欢迎学习随时间变化的利息力（Force of Interest Varying with Time）

在先前的学习中，你可能大多接触固定利率或固定利息力（force of interest）\( \delta \)。这种设定虽然简单直接，但在现实金融世界中，利率会受通胀预期、经济周期和央行政策影响而随时波动。这意味着瞬时回报率——亦即利息力——往往取决于时间，通常表示为时间的函数 \( \delta(t) \)。

若你平时对微积分有些畏惧，千万别担心！在这一章中，我们会循序渐进地拆解，教你如何从随时间变化的利息力 \( \delta(t) \) 推导出实用的积累因子（accumulation factors）、折现因子（discount factors）以及等价的年实际利率（equivalent annual effective interest rates）。

课程范围快速对照： 本章属于 CM1 课题中的利息理论（Theory of interest rates）。我们将重点探讨当利息力随时间变化时，积累与折现的运作原理，以及如何求出该积累过程所隐含的等价年实际利率。

1. 什么是作为时间函数的利息力？

我们先来重温核心的直观概念。在时间 \( t \) 的利息力，记作 \( \delta(t) \)，用以衡量在时间 \( t \) 附近的无穷小瞬时区间内，持续运作的单位时间名义增长率。

微分关系

假设你投入了一笔初始本金。设 \( A(t) \) 代表此项投资在时间 \( t \) 的积累值。在极微小的时间间隔 \( dt \) 内，基金价值的增长与以下三项成正比：

1. 截至当时已积累的基金规模，\( A(t) \)
2. 所经过的时间长度，\( dt \)
3. 该特定瞬间运作的瞬时增长率，\( \delta(t) \)

用数学形式表达：

\( dA(t) = A(t) \cdot \delta(t) \, dt \)

将上式移项，即可得出变动利息力的正式定义：

\( \delta(t) = \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \)

生活化比喻： 可以将 \( A(t) \) 想象为汽车上的里程表，显示行驶的总距离；而 \( \delta(t) \) 则是车辆在时间 \( t \) 的速度表读数。如果车速在整个行程中不断改变，你绝不能单纯用单一行车速度乘以总时间来计算路程；相反，你必须对速度函数进行时间积分，才能算出到底走了多远！

2. 变动利息力下的积累因子

我们将由时间 \( t_1 \) 至时间 \( t_2 \)（其中 \( t_1 \le t_2 \)）的积累因子记作 \( A(t_1, t_2) \)。这个因子表示在时间 \( t_1 \) 投资的 1 个单位金额，增长至时间 \( t_2 \) 时的价值。

公式推导

从刚才的微分方程出发：

\( \frac{d}{dt}\ln[A(t)] = \delta(t) \)

在积分上下限 \( t_1 \) 和 \( t_2 \) 之间，对两边关于 \( t \) 进行定积分：

\( \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)

\( \ln[A(t_2)] - \ln[A(t_1)] = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)

\( \ln\left( \frac{A(t_2)}{A(t_1)} \right) = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)

两边取指数函数（\( e \) 的次方），即可得出积累的黄金法则：

\( A(t_1, t_2) = \frac{A(t_2)}{A(t_1)} = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

当计算由时间 0 到时间 \( t \) 的积累时，我们写作：

\( A(0, t) = \exp\left( \int_0^t \delta(s) \, ds \right) \)

核心要点： 每当要在变动利息力下将资金向前积累，你只需在相应的时间区间内对利息力进行积分，然后将 \( e \) 取该积分值的次方即可。

3. 变动利息力下的折现因子

折现正好是积累的逆运算。由时间 \( t_2 \) 折现回时间 \( t_1 \)（其中 \( t_1 \le t_2 \)）的折现因子记作 \( v(t_1, t_2) \)，代表在时间 \( t_2 \) 应支付的 1 个单位金额在时间 \( t_1 \) 的现值。

因为折现正好抵消积累：

\( v(t_1, t_2) = \frac{1}{A(t_1, t_2)} = \exp\left( -\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

当从时间 \( t \) 折现回时间 0 时，此因子通常简写为 \( v(t) \)：

\( v(t) = \exp\left( -\int_0^t \delta(s) \, ds \right) \)

记忆法宝： 积累往上增（正次方：\( + \int \delta \)），折现往下减（负次方：\( - \int \delta \)）。

4. 考试中常见的两种 \( \delta(t) \) 形式

在 CM1 考试题目中，\( \delta(t) \) 通常以以下两种形式之一出现：

1. 分段常数函数（阶梯函数，piecewise constant / step function）
2. 关于 \( t \) 的平滑连续数学函数（例如线性、多项式或指数函数）

情况 A：分段常数函数（阶梯函数）

假设利息力在特定时间区间内为常数：

\( \delta(t) = \delta_1 \) 当 \( 0 \le t \le t_1 \)
\( \delta(t) = \delta_2 \) 当 \( t_1 < t \le t_2 \)

