Properties of Options

FRM Part I · FRM · 阅读约 4 分钟

欢迎来到期权属性的世界！

你好！今天我们将深入探讨“期权属性”（Properties of Options）。这一章是金融市场与产品（Financial Markets and Products）部分的基石。你可以把它想象成期权领域的“物理定律”。一旦你理解了这些规则——比如为什么认购期权（Call option）的价格不能低于某个水平，或者股价与行使价之间是如何互动的——你就会发现后面那些更复杂的公式其实很容易上手。别担心起初会有很多变量，我们会逐一为你拆解。

你知道吗？ 我们今天讨论的大多数“规则”都是基于套利（Arbitrage）原理。简单来说，如果这些规则被打破，交易员就能在零风险的情况下“无中生有”地获利。市场反应非常迅速，绝对不会让这种机会长期存在！

1. 影响期权价格的六大因素

在看公式之前，我们先来看看决定期权价格的“原材料”。主要有六大因素：

1. 股价 ($S_0$)： 当股价上涨时，认购期权（买入权利）变得更值钱，而认沽期权（卖出权利）则变得不那么值钱。
2. 行使价 ($K$)： 你需要支付来买入股票的价格（Call）越高，期权价值就越低。反之，你可以卖出股票的价格（Put）越高，期权价值就越高。
3. 到期时间 ($T$)： 一般来说，时间越长越好。这给了股价更多“波动空间”。这通常会提高认购期权和认沽期权的价格。
4. 波动率 ($\sigma$)： 这是“秘方”。期权非常喜欢波动率！因为你的下行风险仅限于支付的权利金，而上行空间却是无限的，所以更高的波动率意味着更大的获利机会。更高的波动率会增加认购和认沽期权的价格。
5. 无风险利率 ($r$)： 当利率上升时，认购期权价格倾向于上涨，而认沽期权价格则下降。可以这样想：买入认购期权就像是“预订”股票——你迟点才付款，所以节省了利息成本。
6. 股息 ($D$)： 当公司发放股息时，股价会下跌。这对认购期权不利，对认沽期权有利。

核心重点： 波动率是唯一一个让认购和认沽期权价格朝同一方向（上升！）变动的因素。

2. 期权价格的上下界

期权有其“边界”。如果价格超出这些界限，套利者就会出手。

上界 (Upper Bounds)

- 认购期权 (Calls)： 认购期权的价值绝不可能超过股票本身。为什么？因为其仅仅是一种买入股票的权利。你绝不会花 $ \$110 $ 去买一个价值仅为 $ \$100 $ 的东西的买入权。
公式： $ c \leq S_0 $ 与 $ C \leq S_0 $

- 认沽期权 (Puts)： 认沽期权的价值绝不可能超过行使价 ($K$)。认沽期权持有人最好的期望就是公司破产导致股价归零，从而让他们能以 $K$ 的价格卖掉一文不值的股票。
公式： $ p \leq Ke^{-rT} $ (欧式) 与 $ P \leq K $ (美式)

下界 (Lower Bounds - 欧式期权)

欧式认购期权的价值不能低于股价减去行使价的现值（或者零，取较高者）。
- 认购期权下界： $ c \geq \max(S_0 - Ke^{-rT}, 0) $
- 认沽期权下界： $ p \geq \max(Ke^{-rT} - S_0, 0) $

常见错误： 在处理欧式期权时忘记对行使价 ($K$) 进行折现。请记住，欧式期权只能在到期时行使，所以我们必须使用现值 ($e^{-rT}$)。

核心重点： 如果期权价格跌破这些下界，说明它“太便宜了”，你可以通过买入期权并同时做空/买入相关资产来进行无风险套利。

3. 认沽-认购平价公式 (Put-Call Parity - 适用于欧式期权)

这是 FRM 中最重要的概念之一！它展示了具有相同行使价和到期日的欧式认购期权与认沽期权之间的固定关系。

公式： $ c + Ke^{-rT} = p + S_0 $

等等，这意味着什么？
设想两个组合：
- 组合 A (信托认购 - Fiduciary Call)： 一份认购期权加上足够的现金，以便在到期时支付行使价。
- 组合 B (保护性认沽 - Protective Put)： 一份认沽期权加上一股股票。

