简介：结合生命与时间

欢迎来到这一章：同时取决于固定期限及年龄的联生函数。到目前为止，在你的 CM1 学习旅程中，你已经学过如何为单个人的合同估值，以及如何为取决于两人存续情况的合同（联生 Joint Life 和最后生存者 Last Survivor）进行估值。

在现实世界中，许多保险产品的保障期并非“永久”或直至死亡，它们通常设有固定期限 (fixed term)。例如，一对夫妇可能想要一份只持续到他们 25 年抵押贷款还清为止的寿险保单。又或者，一份养老金可能保证至少发放 10 年，无论被保险人何时去世。本章将教你如何在数学上将两个人的死亡率与固定时间跨度 \(n\) 结合起来。

你知道吗？这些函数是构建复杂产品（如联生抵押贷款保险和家庭收入福利）的“核心基石”。掌握这些概念将使 CM1 中“定价与准备金 (Pricing and Reserving)”的部分变得轻松得多！


1. 设有固定期限的“联生”状态

回想一下，联生状态 (Joint Life Status)（记作 \(xy\)）仅在两个人都生存时才存在。如果我们加入固定期限 \(n\)，我们就创造了一种在以下三个事件中最先发生者出现时即告终止的状态：
1. 被保险人 \(x\) 去世。
2. 被保险人 \(y\) 去世。
3. 期限 \(n\) 届满。

我们将这种组合状态记为 \(xy:\overline{n|}\)。你可以将这想象成一场三方竞赛，只要其中任何一方（包括在第 \(n\) 年出现的“时间”因素）跨过终点线，比赛就会结束。

联生定期年金 (Joint Life Temporary Annuity)

只要 \(xy:\overline{n|}\) 状态持续，定期年金就会支付保险金。换句话说，只要两人都生存就会付款，但支付期不超过 \(n\) 年。

公式：
\(a_{xy:\overline{n|}} = \sum_{t=1}^{n} v^t \cdot {}_t p_{xy}\)
（假设为期末付。如果是期初付，则使用 \(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\) 并将求和范围定为从 \(t=0\) 到 \(n-1\)）。

重要关系：
记住 \({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\)（假设两人的生命是独立的）。因此，状态存续的概率简单来说就是两个人各自生存概率的乘积。

联生两全保险 (Joint Life Endowment Assurance)

两人的两全保险会在首名被保险人去世当年的年末支付赔偿，或者如果两人都生存，则在第 \(n\) 年年末支付。

逻辑：
\(A_{xy:\overline{n|}} = A_{xy:\overline{n|}}^1 + A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\)
其中：
• \(A_{xy:\overline{n|}}^1\) 是定期寿险 (Term Assurance) 部分（如果在 \(n\) 年内发生首名被保险人死亡则赔付）。
• \(A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\) 是纯生存保险 (Pure Endowment) 部分（如果 \(n\) 年后两人依然生存则赔付）。这等于 \(v^n \cdot {}_n p_{xy}\)。

重点总结： 带有期限 \(n\) 的联生状态表现得与带有期限 \(n\) 的单人寿险状态完全一样，只需将单人生存概率 \({}_t p_x\) 替换为联生生存概率 \({}_t p_{xy}\) 即可。


2. 设有固定期限的“最后生存者”状态

最后生存者状态 (Last Survivor Status)（记作 \(\overline{xy}\)）只要至少有一人生存就一直存在。当我们加入固定期限 \(n\) 时，状态 \(\overline{xy}:\overline{n|}\) 会在最后一名生存者去世或期限 \(n\) 届满时结束。

这在最后生存者定期年金中非常常见。只要至少有一人活着，年金就会持续发放，但无论如何都会在 \(n\) 年后停止。

“Z-方法”（容斥原理 Inclusion-Exclusion）

在处理最后生存者函数和固定期限时，最简单的解题方法是使用容斥原理。对于任何函数（我们称之为 \(f\)），其关系式为：
\(f_{\overline{xy}:\overline{n|}} = f_{x:\overline{n|}} + f_{y:\overline{n|}} - f_{xy:\overline{n|}}\)

例子：最后生存者定期年金
\(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}} = \ddot{a}_{x:\overline{n|}} + \ddot{a}_{y:\overline{n|}} - \ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\)

