集中趋势的量度：找出数据的“中间”
各位同学好！欢迎来到“数据处理”的世界！
您有没有想过，当人们说起“平均学生”或者某样东西的“典型价格”时，他们究竟想表达些什么？其实，他们正使用数学上一个叫做集中趋势的概念。
在这一章，我们会学习如何找出一个数字堆（一个数据集）的“中心”或者“中间”。就像找一个数字去代表整个组别一样，这对于快速理解信息超级有用，无论是您的测验分数、天气情况，还是您最爱的电子游戏数据都一样。
就算一开始觉得有点难，也不用担心！我们会用一些简单又贴近生活的例子，将其逐一拆解。准备好了吗？一起开始吧！
认识三大主角：“3M”
当我们谈论集中趋势，通常会集中谈论三个核心概念。您可以将它们视为一队超级英雄，各自有它们独特的方法去找出“中间”：
1. 平均数 (The Mean)：“公平分享”的数值。
2. 中位数 (The Median)：“正中间”的数值。
3. 众数 (The Mode)：“最受欢迎”的数值。
我们会逐一认识它们，看看何时使用它们独特的“超能力”！
处理简单的数据列表（未分组数据）
我们由一个简单、未排序的数字列表开始，这种叫做未分组数据。
第一部分：平均数（或称算术平均数）
这是什么？
您可能以前听过“平均”这个词。在数学上，我们称它为平均数。如果将所有东西平均分配，您就会得到这个数值。
如何找出平均数？
这是两步完成的过程：
第一步：将您数据集里面所有数字加起来。
第二步：将总数除以数字的总数量。
公式就是这样：
$$ \text{Mean} = \frac{\text{Sum of all data values}}{\text{Number of data values}} $$试着做个例子！
想象一下，这些是您5次数学小测的分数：8、7、9、6、10。不如我们来找出您的平均分吧。
第一步（将它们全部加起来）： $$8 + 7 + 9 + 6 + 10 = 40$$第二步（除）： 总共有5个分数，所以我们除以5。 $$40 \div 5 = 8$$
所以，这批小测分数的平均数是8。做得好！
快速复习：平均数
- 又称算术平均数。
- 动作：先加后除。
- 代表“公平分享”的数值。
第二部分：中位数（个“中间仔”）
这是什么？
中位数就是列表中间的数字，但是有一个“陷阱”！您必须首先将数字排序！
记忆小贴士：“Median”听起来像“Medium（中等）”，而中等永远在中间嘛。
如何找出中位数？
第一步：将所有数字由最小排到最大。
第二步：找出物理上在中间的数字。
情况一：数据点数量为单数
我们再用回小测分数做例子：8、7、9、6、10。
第一步（排序）： 6, 7, 8, 9, 10
第二步（找出中间）： 最中间的数字就是8。
所以，中位数是8。很简单！
情况二：数据点数量为双数
如果A同学再考一次小测，拿到9分呢？他的分数就是：8、7、9、6、10、9。
第一步（排序）： 6, 7, 8, 9, 9, 10
第二步（找出中间）： 哎呀！中间有两个数字：8和9。那该怎么办？我们就找出这两个数字的平均数！
$$ (8 + 9) \div 2 = 17 \div 2 = 8.5 $$
所以，这组数据的中位数是8.5。
常见错误警告！
最常见的错误就是找出中位数之前，忘记将数字排好次序。记住，永远都要先排序！
第三部分：众数（最受欢迎）
这是什么？
众数是最容易找到的一个！它就是数据集里面出现最多次数的数字。
记忆小贴士：“Mode”的“Mo”字就好像“Most Often”的“Mo”字，就是指出现“最”多次数的数字。
如何找出众数？
看看一个小班的鞋码：5、6、7、8、6、8、9、8。
只要找出哪个数字出现得最多次。数字8出现了三次，比其他任何尺码都多。
所以，众数是8。
众数的特殊情况：
- 没有众数：如果所有数字都只出现一次（例如：1、2、3、4、5），那就没有众数。
- 多于一个众数：如果两个（或更多）数字出现频率相同，而且是最多，那就可以有多于一个众数！例如，在数据集2、3、3、4、5、5中，众数是3和5。
处理大量数据（分组数据）
有时我们有这么多数据，将其放入频数表会更方便。这种叫做分组数据。由于我们不再知道准确的数值，所以需要估计我们的集中趋势量度。
第一部分：众数组
当数据是分组的时候，我们找不到单一的众数。取而代之，我们会找出众数组，即是频数最高的组别。
例子：做功课的时间
我们有一张表，显示学生做功课的时间。
时间（分钟）：0-10 | 11-20 | 21-30 | 31-40
频数（学生人数）：3 | 12 | 8 | 2
只要找出最高的频数。它是12。它属于哪个组别？就是11-20分钟这个组别。
所以，众数组是11-20分钟。
第二部分：从分组数据中估计平均数
