欢迎来到“方程与不等式”的世界！
你好！在这个章节中，我们将掌握寻找“未知数”的艺术。无论是找出两条路径相交的精确点，还是判断商业活动保持获利的数值范围，方程与不等式都是你不可或缺的工具。别担心过去的代数是否让你感到像“字母汤”一样混乱——我们会将其拆解为简单、合乎逻辑的步骤，让你轻松掌握。
先备知识检查：在深入探讨之前，请记住二次方程通常的形式是 \(ax^2 + bx + c = 0\)。当中的 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 只是数字，它们决定了曲线的形状和位置！
1. 根的“性质”：使用判别式
有时，我们不需要解出完整的方程，只需要知道它有多少个解（根）。为了做到这一点，我们使用一个称为判别式的“侦探工具”，符号记作 \(D\) 或 \(\Delta\)。
判别式的公式为：\(D = b^2 - 4ac\)
如何解读判别式：
- 两个相异实根：如果 \(b^2 - 4ac > 0\)，图形会穿过 x 轴于两个不同的点。
- 两个相等实根（或称重根）：如果 \(b^2 - 4ac = 0\)，图形正好触碰 x 轴于一点。就像皮球从地板弹起一样！
- 无实根：如果 \(b^2 - 4ac < 0\)，图形永远不会触碰 x 轴。它要么完全浮在 x 轴上方，要么完全沉在 x 轴下方。
快速复习箱：
2 个根 \(\rightarrow D > 0\)
1 个根 \(\rightarrow D = 0\)
无根 \(\rightarrow D < 0\)
常见错误：学生经常忘记“实根”（不带“相异”二字）意味着判别式可以大于零或等于零。因此，当提到“实根”时，请使用 \(b^2 - 4ac \geq 0\)。
2. 恒正或恒负的二次式
你有没有见过图形始终严格地位于 x 轴的某一侧？在 H1 数学中，我们称这些为定号二次式（definite quadratics）。
“恒正”的条件：
要使 \(ax^2 + bx + c\) 恒正（即对于所有 \(x\)，图形都在 x 轴上方）：
1. 图形必须是“开口向上”（U 型）：\(a > 0\)
2. 图形必须绝不触碰 x 轴：\(b^2 - 4ac < 0\)
“恒负”的条件：
要使 \(ax^2 + bx + c\) 恒负（即对于所有 \(x\)，图形都在 x 轴下方）：
1. 图形必须是“开口向下”（n 型）：\(a < 0\)
2. 图形必须绝不触碰 x 轴：\(b^2 - 4ac < 0\)
记忆小撇步：请注意，在这两种情况下，\(b^2 - 4ac\) 都必须小于零，因为图形是不允许触碰 x 轴的！
重点总结：如果一个二次式是“恒 [某状态]”，这意味着它没有实根，所以 \(D < 0\)。
3. 解联立方程
在本节中，我们要寻找直线与曲线（二次式）的交点。这里最可靠的方法是代入法。
逐步流程：
- 隔离：选取线性方程，将其中一个变量（\(x\) 或 \(y\)）变为主项。（例如：\(y = 2x + 3\)）。
- 代入：将这个表达式代入二次方程中。
- 简化：展开括号，并将所有项移到一边，整理成标准二次方程形式（\(ax^2 + bx + c = 0\)）。
- 求解：解出第一个变量的值。
- 寻找配对：将解出的值代回原本的线性方程，以求出另一个变量对应的值。
例子：如果你有 \(y = x + 1\) 和 \(x^2 + y^2 = 5\)，将第一个代入第二个：\(x^2 + (x+1)^2 = 5\)。现在它就是一个普通的二次方程了！
4. 解不等式
不等式就像方程，但我们寻找的不是单一点，而是一个范围或“区域”。
分析法（因式分解法）：
若要解 \(ax^2 + bx + c > 0\)：
1. 对二次式进行因式分解，找出临界值（即根）。
2. 画一个简单的草图。
3. 如果不等式是 \(> 0\)，寻找曲线在 x 轴上方的部分（“翅膀”）。
4. 如果不等式是 \(< 0\)，寻找曲线在 x 轴下方的部分（“山谷”）。
图解法：
如果你得到 \(y = f(x)\) 的图形并被要求解 \(f(x) \leq k\)：
1. 在 \(y = k\) 处画一条水平线。
2. 识别曲线低于或触碰该水平线的区域。
3. 写出这些区域对应的 \(x\) 值。
你知道吗？你可以使用图形计算器（GC）来解决这些问题！只需画出函数图形，并利用“零点”（Zero）或“交点”（Intersect）功能即可找到边界。
5. 建模：将文字转化为数学
在现实世界中，数学不会以整齐的方程呈现，而是以故事的形式出现。你的工作是将其公式化（formulate）。
类比：将其视为一种翻译。中文的“是”对应 \(=\)，“多于”对应 \(+\)，而“积”则对应乘法。
建模小撇步：
- 设定变量：清楚说明 \(x\) 和 \(y\) 代表什么（例如：“令 \(x\) 为售出的单位数量”）。
- 寻找总量：通常，一个方程会关于数量（总物品数），另一个则关于价值（总成本/利润）。
- 检查单位：确保所有数值单位一致（例如：不要混用角和元！）。
如果起初觉得困难也别担心！建模是一项透过练习不断进步的技能。从为文字题中的关键数字划线开始吧。
6. 使用图形计算器 (GC)
对于 H1 数学来说，GC 是你最好的朋友。当遇到不容易分解的复杂方程时，你应该使用 GC 来寻找近似解。
如何在 GC 上寻找解：
- 进入图形 (Graph) 模式，并在 \(Y1\) 输入你的方程。
- 按下 2nd + CALC（或 Casio 上的 G-Solv）。
- 选择 Zero 以找出图形与 x 轴的交点。
- 如果是在寻找两条线/曲线的交点，则选择 Intersect。
重点总结：请务必确保你的计算器显示设置（Window）正确，这样你才能真正看见交点发生的位置！
总结清单：
- 我可以使用 \(b^2 - 4ac\) 来找出根的数量吗？
- 我知道二次式“恒正”的条件吗？
- 我可以使用代入法解线性与二次联立方程吗？
- 我可以透过绘制草图来解不等式吗？
- 我知道如何使用 GC 找到交点吗？
你做得到的！持续练习这些代数步骤，很快这些规律就会成为你的本能。