重要条件：为了使模型稳定并能回归均值，\( \alpha + \beta \) 必须小于 1。如果 \( \alpha + \beta = 1 \)，你得到的其实就是 EWMA 模型！

关键结论：GARCH 在长期预测方面表现更好，因为它承认市场在“疯狂”过后最终会平静下来并回归常态。


5. 相关性与协方差：资产如何“共舞”

风险不只关乎单一股票的表现，更关乎资产之间如何联动。这正是投资组合多样化（Diversification）的核心。

协方差（Covariance）：告诉我们关系的方向。正数表示同向变动；负数表示反向变动。
相关系数（Correlation, \( \rho \)）：这是协方差的“标准化”版本，其值始终保持在 -1 到 +1 之间。

相关系数的衡量尺度：
• +1.0： 完美和谐。两者完全同步变动。
• 0： 无相关性。就像地铁里的陌生人，互不相干。
• -1.0： 完美对立。一个涨，另一个就跌。

计算步骤：
要找出相关系数（\( \rho_{xy} \））：
\n1. 计算协方差（\) Cov_{xy} \））。
2. 除以两个标准差的乘积（\( \sigma_x \times \sigma_y \））。
\n\) \rho_{xy} = \frac{Cov_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} \)

鼓励一下：如果协方差的数学看起来很吓人，请记住它只是“偏离值的乘积平均数”。你只是在检查这两种资产是否同时向同一个方向“偏离了平均值”。


总结：融会贯通

• 回报率是起点。因具有可加性，对数回报率更受青睐。
• 波动率是我们衡量风险的指标。我们使用 EWMA 和 GARCH 来估计它，因为市场的“恐惧”会随时间改变。
• EWMA 简单且反应灵敏；GARCH 则更复杂，且包含了对长期平均值的“拉力”。
• 相关性告诉我们投资组合是否达到多元化。目标是追求低相关性，以降低整体风险！

考前最后贴士：务必熟练使用 EWMA 或 GARCH 公式计算“新的”波动率。考试非常喜欢给你“昨天的”数据，然后要求计算“今天的”波动率估值。只需按步骤将数字代入公式，你一定能拿高分！