欢迎来到金融远期合约（Forwards）与期货（Futures）定价的世界！

各位未来的 FRM 持证人，欢迎！如果你曾经好奇交易员究竟是如何决定股票或货币在六个月后的确切价值，那么你来对地方了。在本章中，我们将学习定价的运作机制。

我们在此所做一切的“秘密武器”是一个称为无套利定价（Arbitrage-Free Pricing）的概念。简单来说，我们的目标是找到一个价格，让任何人无法在不承担任何风险的情况下，“白赚”一笔钱。别担心如果起初数学看起来有点吓人，我们会透过你在日常生活中也能运用的逻辑，一步步为你拆解。


1. 基础：投资资产 vs. 消费资产

在进行任何计算之前，我们需要知道我们在处理什么。在 FRM 课程的这个部分，我们主要关注投资资产（Investment Assets）。

投资资产是指被大量投资者纯粹出于投资目的而持有的资产（例如股票、债券或黄金）。而消费资产（Consumption Assets）则主要用于消耗（例如石油、铜或猪腩肉）。

为什么这点很重要？ 因为对于投资资产，我们可以使用套利（Arbitrage）理论来找到精确的价格。如果价格过高或过低，投资者会进行买入或卖出，直到价格回到“公允价值（Fair Value）”。

必备概念：卖空（Short Selling）

要理解套利，你必须先理解卖空。这涉及借入你并不拥有的资产，在今天卖出，并承诺在未来买回以归还。如果价格下跌，你就能获利！

快速复习：
• 现货价格（Spot Price, \( S_0 \)）：资产在当下的价格。
• 远期价格（Forward Price, \( F_0 \)）：今天约定在未来交割的价格。
• T：合约距离到期的时间（通常以年为单位）。
• r：无风险利率（以连续复利表示）。


2. 无收益投资资产的定价

想像你想在一年后购买一股不发放股利的股票。你有两个选择：
1. 今天以现货价格 \( S_0 \) 买入并持有它。
2. 签订一份远期合约，约定在一年后以 \( F_0 \) 的价格买入。

为了使这两个选择相等，远期价格必须考虑到货币的时间价值（Time Value of Money）。如果你等到一年后才付钱，你本来可以将这笔钱存入银行赚取利息！

公式：
\( F_0 = S_0 e^{rT} \)

范例：
如果股票今天为 $100（\( S_0 = 100 \)），无风险利率为 5%（\( r = 0.05 \)），合约期限为 1 年（\( T = 1 \)）：
\n\( F_0 = 100 \times e^{0.05 \times 1} \approx \$105.13 \)

避免常见错误：
学生常忘记将月份转换为年来计算 \( T \)。如果合约期限为 6 个月，则 \( T = 0.5 \)。一定要检查你的时间单位！

重点总结：远期价格只是将现货价格透过利率“推向未来”。如果远期价格高于这个计算出的数值，你就可以借钱买入资产，同时卖出远期合约，从而获得“无风险利润”（这就是套利！）。


3. 加入收益因素

如果资产在你持有期间会产生收益怎么办？例如，债券会支付利息，或股票会支付股利。这使得持有该资产比持有远期合约更具吸引力（因为远期合约持有者拿不到这些收益）。

A. 已知现金收益（\( I \)）

如果你收到一笔确定的金额（如债券利息），我们在将现货价格推向未来之前，必须先从中扣除该收益的现值（Present Value）。

公式：
\( F_0 = (S_0 - I) e^{rT} \)
其中 \( I \) 是合约期间内所有预期收益的现值。

B. 已知连续收益率（\( q \)）

对于股票指数（如 S&P 500），股利发放非常频繁，我们将其视为连续的“流”或收益率（\( q \)）。

公式：
\( F_0 = S_0 e^{(r-q)T} \)

类比：将 \( r \) 视为持有资产的“成本”（你支付的利息），将 \( q \) 视为“收益”（你获得的股利）。远期价格仅按净成本 \( r - q \) 成长。

重点总结：收益会降低远期价格，因为持有远期合约的人会错过这些收益。


4. 远期合约的评价（价格 vs. 价值）

这是 FRM 学生最容易混淆的地方，让我们理清它！

• 远期价格（\( F_0 \)）：这是合约中写明的“交割价格”。在合约开始时，其价值（Value）为零，因为合约是公平定价的。
• 价值（\( f \)）：随着时间流逝，现货价格（\( S_t \)）变动，合约开始变得“有价值”。如果你锁定的买入价是 $100，而现在价格涨到 $120，你的合约现在就值钱了！

价值公式（长仓）：
\( f = (F_t - K) e^{-r(T-t)} \)
其中 \( K \) 是你最初约定的交割价格，\( F_t \) 是目前新合约的远期价格。

记忆技巧：价值就是如果你今天结算该合约，你将获得利益的现值。


5. 外汇远期（利率平价）

处理货币时，将外币利率（\( r_f \)）视为该货币的“股利收益率”。如果你持有欧元，你就可以赚取欧元的利息。

公式：
\( F_0 = S_0 e^{(r_d - r_f)T} \)
• \( r_d \)：本国无风险利率（例如美元）
• \( r_f \)：外国无风险利率（例如欧元）

注意：现货价格 \( S_0 \) 必须报价为“每单位外币兑换多少本币”（例如 1.10 美元兑 1 欧元）。

你知道吗？这种关系称为利率平价（Interest Rate Parity）。如果这个关系不存在，银行就可以在不同国家之间调度资金，并赚取源源不断的无风险利润！


6. 期货 vs. 远期：它们是一样的吗？

在 FRM 考试中，我们通常假设远期价格与期货价格相同。然而，理论上存在微小的差异。

由于期货是每日结算（Marked-to-market）的，现金流的时间点非常重要。如果利率与资产价格之间存在强烈的相关性，期货价格可能会与远期价格略有不同。

快速经验法则：
• 如果利率是固定的或可预测的：期货价格 = 远期价格。
• 对于大多数考试题目：除非题目特别询问关于利率相关性的问题，否则请将它们视为完全相同。


7. “持有成本（Cost of Carry）”总结

总结来说，我们使用一个称为持有成本（\( c \)）的概念来涵盖我们所学的所有公式。

通用公式：
\( F_0 = S_0 e^{cT} \)

• 对于无收益股票：\( c = r \)
• 对于股票指数：\( c = r - q \)
• 对于货币：\( c = r_d - r_f \)

重点总结：持有成本简单来说就是储存/融资资产的成本减去从资产中赚取的收益。


最后的鼓励

如果需要多读几遍这些公式，请不要担心。定价其实就是货币的“时间旅行”。只要问自己：“如果我晚点买而不是现在买，我可以省下多少利息，又会错失多少股利？” 一旦你掌握了这个逻辑，数学就会变得非常自然。你一定可以做到的！