相关概率简介

在之前的学习中，你可能主要集中在单一递减模型 (Single Decrement Model)——即“离开”某种状态的唯一途径是通过一个特定事件（通常是死亡）。然而，在现实世界中，受保人离开保险合约的原因有很多：他们可能会死亡、可能患上重疾，或者可能单纯地取消保单（失效/退保）。

本章将探讨我们如何为这些竞争风险 (competing risks) 建模。我们称这些为“相关”概率（或称依存概率），因为因某一原因离开的概率，取决于其他原因是否存在。如果你不幸去世，你就不再可能让保单失效！理解转移强度 (force of transition)（瞬时风险）与相关概率 (dependent probability)（一年内发生的概率）之间的数学联系，是本章的核心目标。

1. 多重递减模型

多重递减模型 (Multiple Decrement Model) 是多状态马尔可夫模型 (Multiple-State Markov Model) 的一个特例。一般的马尔可夫模型允许你在不同状态之间来回移动（例如从“健康”到“患病”，再回到“健康”），但递减模型是一条“单程路”。一旦个人通过某种递减方式离开了“活跃 (Active)”状态，他们就无法返回。

比喻：漏水的水桶
想象一个水桶底部有三个不同的洞。1 号洞是“死亡”，2 号洞是“疾病”，3 号洞是“退保”。水从 1 号洞流出的速度取决于该洞的大小，但最终从 1 号洞流出的总水量，会受到水从 2 号和 3 号洞流走的速度所限制。这些洞正在“竞争”桶里的水。

关键符号

  • \(x\)：个人的当前年龄。
  • \(j\)：递减的特定类型（例如 \(j=1\) 代表死亡，\(j=2\) 代表退保）。
  • \(\mu_{x+t}^j\)：在年龄 \(x+t\) 时，递减原因 \(j\) 的递减强度 (force of decrement)。这是“瞬时”风险。
  • \((aq)_x^j\)：在所有其他递减因素同时存在的情况下，个人在一年内因递减原因 \(j\) 离开状态的相关概率 (dependent probability)。
  • \(ap_x\)：个人在整年内保持在活跃状态的概率（在所有递减因素中生存）。

快速复习： \((aq)_x^j\) 中的 "a" 代表 "absolute"（绝对）或 "all-causes"（全因），表示我们是在一个所有退出原因同时运作的多重递减框架下进行运算。

2. 强度与概率之间的关系

要计算特定事件发生的概率，我们需要考虑两点：该人必须在时间 \(t\) 之前避过所有递减因素，然后在该瞬间通过递减原因 \(j\) 退出。

维持在活跃状态直到时间 \(t\) 的概率为：
\( {}_tp_x^{aa} = \exp\left( -\int_0^t \sum_k \mu_{x+s}^k ds \right) \)

在一年内因递减原因 \(j\) 离开的相关概率，是将“在时间 \(t\) 仍处于活跃状态的概率”乘以“该特定递减强度”后的积分：
\( (aq)_x^j = \int_0^1 {}_tp_x^{aa} \cdot \mu_{x+t}^j dt \ )

重点总结： 因任何原因离开的总概率，即是各个相关概率的总和： \) (aq)_x^{total} = \sum_j (aq)_x^j \)

3. 常数强度假设

在 IFoA CM1 课程大纲中，一个非常常见且重要的假设是转移强度在每一岁年龄区间内为常数。这意味着在 \(x\) 岁到 \(x+1\) 岁之间，随着 \(t\) 从 0 移动到 1，风险 \(\mu_{x+t}^j\) 保持不变。

假设总共有 \(m\) 种递减因素。如果对于 \(0 \le t < 1\)，\(\mu_{x+t}^j = \mu^j\)（常数）：

A. 从强度计算相关概率

如果我们已知常数强度 \(\mu^1, \mu^2, ..., \mu^m\)，则总强度为：
\( \mu^{total} = \mu^1 + \mu^2 + ... + \mu^m \)

一年内维持在活跃状态的概率为：
\( ap_x = e^{-\mu^{total}} \)

递减原因 \(j\) 的相关概率为：
\( (aq)_x^j = \frac{\mu^j}{\mu^{total}} (1 - e^{-\mu^{total}}) \)

如果觉得这看起来很复杂，别担心！ 只需记住括号部分 \((1 - e^{-\mu^{total}})\) 是因任何原因离开的概率。我们只是按“强度 \(j\)”占“总强度”的比例来分配这个概率。

B. 从相关概率计算强度

有时考试会给出概率 \((aq)_x^1, (aq)_x^2, ...\) 并要求计算强度。首先，找出维持在活跃状态的总概率：
\( ap_x = 1 - \sum (aq)_x^j \)

然后，总强度为：
\( \mu^{total} = -\ln(ap_x) \)

最后，我们找出递减原因 \(j\) 的个别强度：
\( \mu^j = \frac{(aq)_x^j}{\sum (aq)_x^k} \cdot \mu^{total} \)

常见错误： 忘记 \(\sum (aq)_x^k = 1 - ap_x\)。请务必检查你的“总离开概率”加上“维持现状概率”是否等于 1。

4. 逐步示范实例

问题： 某保险策略受两种递减因素影响：死亡 (\(j=1\)) 和退保 (\(j=2\))。在 40 至 41 岁之间，常数死亡强度为 \(0.02\)，常数退保强度为 \(0.08\)。计算一名 40 岁的保单持有人在一年内退保的概率。

第一步：确定各项强度。
\( \mu^1 = 0.02 \)
\( \mu^2 = 0.08 \)

第二步：计算总强度。
\( \mu^{total} = 0.02 + 0.08 = 0.10 \)

第三步：应用退保概率 \((aq)_{40}^2\) 的公式。
\( (aq)_{40}^2 = \frac{0.08}{0.10} (1 - e^{-0.10}) \)
\( (aq)_{40}^2 = 0.8 \cdot (1 - 0.90484) \)
\( (aq)_{40}^2 = 0.8 \cdot 0.09516 = 0.07613 \)

解读： 虽然退保的“瞬时”风险是 8%，但因为有些人在一年中途死亡了（递减因素 1），所以最终只有 7.613% 的人实际活得够久并触发了退保。

5. 为什么这很重要？

在精算建模中，我们使用这些概率来预测现金流。如果我们在计算身故给付的期望现值 (EPV)，我们必须使用死亡的相关概率。如果我们使用单一递减概率（忽略退保因素），我们就会高估预期支付的身故给付金额，因为我们忽略了许多人在死亡前就已经因取消保单而离开了受保群体。

重点笔记总结：
1. 当存在多种竞争方式离开某种状态时，使用多重递减模型。
2. 在常数强度假设下，特定退出方式的概率与其强度成正比。
3. 相关概率 \((aq)_x^j\) 永远会小于其强度 \(\mu^j\)（当 \(\mu\) 较小时），因为其他递减因素会“偷走”潜在的退出候选人。

准备好进行下一步了吗？ 这些逻辑是构建多重递减表 (Multiple Decrement Tables) 的基础，我们会利用这些概率来追踪一个假设的生命群体（通常由 \(l_x = 100,000\) 开始）。