为什么这可行？
想象要向两个人支付保险金。如果我们向 \(x\) 支付一份保险金（为期 \(n\) 年），并向 \(y\) 支付一份（为期 \(n\) 年），那么在他们两人都生存的期间，我们就支付了“双倍”。通过减去联生年金 (\(xy:\overline{n|}\))，我们去除了那部分双倍支付，从而实现只要其中一人生存就刚好支付一份保险金。

如果起初觉得这有点难，不用担心！ 只要记住：最后生存者 = 个人 1 + 个人 2 - 两人联生。这条规则适用于保险、年金和概率计算。


3. 取决于固定期限的函数：特殊情况

课程大纲特别提到取决于固定期限的函数是一个扩展部分。两个非常常见的“考试型”应用是涉及两人的保证年金 (Guaranteed Annuities) 和递延利益 (Deferred Benefits)。

两人的保证年金

一种常见的合同是年金支付期取决于固定期限 \(n\) 与生存者寿命之中的较长者。这通常写作 \(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}\)，但在不同的语境下：状态肯定会存在满 \(n\) 年，再加上 \(x\) 或 \(y\) 额外生存的时间。

带有 \(n\) 年保证期的 \(\ddot{a}_{\overline{xy}}\) 逐步逻辑：
1. 计算确定部分：\(\ddot{a}_{\overline{n|}}\)（这是一个标准的金融确定年金）。
2. 加上“或有 (contingent)”部分：如果有人在 \(n\) 年后仍然生存，则继续支付。
3. 表达式为：\(\ddot{a}_{\overline{n|}} + v^n \cdot {}_n p_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+n:y+n}}\)
（或者更简单地写成：\(\ddot{a}_{\overline{n|}} + {}_n|\ddot{a}_{\overline{xy}}\)）。

递延联生利益

递延年金 \({}_n|\ddot{a}_{xy}\) 的意思是：“等待 \(n\) 年。如果届时两人都生存，则开始支付联生年金。”

公式：
\({}_n|\ddot{a}_{xy} = v^n \cdot {}_n p_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+n:y+n}\)

要避免的常见错误：
留意概率！对于递延联生年金，两个人都必须在递延期结束时生存。而对于递延最后生存者年金，则只需一个人生存即可。


4. 核心公式总结

以下是本章最重要关系的快速复习：

1. 概率关系：
如果 \(t \le n\) 且有人生存，则 \({}_t p_{\overline{xy}:\overline{n|}}\) 为 1。通常我们观察状态的存续情况。联生状态 \(xy:\overline{n|}\) 在时间 \(t\) 仍然有效的概率为：
• 若 \(t < n\)，为 \({}_t p_{xy}\)
• 若 \(t \ge n\)，为 \(0\)

2. 年金关系：
\(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}} = \ddot{a}_{xy} - {}_n|\ddot{a}_{xy}\)
（定期年金等于终身年金减去我们不需要的递延部分）。

3. 最后生存者 “Z” 规则：
当涉及固定期限 \(n\) 时，始终使用 \(\text{最后生存者} = X + Y - \text{联生}\)，以保持计算清晰。


5. 考试实战小贴士

贴士 1：仔细阅读时间点！
赔付是在首名死亡还是第二名死亡时发生？是否有固定期限？利用符号来引导你。如果你看到年龄上方有一横线（\(\overline{xy}\)），那就是最后生存者。如果在状态上方有一个 "1"（例如 \(A_{xy:\overline{n|}}^1\)），则仅在该特定状态“先死亡”时才赔付。

贴士 2：Excel (Paper B) 效率
在 CM1B 中，你经常需要建立 \({}_t p_x\) 和 \({}_t p_y\) 的表格。要得到联生版本，只需建立一栏将两者相乘：\({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\)。要得到定期版本，只需在第 \(n\) 行停止求和即可。

贴士 3：“至少一人”逻辑
如果题目要求“在 \(n\) 年后至少有一人生存”的概率，那简单来说就是 \({}_n p_{\overline{xy}} = {}_n p_x + {}_n p_y - {}_n p_x \cdot {}_n p_y\)。或者更简单：\(1 - (1 - {}_n p_x)(1 - {}_n p_y)\)，即 \(1 - (\text{两人都死亡的概率})\)。


重点总结： 在双人生命函数中加入固定期限 \(n\)，并不会改变精算数学的底层逻辑。这仅仅意味着我们的求和与积分现在有了上限 \(n\)，而不是 \(\infty\)。对最后生存者使用容斥原理，并时刻检查合同是“联生”（首名死亡即结束）还是“最后生存者”（第二名死亡才结束）。