欢迎来到 R 语言精算统计！

在卷 A (Paper A) 中，你会学习分布与统计学背后的理论。而在卷 B (Paper B) 中，你将运用 R 语言将这些理论付诸实践。本章将集中讨论在每一次 CS1 考试中几乎都会用到的基本工具：计算汇总统计量（如平均数与方差），以及寻找各种分布的概率和分位数。

你可以把 R 想象成一个功能超级强大的科学计算器。与其翻阅《公式与表格手册》（俗称 Gold Book）来查找数值，你可以直接要求 R 在不到一秒的时间内给你精确的数值。我们开始吧！

1. 探索性数据分析：汇总统计量

在投入复杂的模型之前，精算师总是会先观察数据。这被称为探索性数据分析 (Exploratory Data Analysis, EDA)。我们想知道数据的“中心点”在哪里（位置测度）以及数据有多“分散”（离散测度）。

位置测度 (Measures of Location)

要找出一组数据 x 的平均值或中心值：

mean(x)：计算算术平均数 \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \)。
median(x)：找出数据排序后的中位数。

离散测度 (Measures of Spread)

要观察数据的波动程度：

var(x)：计算样本方差 \( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \)。
sd(x)：计算样本标准差 \( s = \sqrt{var(x)} \)。
range(x)：给出最小值和最大值。
IQR(x)：计算四分位距（第 75 百分位数与第 25 百分位数之差）。

一应俱全的命令

summary(x)：这是考生的最爱！它能一次性提供最小值、第一四分位数、中位数、平均数、第三四分位数及最大值。这是快速获取数据“概览”的最快方法。

小贴士：如果你的数据中有缺失值（在 R 中标示为 NA），这些函数可能会返回 NA。要解决这个问题，请在括号内加入参数 na.rm = TRUE，例如：\( mean(x, na.rm = TRUE) \)。

重点笔记：使用 summary() 进行快速概览，当题目要求特定指标时，则使用 sd() 或 var() 等特定函数。

2. “四大”分布前缀

在 CS1 中，你会处理许多不同的分布（如正态分布、泊松分布、二项分布等）。R 使用一套非常一致的命名系统。每个分布都有一个基本名称（例如：正态分布为 norm，泊松分布为 pois），并配以四种可能的前缀：

1. d (Density)：用于离散型变量的概率质量函数 (PMF) \( P(X = x) \)，或连续型变量的概率密度函数 (PDF) 值。
2. p (Probability)：用于累积分布函数 (CDF) \( P(X \le x) \)。这是你寻找概率时的“必用”工具。
3. q (Quantile)：用于逆累积分布函数 (Inverse CDF)。如果你已知概率并想找出对应的数值 \( x \)，请使用 q。
4. r (Random)：用于从特定分布中生成随机样本。（注：我们将在下一章关于“模拟”的部分详细介绍）。

可视化理解差异：
如果你想求某一点左侧的面积，请使用 p。
如果你想求左侧具有特定面积的那一点，请使用 q。

3. R 语言中的常用分布

以下是 CS1 课程大纲中你需要掌握的分布及其在 R 中的名称：

离散型分布：
binom：二项分布 \( (n, p) \)
pois：泊松分布 \( (\lambda) \)
geom：几何分布 \( (p) \)
nbinom：负二项分布 \( (k, p) \)
hyper：超几何分布

连续型分布：
norm：正态分布 \( (\mu, \sigma) \)
exp：指数分布 \( (\lambda) \)
gamma：伽马分布 \( (\alpha, \lambda) \)
chisq：卡方分布 \( (\nu) \)
t：学生 t 分布 \( (\nu) \)
f：F 分布
beta：Beta 分布
unif：均匀分布

示例： 寻找标准正态分布 \( Z \sim N(0,1) \) 的第 95 百分位数：
\( qnorm(0.95, mean = 0, sd = 1) \)

示例： 已知 \( X \sim Poisson(5) \)，求 \( P(X \le 3) \)：
\( ppois(3, lambda = 5) \)

4. 关键考试陷阱（千万别在这里失分！）

“下尾”（Lower Tail）参数

在默认情况下，R 的 p-functions 计算的是 \( P(X \le x) \)（即下尾概率）。如果考试要求 \( P(X > x) \)，你有两个选择：
1. 计算 \( 1 - p... \) （例如：\( 1 - pnorm(x, ...) \))
2. 在函数内加入参数 lower.tail = FALSE （例如：\( pnorm(x, ..., lower.tail = FALSE) \))。

离散 vs. 连续

别忘记！对于连续型分布（如正态分布），\( P(X < x) \) 与 \( P(X \le x) \) 是一样的。
但对于离散型分布（如二项分布 or 泊松分布），这点至关重要！R 的 p-functions 总是包含该数值：\( pbinom(k, ...) \) 代表 \( P(X \le k) \)。如果你需要计算 \( P(X < k) \)，在 R 中你必须计算 \( P(X \le k-1) \)。

伽马分布 (Gamma Distribution) 参数

在卷 A 中，我们经常使用“率”参数 (rate parameter) \( \lambda \)。在 R 中，gamma 函数可以接受 rate 或 scale。请记住 \( scale = 1 / rate \)。如果不确定，请随时在 R 控制台中输入 ?rgamma 来检查函数参数。

标准差 vs. 方差

在 R 的 norm 函数中，参数是 sd (\( \sigma \))，而不是方差 (\( \sigma^2 \))。如果题目说明 \( X \sim N(10, 25) \)，你在 R 中必须输入 sd = 5。

5. 分位数与百分位数

卷 B 的常见任务是寻找风险价值 (Value at Risk, VaR) 或特定的分位数。q-functions 正是为此而设计的。

情境： 某保险理赔分布服从对数正态分布 (Lognormal)，其中 \( meanlog = 5 \) 且 \( sdlog = 2 \)。求理赔额的第 99 百分位数。
R 命令： \( qlnorm(0.99, meanlog = 5, sdlog = 2) \)

重点笔记： 如果题目给你一个概率（例如：“前 5%”或“0.90 置信度”），你很可能需要用到 q-function。如果题目给你一个数值（例如：“理赔额超过 1000 的概率是多少？”），你则需要用到 p-function。

快速复习

汇总统计量： 使用 mean()、var()、sd() 和 summary()。
概率： 使用 p-name() 来计算 \( P(X \le x) \)。
分位数： 使用 q-name() 来寻找与概率相关联的数值。
上尾概率： 使用 lower.tail = FALSE 来计算 \( P(X > x) \)。
正态分布： 务必使用标准差 (\( \sigma \))，而非方差 (\( \sigma^2 \))。

如果你忘记了某个函数参数的精确顺序，别担心！你可以在 R 中输入问号后接函数名称（例如：?pbinom）来查看帮助文件，确认所需的输入内容。