连续分布简介

欢迎来到 CS1 旅程中最重要的章节之一！在上一章，我们探讨了离散分布（Discrete Distributions）——即我们用来“计数”的情况（例如索赔次数）。现在，我们进入连续（Continuous）的世界，这里我们主要是进行“测量”。想象一下下一次交通事故发生的确切时间，或是某宗保险索赔的具体金额。由于这些数值可以是任何数字（例如 124.50 或 124.5023...），我们便使用连续分布来为它们建模。

如果起初觉得有点难，请不用担心！虽然数学上涉及一些微积分，但核心概念其实很简单：我们是在观察数据在某个区间内的“形状”。读完这篇笔记后，你将会熟悉用来预测未来的精算分布“工具箱”。

注：关于如何计算矩（Moments）或使用生成函数（Generating functions），请参阅“矩与累积量生成函数”章节。关于产生这些变量的“逆变换采样法”（Inverse transform method），请参阅“泊松过程与模拟”章节。

1. 核心基础：PDF 与 CDF

在连续的世界中，随机变量 \(X\) 精确地等于某个特定数值的概率永远为零：\(P(X = x) = 0\)。相反地，我们讨论的是 \(X\) 落在某个范围内的概率。

  • 概率密度函数 (PDF), \(f(x)\)： 这代表曲线的“高度”。曲线下的总面积必须等于 1。
  • 累积分布函数 (CDF), \(F(x)\)： 这是 \(X\) 小于或等于某个数值 \(x\) 的概率。数学表达式为：\(F(x) = P(X \le x)\)。

小贴士：要找出两点 \(a\) 与 \(b\) 之间的概率，你只需计算 \(F(b) - F(a)\) 即可。

2. 均匀分布 (Uniform Distribution)

均匀分布是最简单的连续分布。它假设在范围 \([a, b]\) 内，所有长度相同的区间出现的机会均等。想象一个完美的平衡转盘；指针停在 0.1 的机会与停在 0.9 的机会是完全一样的。

\(X \sim U(a, b)\) 的关键性质：

  • PDF： 对于 \(a \le x \le b\)，\(f(x) = \frac{1}{b-a}\)。
  • 期望 (Mean)： \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)（正好在正中间！）。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)。

3. 指数分布 (Exponential Distribution)

指数分布是关于“等待时间”的分布。精算师常用它来模拟独立事件之间的时间间隔，例如客户服务中心接到两通电话之间的时间。

\(X \sim Exp(\lambda)\) 的关键性质：

  • PDF： 对于 \(x > 0\)，\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)。
  • CDF： \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)。
  • 期望 (Mean)： \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)。

你知道吗？ 指数分布具有“无记忆性”（Memoryless）。这意味着如果你已经等了 10 分钟索赔才到，那么再等 5 分钟的概率，与你刚刚才开始等候时的概率是完全一样的！（注：这是连续分布中唯一的特性）。

4. 正态分布 (Normal Distribution)

正态分布（或称“钟形曲线”）是统计学中最著名的分布。它是对称的，并由其期望 (\(\mu\)) 和方差 (\(\sigma^2\)) 定义。

\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 的关键性质：

  • 期望 (Mean)： \(E(X) = \mu\)。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \sigma^2\)。
  • 标准化 (Standardization)： 我们经常使用以下公式将 \(X\) 转换为标准正态变量 \(Z \sim N(0, 1)\)：\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)。

常见错误： 使用公式 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) 时，请记住 \(\sigma\) 是标准差（方差的平方根）。同学经常忘记开方！

5. 对数正态分布 (Lognormal Distribution)

如果一个变量的自然对数服从正态分布，那么该变量本身就是对数正态。这在保险业中非常受欢迎，用于模拟索赔金额的大小，因为它是“偏斜”（Skewed）的——这意味着它有一条向右伸展的长尾巴，代表那些罕见但极其昂贵的索赔。

定义： 如果 \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\)，那么 \(X = e^Y\) 就是对数正态分布。

6. 伽玛分布 (Gamma Distribution)

伽玛分布比指数分布更具灵活性。指数分布模拟的是直到第一个事件发生的时间，而伽玛分布则可以模拟直到第 \(n\) 个事件发生的时间。

参数： 它通常具有形状参数 (\(\alpha\)) 和率参数 (\(\lambda\))。

  • 期望 (Mean)： \(E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}\)。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\)。

注：如果 \(\alpha = 1\)，伽玛分布实际上就是指数分布！

7. 贝塔分布 (Beta Distribution)

贝塔分布非常独特，因为它定义在固定区间内，通常是 \([0, 1]\)。这使它非常适合用来模拟比例或百分比，例如某份特定再保险合约所承担的损失百分比。

8. 用于统计推断的分布

以下三种分布主要用于对数据进行“检验”。你将在教学大纲的统计推断（Statistical Inference）部分更频繁地看到它们。

  • 卡方分布 (\(\chi^2\))： 伽玛分布的一个特例。它用于检验模型与数据的拟合程度（拟合优度检验）。
  • t-分布： 看起来像正态分布，但拥有“更厚实的尾部”（Fatter tails）。当样本量较小且不知道真实总体方差时，我们会使用它。
  • F-分布： 主要用于比较两个不同的方差，以查看它们是否存在显著差异。

9. 计算分位数与概率

在 CS1 考试中，你需要找出概率（例如 \(P(X < 10)\)）或分位数（Quantiles，即满足 \(P(X < x) = 0.95\) 的 \(x\) 值）。

Paper A（笔试/查表）

在 Paper A 中，你经常会用到 Formulae and Tables（黄表）。对于正态分布，你会查阅“Phi”函数 \(\Phi(z)\) 来找出概率。至于其他分布，你可能需要直接使用 CDF 公式。

Paper B（使用 R 语言）

在以 R 为基础的考试 (CS1B) 中，你会使用标准函数。每个分布都有一个前缀：

  • p 代表概率 (CDF)：例如 pnorm(x, mean, sd)
  • q 代表分位数 (Quantile)：例如 qexp(0.95, rate)
  • r 代表产生随机样本 (Random samples)：例如 rgamma(100, shape, rate)

重点回顾

  • 连续变量是用来测量的，而不是计数的。
  • 正态分布是我们的对称基准。
  • 对数正态与伽玛分布对于模拟“偏斜”的保险索赔数据至关重要。
  • 指数分布是处理等待时间的首选，并具有独特的无记忆性。
  • 分位数与概率可以在 Paper A 中通过查表或在 Paper B 中通过 R 函数找到。

做得好！你刚刚已经掌握了连续概率中的核心“角色”。请继续练习这些分布之间的联系，因为它们构成了精算统计学中几乎所有内容的基础。