由 \( 0 \) 到 \( t_2 \) 的积累可以干净利落地拆分为各区间相乘的各项：

\( A(0, t_2) = \exp\left( \int_0^{t_1} \delta_1 \, dt + \int_{t_1}^{t_2} \delta_2 \, dt \right) = \exp(\delta_1 t_1) \cdot \exp(\delta_2 (t_2 - t_1)) \)

情况 B：关于 \( t \) 的平滑连续函数

此时 \( \delta(t) \) 会以特定代数式给出，例如 \( \delta(t) = a + b t \) 或 \( \delta(t) = a + b t^2 \)。求解步骤如下：

步骤 1： 列出定积分式 \( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)。
步骤 2： 运用基本微积分法则，仔细计算定积分的值。
步骤 3： 若求积累值，将结果代入 \( \exp(\dots) \)；若求折现值，则代入 \( \exp(-\dots) \)。

5. 逐步解题范例

计算范例 1：连续时间函数

题目： 在时间 \( t \)（以年为单位）的利息力为：

\( \delta(t) = 0.03 + 0.008 t \quad \text{适用于 } t \ge 0 \)

试计算：
(a) 于时间 \( t = 0 \) 投资的 £2,000 在时间 \( t = 5 \) 的积累值。
(b) 于时间 \( t = 6 \) 到期应付的 £5,000 在时间 \( t = 2 \) 的现值。

题解：

(a) 部分： 将 £2,000 由 \( t = 0 \) 积累至 \( t = 5 \)。
首先，计算 \( \delta(t) \) 在 \( 0 \) 至 \( 5 \) 区间的定积分：

\( \int_0^5 (0.03 + 0.008t) \, dt = \left[ 0.03t + 0.004t^2 \right]_0^5 \)

\( = (0.03 \times 5 + 0.004 \times 5^2) - 0 = 0.15 + 0.10 = 0.25 \)

接着，计算积累因子：

\( A(0, 5) = \exp(0.25) \approx 1.284025 \)

因此，£2,000 的积累值为：

\( 2{,}000 \times A(0, 5) = 2{,}000 \times 1.284025 = £2{,}568.05 \)

(b) 部分： 将 £5,000 由 \( t = 6 \) 折现回 \( t = 2 \)。
首先，计算 \( \delta(t) \) 在积分限 \( 2 \) 至 \( 6 \) 之间的定积分：

\( \int_2^6 (0.03 + 0.008t) \, dt = \left[ 0.03t + 0.004t^2 \right]_2^6 \)

\( = (0.03 \times 6 + 0.004 \times 36) - (0.03 \times 2 + 0.004 \times 4) \)

\( = (0.18 + 0.144) - (0.06 + 0.016) = 0.324 - 0.076 = 0.248 \)

由于我们要求现值，需要套用折现因子：

\( v(2, 6) = \exp(-0.248) \approx 0.780362 \)

在时间 \( t = 2 \) 的现值为：

\( 5{,}000 \times v(2, 6) = 5{,}000 \times 0.780362 = £3{,}901.81 \)

计算范例 2：分段定义的利息力

题目： 某投资者在时间 \( t = 0 \) 将 £10,000 存入基金。利息力定义如下：

\( \delta(t) = \begin{cases} 0.04 & 0 \le t \le 3 \\ 0.01 + 0.01t & 3 < t \le 7 \end{cases} \)

求该投资在时间 \( t = 7 \) 的价值。

题解：
我们需要求出积累因子 \( A(0, 7) \)。因为 \( \delta(t) \) 的定义在 \( t = 3 \) 时发生改变，我们将积分分为两部分计算：

\( \int_0^7 \delta(t) \, dt = \int_0^3 0.04 \, dt + \int_3^7 (0.01 + 0.01t) \, dt \)

计算第一个区间：

\( \int_0^3 0.04 \, dt = [0.04t]_0^3 = 0.12 \)

计算第二个区间：

\( \int_3^7 (0.01 + 0.01t) \, dt = \left[ 0.01t + 0.005t^2 \right]_3^7 \)

\( = (0.01 \times 7 + 0.005 \times 49) - (0.01 \times 3 + 0.005 \times 9) \)

\( = (0.07 + 0.245) - (0.03 + 0.045) = 0.315 - 0.075 = 0.240 \)

将两段积分相加：

\( \int_0^7 \delta(t) \, dt = 0.12 + 0.24 = 0.36 \)

因此，整体积累因子为：

\( A(0, 7) = \exp(0.36) \approx 1.433329 \)

在时间 7 的积累金额为：

\( 10{,}000 \times 1.433329 = £14{,}333.29 \)

6. 等价年实际利率（Equivalent Annual Effective Rate of Interest）

在 CM1 考试目标 1.1 中，考生被明确要求计算：

“在利息力为时间函数的一段时期内，积累所隐含的等价年利率。”