在到期时，两个组合的价值将完全相同：要么是股价（如果股价较高），要么是行使价（如果股价较低）。既然它们最终的价值相同，它们今天的成本必然相等！

比喻： 如果两个不同的礼物盒里装着一模一样的 $ \$100 $ 玩具，无论包装如何，两个盒子都应该以相同的价格出售。

逐步技巧： 如果题目要求你找出“合成认购期权”(Synthetic Call)，只需简单变换公式： $ c = p + S_0 - Ke^{-rT} $。

核心重点： 认沽-认购平价只适用于欧式期权。对于美式期权，由于具备提前行使功能，我们使用的是不等式。

4. 提前行使：美式期权

美式期权赋予你随时行使的权利。但你应该这么做吗？大多数情况下，答案是“不”。

无派息股票的美式认购期权

如果股票不派息，你绝对不应该提前行使美式认购期权。为什么？因为行使期权意味着你放弃了期权的“时间价值”，并且比必要的时间更早支付了现金。将期权卖给别人永远比提前行使更划算。
规则： $ C = c $ (如果没有股息，美式认购期权价值等于欧式认购期权价值)。

美式认沽期权

与认购期权不同，提前行使美式认沽期权有时是最佳策略。如果一家公司濒临破产，股价接近零，那么股价下跌的空间已经所剩无几。通过现在行使，你可以立即获得现金 ($K$) 并开始赚取利息。
规则： $ P > p $ (美式认沽期权通常比欧式认沽期权更有价值)。

别担心这点会让你困惑： 记住一个简单原则：认购期权喜欢等待（让现金留在银行里赚利息）；认沽期权可能想要提前行使（把钱拿到手存进银行）。

核心重点： 股息是唯一让你可能提前行使美式认购期权的原因（为了在除息导致股价下跌前捕获股息）。

5. 股息的影响

股息就像是股价的“泄露点”。当支付股息时，股价大约会下跌相同的金额。这会影响我们的边界和认沽-认购平价公式。

我们将股息表示为期权存续期间内股息的现值 ($D$)。只需在公式中从股价中扣除这部分即可：

- 调整后的认购期权下界： $ c \geq S_0 - D - Ke^{-rT} $
- 调整后的认沽-认购平价： $ c + D + Ke^{-rT} = p + S_0 $

快速复习盒：
1. 波动率会增加所有期权的价格。
2. 认购期权上界： 股价。
3. 认沽期权上界： 行使价。
4. 认沽-认购平价： $ c + Ke^{-rT} = p + S_0 $。
5. 提前行使： 美式认购期权绝不提前行使（无股息时），但美式认沽期权有可能提前行使。

恭喜你！你已经掌握了期权的基本属性。这些概念是你整个 FRM 学习之旅中用来进行“逻辑检核”的关键。继续练习认沽-认购平价公式的变换，你一定能准备得非常充分！

快速检查

你现在能答出来吗？

展开每个问题，快速检查你是否掌握本章重点。

影响期权价格的主要因素有哪些？

主要有六大因素：股价 (①S_0②)、行使价 (①K②)、到期时间 (①T②)、波动率 (①\sigma②)、无风险利率 (①r②) 和股息 (①D②)。

①波动率②对认购期权和认沽期权价格的影响有何共同点？

波动率是唯一一个使认购期权和认沽期权价格朝同一方向（均增加）变动的因素。

期权价格的上界（Upper Bounds）是如何确定的？

认购期权不应超过股价 (①c \leq S_0②)；欧式认沽期权不应超过行使价的现值 (①p \leq Ke^{-rT}②)，美式认沽期权不应超过行使价 (①P \leq K②)。

欧式认购期权价格的下界（Lower Bound）公式是什么？

$ c \geq \max(S_0 - Ke^{-rT}, 0) $

什么是认沽-认购平价公式（Put-Call Parity）？

$ c + Ke^{-rT} = p + S_0 $

如何构建信托认购（Fiduciary Call）和保护性认沽（Protective Put）组合？

信托认购：一份认购期权 + 行使价的现值现金；保护性认沽：一份认沽期权 + 一股股票。

对于无派息股票的美式认购期权，是否应该提前行使？

不应该。在没有股息的情况下，美式认购期权的价值等于欧式认购期权 (①C = c②)，持有比提前行使更优。

为什么美式认沽期权（American Put）有时需要提前行使？

当股价极低或公司面临破产时，提前行使可以立即获得行使价现金并赚取利息，这比等待更有利。

在存在股息（Dividends）的情况下，认沽-认购平价公式如何调整？

$ c + D + Ke^{-rT} = p + S_0 $，其中 $ D $ 是期权有效期内预计支付股息的现值。

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