导言：解读数据的意义
欢迎！在精算学的世界里，我们通常扮演着侦探的角色。我们观察数据并自问：“这个结果纯粹是幸运的巧合，还是真的存在某种趋势？”例如，如果一项新的健康计划看似减少了保险索赔，我们该如何证明这不只是随机发生的？
本章重点介绍针对特定情境的假设检验 (Hypothesis Testing)。我们将学习如何检验单一组别、比较两个独立组别、处理“关联”数据（配对数据），以及在不想对数据分布做任何假设时，如何使用一种称为“置换检验 (Permutation Test)”的聪明“洗牌”方法。
注：本章假设你已熟悉基本概念，例如原假设 (\(H_0\)) 和 p 值。如果你需要温故知新，请参阅“假设检验的概念、错误与检验力”章节。
1. 单样本检验：检查单一组别
当你想将来自单一总体的样本与已知数值（“基准值”）进行比较时，就会使用单样本检验。
检验正态分布的均值 (\(\mu\))
如果我们假设数据服从正态分布，通常会想检验其均值。这里有两条主要路径：
- 情况 A：方差 (\(\sigma^2\)) 已知。 我们使用 Z 检验 (Z-test)。检验统计量为：
\(Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)\) - 情况 B：方差 (\(\sigma^2\)) 未知。 这在现实生活中更为常见！我们使用 t 检验 (t-test)。我们会用样本标准差 \(s\) 取代总体 \(\sigma\)。检验统计量为：
\(t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}\)
检验正态分布的方差 (\(\sigma^2\))
有时精算师比起均值，更关心风险（波动性）。为了检验方差是否等于特定数值 (\(\sigma^2_0\))，我们使用卡方检验 (Chi-square test)：
\(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0} \sim \chi^2_{n-1}\)
检验比例 (二项分布) 与率 (泊松分布)
对于二项分布 (\(p\)) 和泊松分布 (\(\lambda\)) 的数据，如果样本量足够大，我们通常依赖正态近似 (Normal Approximation)。
二项分布： \(Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \sim N(0, 1)\)
泊松分布： \(Z = \frac{\bar{X} - \lambda_0}{\sqrt{\lambda_0 / n}} \sim N(0, 1)\)
快速回顾：务必检查是否已知方差。如果不知道，且数据呈正态分布，请选用 \(t\)-分布！
2. 双样本检验：比较两个独立组别
精算师经常比较两个不同的组别，例如保单持有人 A 组与 B 组的索赔金额。
比较两个正态分布的均值
为了检验 \(\mu_1 = \mu_2\)，我们观察两者之差 \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\)。在 CS1 课程大纲中，我们专注于“基本”情况，即假设两个总体具有相同的未知方差 (\(\sigma^2_1 = \sigma^2_2\))。我们会计算合并样本方差 (pooled sample variance) (\(s_p^2\))：
\(s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\)
检验统计量为：
\(t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1+n_2-2}\)
比较两个正态分布的方差
若要观察一组是否比另一组波动更大，我们使用 F 检验 (F-test)。我们将较大的样本方差除以较小的样本方差：
\(F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1}\)
双样本二项分布与泊松分布
在比较两个比例 (\(p_1\) 与 \(p_2\)) 或两个泊松率 (\(\lambda_1\) 与 \(\lambda_2\)) 时，大样本情况下我们同样使用正态近似。在原假设（即两组相同）的前提下，我们通常会使用“合并”估计值来计算标准误差。
关键要点：对于双样本检验，组别必须是独立的。如果两组中包含的是同一群人，你则需要参考下一节！
3. 配对数据：前后对比
如果你测量了 10 个人在接受治疗前的血压，然后测量同一批 10 个人在治疗后的血压，这就不是独立样本，而是配对数据 (paired data)。
窍门：不要把它们当作两个样本处理。相反，计算每一对观察值的差值：
\(D_i = X_i - Y_i\)
现在，你只需对这些差值 (\(D\)) 进行单样本 t 检验。你的原假设通常是 \(H_0: \mu_D = 0\)。
\(t = \frac{\bar{D} - 0}{s_D / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}\)
常见错误：对配对数据使用双样本检验。这是典型的考试陷阱！如果数据点是“匹配”的，或者代表同一对象在不同时间的状态，请务必使用配对法。
4. 置换检验：非参数方法
上述所有检验都假设数据服从特定分布（如正态分布）。但如果数据分布奇特，或者样本量太小以至于无法应用中心极限定理怎么办？我们可以使用置换检验 (Permutation Test)。
概念：“重新洗牌”
想象你有 A 和 B 两组数据，并观察到它们的均值存在差异。置换检验会问：“如果组别标签（A 或 B）其实并不重要，那么仅仅通过随机重新分配标签，观察到这么大差异的可能性有多高？”
步骤流程：
- 计算观察到的检验统计量（例如 A 组和 B 组均值之差）。
- 将两组的所有数据合并成一个大的“数据池”。
- 置换 (Permute)：随机打乱数据，并将其重新分成两个与原始大小相同的新组别。
- 计算这个洗牌版本数据的均值之差。
- 重复这种“洗牌”数千次，以建立差值的分布。
- p 值即是洗牌后的差值中，与原始观察差值一样极端（或更极端）所占的比例。
你知道吗？ 置换检验非常强大，因为它不对数据的“形状”做任何假设。在 Paper B 考试中，通常会使用 R 语言来执行此检验。
考试总结清单
- 确认样本数量：是单一组别与数值比较、两个独立组别，还是配对数据？
- 检查分布：如果是正态分布且方差未知，请使用 \(t\)-检验。
- 样本量大吗？ 对于二项分布和泊松分布，请使用正态近似 Limiting Distribution。
- 组别是否相关联？ 如果是，计算差值 (\(D_i\)) 并使用配对 \(t\)-检验。
- 没有指定分布？ 考虑使用置换法（重新洗牌标签）。
温馨提示：在 Paper A 中，你可能需要查表手算。在 Paper B 中，你会使用 t.test() 等 R 函数。确保你能准确解读这两者的输出结果！