这是什么意思？

假设一笔投资在变动利息力 \( \delta(t) \) 下，由时间 \( t_1 \) 积累至时间 \( t_2 \)（总期数为 \( n = t_2 - t_1 \) 年）。
等价常数年实际利率（记作 \( i \)），是指若采用单一固定不变的实际年利率，在完全相同的 \( n \) 年期内能产生完全相同总积累额的利率。

计算公式

在固定年实际利率 \( i \) 下，投资 1 个单位金额 \( n \) 年后会增长至 \( (1 + i)^n \)。
在变动利息力下，1 个单位金额会增长至 \( \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)。

将两者等同：

\( (1 + i)^n = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

解出 \( i \)：

\( 1 + i = \left[ \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \right]^{\frac{1}{n}} = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

\( i = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) - 1 \)

你有发现吗？ 算式中的 \( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \) 其实就是该期间内的平均利息力，通常记作 \( \bar{\delta} \)。因此：

\( 1 + i = \exp(\bar{\delta}) \implies i = e^{\bar{\delta}} - 1 \)

这提供了一个直观的速算技巧：只要找出该时段内的平均利息力，再将这个平均利息力转换成实际利率即可！

计算范例 3：等价年实际利率

题目： 沿用计算范例 1 的利息力条件，即 \( \delta(t) = 0.03 + 0.008t \)：
试求由 \( t = 0 \) 至 \( t = 5 \) 这 5 年期间内的等价年实际利率。

题解：
从计算范例 1 中，我们已知 5 年期间的积累因子为：

\( A(0, 5) = \exp\left( \int_0^5 \delta(t) \, dt \right) = \exp(0.25) \approx 1.284025 \)

这里的年期为 \( n = 5 \) 年。我们建立等价方程式：

\( (1 + i)^5 = 1.284025 \)

两边开 5 次方：

\( 1 + i = (1.284025)^{1/5} = (e^{0.25})^{0.2} = e^{0.05} \approx 1.051271 \)

\( i = 1.051271 - 1 = 0.051271 \text{ 或 } 5.127\% \)

合理性检查（Sanity check）： 该时期的平均利息力为 \( \bar{\delta} = \frac{0.25}{5} = 0.05 \)。对应的等价实际利率为 \( e^{0.05} - 1 = 5.127\% \)。在利率为正数的情况下，实际利率必定略高于其连续利息力，因此 \( 5.127\% > 5\% \) 完全符合逻辑！

6. 计算变动利息力下的一般现金流现值

只要掌握了计算 \( v(t) \) 的方法，求出变动利息力下任何现金流的现值，就是直接应用标准折现原理：

• 离散现金流（Discrete cashflows）： 对于在时间 \( t_k \) 发生的离散款项 \( C_k \)，在时间 0 的现值为：

\( \text{PV} = \sum_k C_k \cdot v(t_k) = \sum_k C_k \cdot \exp\left( -\int_0^{t_k} \delta(t) \, dt \right) \)

• 连续现金流（Continuous cashflows）： 对于在时间 \( a \) 至 \( b \) 之间以速率 \( \rho(t) \) 支付的连续现金流，其现值为：

\( \text{PV} = \int_a^b \rho(t) \cdot v(t) \, dt = \int_a^b \rho(t) \cdot \exp\left( -\int_0^t \delta(s) \, ds \right) dt \)

（关于可变连续现金流的详细积分运算，我们会在“现金流流动物（Cashflow Streams）”章节进一步深入探讨。）

7. 应试常见陷阱及注意事项

考官经常在 Paper A 和 Paper B 中考核这个课题。请特别提防以下常见错误：

• 积分时搞错上下限： 当计算 \( t_1 \) 到 \( t_2 \) 之间的积累时，切记积分区间必须是从 \( t_1 \) 到 \( t_2 \)，而不是从 0 到 \( t_2 - t_1 \)，除非 \( \delta(t) \) 纯粹是经过时间的函数而非日历时间的函数。

• 指数上的正负号混淆： 谨记折现必须使用负次方：\( \exp\left(-\int \delta \, dt\right) \)，正次方则代表向前积累。

• 混淆年实际利率 \( i \) 与利息力 \( \delta \)： \( 1 + i = \exp(\bar{\delta}) \)，换言之 \( i = e^{\bar{\delta}} - 1 \)，千万不要直接写 \( i = \bar{\delta} \)。

• 微积分运算失误： 对 \( t \) 的幂次进行积分时，别忘了除以新的指数：\( \int b t \, dt = \frac{b t^2}{2} \)。在考试压力下，不少考生往往因为这种简单的算术疏忽而痛失分数！

8. 重要公式总结

复习时请务必熟记以下核心公式：

• 利息力的定义：\( \delta(t) = \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \)

• 积累因子：\( A(t_1, t_2) = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

• 折现因子：\( v(t_1, t_2) = \exp\left( -\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

• \( n \) 年期内的等价年实际利率：\( i = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) - 1 = e^{\bar{\delta}} - 1 \)