欢迎来到死亡损益的世界！

在你的 CM1 学习之旅中，你已经学会了如何根据人们寿命的假设来计算保费和准备金。但如果我们的假设与现实不符，情况会怎样呢？这正是本章要探讨的内容！

我们将探讨人寿保险公司如何衡量投保人身故时所承担的“风险”，以及如何计算这些死亡事件带来的利润或亏损。如果一开始觉得这些概念有点抽象，请别担心——我们将其拆解为四个简单的概念：DSAR（风险死亡差额）、EDS（预期死亡差额）、ADS（实际死亡差额）以及死亡利润。

1. 风险死亡差额 (Death Strain at Risk, DSAR)

你可以把风险死亡差额 (DSAR) 想象成保险公司在投保人身故的瞬间所承受的“财务冲击”。

当投保人身故时，保险公司必须支付保额 (Sum Assured, S)。然而，公司并没有“损失”这全部金额，因为他们早已为该投保人积累了准备金 (Reserve)。DSAR 本质上就是赔付金额与公司已预留金额之间的差额。

公式：
对于处于 \((t+1)\) 年度的保单：
\(DSAR = S - {}_{t+1}V\)

其中：
\(S\) = 身故赔偿金。
\({}_{t+1}V\) = 年末持有的准备金（假设该人士生存）。

现实生活中的例子：
想象你在为一台价值 1,000 英镑的新笔记本电脑储蓄。你银行账户里已经存了 800 英镑。如果你的旧电脑今天坏了，你“必须”立刻购买新的，那么对你额外财务的“冲击”只有 200 英镑，因为你已经准备好了那 800 英镑。

快速复习：

• 如果赔偿金是在年末支付，DSAR 为 \(S - {}_{t+1}V\)。
• 如果赔偿金是在身故时立即支付，我们通常会调整公式以考虑利息，但核心概念不变：赔付金额减去准备金。

2. 预期死亡差额 (Expected Death Strain, EDS)

在年度开始前，精算师会检视所有投保人并询问：“根据我们的生命表，我们预计今年在死亡差额方面会赔付多少钱？”

这就是预期死亡差额 (EDS)。它是投保人死亡的概率乘以公司若该人士身故时所承受的“冲击”（即 DSAR）。

公式：
\(EDS = q_{x+t} \times DSAR\)
\(EDS = q_{x+t} \times (S - {}_{t+1}V)\)

核心概念：
EDS 就像是一份关于死亡的“预算”。我们知道无法精确预测谁会离世，但在数千张保单中，我们预期会有一个平均成本。

3. 实际死亡差额 (Actual Death Strain, ADS)

到了年底，精算师不再进行估算，而是查看实际数据。实际死亡差额 (ADS) 即是实际发生的情况。

如何计算：
• 如果投保人在年底时依然生存：\(ADS = 0\)
• 如果投保人在年度内身故：\(ADS = DSAR = S - {}_{t+1}V\)

对于一组 \(n\) 张相同的保单，总 ADS 就是实际死亡人数乘以单张保单的 DSAR。

你知道吗？
对于单一个人来说，ADS 要么是“全额冲击”，要么是“零”。只有当我们观察一大群人时，ADS 的数值才会变得平滑，从而能与 EDS 进行比较。

4. 死亡利润 (Mortality Profit / Surplus)

现在是最重要的部分：我们赚钱还是亏钱了？我们通过比较“预算”(EDS) 和“实际成本”(ADS) 来计算死亡利润（也称为死亡盈余）。

公式：
\(Mortality Profit = EDS - ADS\)

理解结果：
• 正数：代表有利润。这发生在 \(EDS > ADS\) 时（实际死亡人数少于预期）。
• 负数：代表有亏损。这发生在 \(ADS > EDS\) 时（实际死亡人数多于预期）。

记忆小撇步：“E 在 A 前”
为了记住顺序，可以参考字母表。Expected（预期）排在 Actual（实际）前面。如果你的“预期”资金多于“实际”成本，你就赚钱了！

避免常见错误：

学生经常混淆死亡利润与总利润。死亡利润仅反映由“死亡率”引起的差额，它忽略了利率或费用的变动。处理这些问题时，请务必专注于 DSAR！

5. 逐步教学：计算群体的死亡利润

如果你遇到有关一群投保人的题目，请按照以下步骤操作：

1. 计算准备金：求出单张保单的 \({}_{t+1}V\)。
2. 计算 DSAR：从保额中减去准备金 (\(S - {}_{t+1}V\))。
3. 计算总 EDS：将 DSAR 乘以预期死亡人数（保单数量 \(\times q_{x+t} \times DSAR\)）。
4. 计算总 ADS：将 DSAR 乘以“实际”发生的死亡人数。
5. 相减：\(总 EDS - 总 ADS = 总死亡利润\)。

总结表

DSAR：即“缺口” (\(S - V\))
EDS：即“假设” (\(q \times DSAR\))
ADS：即“现实” (实际死亡人数 \(\times DSAR\))
死亡利润：预期减去实际 (\(EDS - ADS\))

鼓励一下：你做得到的！死亡利润只是我们检视工作成果的一种方式。只要你会计算准备金，并且知道 \(q_x\) 的数值，你已经成功了 90%！