简介：构建广义线性模型 (GLM)

在我们之前学习简单和多元线性回归时，我们假设响应变量服从正态分布 (Normal distribution)，且平均响应值是解释变量的直接线性组合。然而，在保险精算的现实世界中，数据很少会如此“听话”。我们经常要处理索赔次数（不能为负数）或索赔概率（必须介于 0 与 1 之间）。

这正是广义线性模型 (GLM) 大显身手的地方！在本章中，我们将学习 GLM 的“引擎”：线性预测项 (linear predictor)，以及连接它与数据的“桥梁”：链接函数 (link function)。我们还会探讨如何处理不同类型的数据，例如类别（因子/因子）以及变量之间互相影响的情况。如果起初觉得这些概念很抽象，请不用担心；只要看清了它的结构，一切就像拼图一样自然衔接起来！

1. 线性预测项 \(\eta\)

线性预测项通常用希腊字母 eta \(\eta\) 表示，是模型中捕捉解释变量影响的部分。它是未知参数 (\(\beta\)) 与观测变量的线性组合。

对于一组解释变量 \(x_1, x_2, ..., x_k\)，第 \(i\) 个观测值的线性预测项写作：

\(\eta_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + ... + \beta_k x_{ik}\)

线性预测项的形式

线性预测项非常灵活。根据问题的不同，它可以有几种形式：

  • 简单线性模型： \(\eta = \beta_0 + \beta_1 x\) （直线关系）。
  • 多项式模型： \(\eta = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2\) （用于关系呈曲线的情况，但在参数 \(\beta\) 方面它仍是“线性”的）。
  • 包含因子的模型： 如果我们观察不同的组别（例如“吸烟者”与“非吸烟者”），预测项会根据观测值所属的组别而改变。

重点归纳： 尽管变量与响应值之间的关系可能是曲线（如多项式），但该模型仍被称为“线性”，因为它是参数 (\(\beta_i\)) 的线性总和。

2. 链接函数 \(g(\mu)\)

在标准线性模型中，我们假设平均响应值 \(\mu = E[Y]\) 等于线性预测项 \(\eta\)。在 GLM 中，我们使用链接函数 \(g(\cdot)\) 将它们连接起来：

\(g(\mu_i) = \eta_i\)

为什么要这样做？想象你在预测汽车保险索赔的概率。概率必须介于 0 和 1 之间。如果我们使用简单线性模型，预测结果可能是 1.5 或 -0.2，这是不可能的！链接函数将均值的范围（例如 0 到 1）映射到线性预测项的范围（负无穷大到正无穷大）。

标准链接函数 (The Canonical Link Function)

指数族 (exponential family) 中的每种分布都有一个源于其数学结构的“自然”链接函数，称为标准链接函数。虽然你也可以使用其他链接函数，但在 CS1 考试中，以下这些非常常见：

正态分布 (Normal Distribution)： 恒等链接 (Identity link) \(\implies g(\mu) = \mu\)
泊松分布 (Poisson Distribution)： 对数链接 (Log link) \(\implies g(\mu) = \ln(\mu)\)
二项分布 (Binomial Distribution)： Logit 链接 (Logit link) \(\implies g(\mu) = \ln(\frac{\mu}{1-\mu})\)
伽马 / 指数分布 (Gamma / Exponential Distributions)： 倒数链接 (Reciprocal link) \(\implies g(\mu) = \frac{1}{\mu}\)

注：有关指数族的更多信息，请参阅“指数族、方差函数与尺度参数”章节。

3. 变量与因子 (Variables vs. Factors)

在精算建模中，我们使用两种主要的解释输入：

连续变量 (Continuous Variables)

这些是可以取某个范围内任何数值的数值测量。
例子： 保单持有人的年龄、人寿保单的保额或汽车的发动机排量。

因子 / 类别变量 (Factors / Categorical Values)

因子代表定性的分组。它们具有离散的“水平”(levels)。
例子： 性别（男、女）、地区（北、南、东、西）或燃料类型（汽油、柴油、电力）。

“基准水平”的小贴士： 当我们在 GLM 中加入一个有 \(k\) 个水平的因子时，通常不会创建 \(k\) 个参数。相反，我们会选择一个水平作为基准水平 (base level / reference level)，并创建 \(k-1\) 个哑变量 (dummy variables)。其他水平的参数则代表该水平与基准水平之间的差异。

常见错误： 忘记排除基准水平的参数！如果你有 3 个地区并包含 3 个参数外加一个截距，模型便会出错（这被称为“完全共线性”perfect collinearity）。如果存在截距 \(\beta_0\)，对于有 \(k\) 个水平的因子，务必只使用 \(k-1\) 个参数。

4. 交互作用项 (Interaction Terms)

有时候，一个变量的影响取决于另一个变量的水平。这被称为交互作用。

现实例子： 假设我们正在为医疗保险索赔风险建模。“年龄”和“吸烟状况”都很重要。然而，吸烟带来的额外风险，对于 60 岁的人可能比对于 20 岁的人高得多。这种“额外”的综合效应就是交互作用。

在数学上，我们通过在线性预测项中将两个变量相乘来表示交互作用：

\(\eta = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_{12}(x_1 \cdot x_2)\)

其中 \((x_1 \cdot x_2)\) 就是交互作用项。

快速复习：GLM 的组成部分

1. 随机部分 (Random Component)： 响应变量 \(Y\) 的分布（例如泊松分布）。
2. 系统部分 (Systematic Component)： 线性预测项 \(\eta = \sum \beta_i x_i\)。
3. 链接函数 (Link Function)： 连接两者的函数 \(g(\mu) = \eta\)。

5. 按部就班：构建预测项

当你在考试中被要求写出线性预测项的形式时，请遵循以下步骤：

  1. 确定截距： 通常是 \(\beta_0\)。
  2. 加入连续变量： 为每个变量加入如 \(\beta_i x_i\) 的项。
  3. 加入因子： 确定水平数量 \(k\)，并加入 \(k-1\) 个项。
  4. 检查交互作用： 如果题目提到 \(X\) 的影响随 \(Y\) 而变化，请加入乘积项。

例子： 如果我们有一个包含截距、一个连续变量（年龄，\(x_1\)）和一个因子（性别，水平为 \(L_1 = \) 男和 \(L_2 = \) 女）的索赔模型 (\(\mu\))，并使用对数链接：

\(\ln(\mu) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_{Gender}\)

其中如果为女性，\(x_{Gender} = 1\)；如果为男性，则为 \(0\)（使男性成为基准水平）。

总结表：链接函数与预测项

概念： 线性预测项 (\(\eta\))
定义： 模型的“数学公式”端。
精算应用： 结合年龄、地区和保单类型来估算风险。

概念： 链接函数 (\(g\))
定义： 通往平均响应值的“桥梁”。
精算应用： 确保索赔次数不为负（对数链接）或概率介于 0 与 1 之间（Logit 链接）。

概念： 因子与交互作用
定义： 处理类别和综合效应。
精算应用： 按地区或车型区分保费。

在接下来的章节中，我们将学习如何使用最大似然估计 (maximum likelihood) 来估计这些 \(\beta\) 参数，以及如何测试我们的模型是否真正拟合数据。