我们找不到准确的平均数，因为我们不知道那12位学生在众数组里面每人做功课的准确时间。但是我们可以做出一个很好的估计！
以下是步骤：
1. 找出每个组的组中点。组中点就是该组的中点。（对于11-20，中点是 (11+20)/2 = 15.5）
2. 将每个组中点乘以它的频数。
3. 将第二步所有的结果加起来。
4. 除以数据点的总数（即总频数）。
我们用回做功课的例子：
第一组（0-10）：组中点 = 5。 $$5 \times 3 = 15$$第二组（11-20）：组中点 = 15.5。 $$15.5 \times 12 = 186$$第三组（21-30）：组中点 = 25.5。 $$25.5 \times 8 = 204$$第四组（31-40）：组中点 = 35.5。 $$35.5 \times 2 = 71$$
第三步（将它们全部加起来）： $$15 + 186 + 204 + 71 = 476$$总频数： $$3 + 12 + 8 + 2 = 25$$
第四步（除）： $$ \text{Estimated Mean} = 476 \div 25 = 19.04 $$
我们的估计平均时间是19.04分钟。
重要提示：记住，这只是一个估计，因为我们使用了组中点而不是实际的数据。
加权平均数（当部分数据更重要时）
这是什么？
有时，并不是所有数字都是平等的。有些会更重要，或者有更多“权重”。一个最好的真实例子就是您的学校分数！期末考试通常比单次功课有更高的比重。
加权平均数就是一种平均数，其中某些数据点比其他数据点有更大的影响。
例子：计算最终成绩
想象一下，您的数学期末成绩是这样计算的：
- 功课占10%（权重 = 10）
- 小测占30%（权重 = 30）
- 期末考试占60%（权重 = 60）
您的得分是：功课95分，小测80分，期末考试75分。
第一步：将每个分数乘以它的权重。
功课： $$95 \times 10 = 950$$小测： $$80 \times 30 = 2400$$期末考试： $$75 \times 60 = 4500$$
第二步：将这些结果加起来： $$950 + 2400 + 4500 = 7850$$
第三步：将总权重加起来： $$10 + 30 + 60 = 100$$
第四步：将第二步的结果除以第三步的结果。
$$ \text{Weighted Mean} = 7850 \div 100 = 78.5 $$
您的最终成绩是78.5分！您可以看到，期末考试的分数影响最大，因为它有最高的权重。
我应该使用哪个“M”？（用途和误用）
选择正确的量度方法很重要，因为有时一个“M”会比另一个更能真实反映情况。
当您使用平均数时... 数据分布比较平均，而且没有极端值（又称异常值）。例子：班上同学的身高。
当您使用中位数时... 有极端值（异常值）。中位数不会受到超高或超低数字的影响。例子：想象一间公司的薪金。一个CEO赚几百万，但大部分员工赚少很多。平均薪金会很高而且容易误导人。中位数薪金会更好反映一个普通员工的收入。
当您使用众数时... 数据不是数字（例如“最喜欢的颜色”），或者您只想知道最常见的选择。例子：鞋店老板会使用众数来知道哪种鞋码要订最多货。
您又知道吗？（统计如何误导人）
人们可以“滥用”统计，选择一个对他们最有利的量度方法。一间公司可能会说“我们的平均薪金是十万元！”他们使用的可能是在老板超高薪金拉高了的平均数。但大部分人实际拿到的中位数薪金可能只是四万元！永远都要问清楚他们正使用哪种“平均”。
实用捷径：如果我们改变所有数据会怎样？
如果我们对数据集里面的每一个数字都做同样的事情，那我们的“3M”会怎样变化呢？好消息是：有一个很简单规则！
规则一：加或减一个数字
如果您将数据集里面的每个数值加同一个数字（我们称它为k），那平均数、中位数和众数都会增加k。减法也是一样！
例子：数据集 {2, 4, 4, 6}。平均数=4，中位数=4，众数=4。
我们将每个数字都加10：{12, 14, 14, 16}。
新的平均数是14（4+10），新的中位数是14（4+10），新的众数是14（4+10）。没错！
规则二：乘或除一个数字
如果您将数据集里面的每个数值乘以同一个数字（k），那平均数、中位数和众数都会乘以k。除法也是一样！
例子：数据集 {2, 4, 4, 6}。平均数=4，中位数=4，众数=4。
我们将每个数字都乘以5：{10, 20, 20, 30}。
新的平均数是20（4x5），新的中位数是20（4x5），新的众数是20（4x5）。就好像变魔术一样神奇！
重点提示
集中趋势的量度（平均数、中位数、众数）会以您改变数据集中每个数据的方式，受到完全相同的影响。这在解题的时候可以是一个很有用的捷径！