歡迎來到乘法與除法的世界！
同學你好！在這個單元中，我們將會成為「數字大師」。我們會學習如何計算較大數目的乘法、運用除法來分配物件，並發掘數字的「秘密身份」，例如因數、倍數和質數。
乘法和除法就像一枚硬幣的兩面，關係密不可分。如果你知道 \(5 \times 4 = 20\)，你其實已經知道 \(20 \div 4 = 5\) 了！無論是焗蛋糕還是和朋友平分獎品，這些數學技能都超級實用。剛開始如果覺得某些部分有點難，千萬不要擔心——讓我們一步一步來學習吧！
1. 倍數與因數
在開始進行大數運算之前，我們需要先了解數字是由甚麼組成的。你可以把數字想像成樂高積木！
倍數
當一個數乘以另一個整數時，所得到的結果就是倍數。它們其實就是乘數表（九九乘法表）裡出現的數字，或是「順數跳數」時數到的數字。
例子：5 的倍數有 5、10、15、20、25…… 如此類推。
因數
因數是指相乘後能得出某個特定數字的整數。成對出現並能相乘得出該特定數字的兩個數，稱為因數對。
例子：要找出 12 的因數，我們可以找出相乘等於 12 的所有數對：
\(1 \times 12 = 12\)
\(2 \times 6 = 12\)
\(3 \times 4 = 12\)
所以，12 的因數有 1、2、3、4、6 和 12。
你知道嗎？ 1 是所有整數的因數！
重點歸納：
倍數是無窮無盡的（數字會愈來愈大），而因數的數量是有限的（它們是構成數字的「基本積木」）。
2. 質數、平方數與立方數
質數
質數是一種很特別的數，它只有兩個因數：就是 1 和它自己本身。質數不能被其他整數整除。
例子：7 是質數，因為只有 \(1 \times 7 = 7\)。但 6 不是質數（它稱為合數），因為 \(2 \times 3 = 6\)。
快速溫習：最初的幾個質數是 2、3、5、7、11、13、17 和 19。請留意，2 是唯一的雙數（偶數）質數！
平方數與立方數
一個數自乘一次（乘以自己本身），所得出的結果就是平方數。我們會在右上角寫一個小小的「\(^2\)」來表示。
\(5^2\) 即是 \(5 \times 5 = 25\)。
一個數自乘兩次（乘以自己，再乘以自己），所得出的結果就是立方數！我們會在右上角寫一個小小的「\(^3\)」來表示。
\(2^3\) 即是 \(2 \times 2 \times 2 = 8\)。
重點歸納：
質數就像「孤獨」的數字，只有兩個因數。如果用圓點畫出平方數，它們能剛好排列成正方形呢！
3. 乘以及除以 10、100 和 1,000
這是一項能讓你輕鬆處理大數的「數學超能力」。我們不需要做複雜的計算，只需在數值位值表上移動數字的位置即可。
乘法
計算乘法時，數值會變大，所以每個數位都要向左移動。
- 乘以 10：所有數字向左移 1 位。
- 乘以 100：所有數字向左移 2 位。
- 乘以 1,000：所有數字向左移 3 位。
除法
計算除法時，數值會變小，所以每個數位都要向右移動。
- 除以 10：所有數字向右移 1 位。
- 除以 100：所有數字向右移 2 位。
- 除以 1,000：所有數字向右移 3 位。
常見錯誤：很多人常說「直接加個 0 就行了」。但當你學到小數時，這個說法就很容易令人混淆！因此，把這個概念理解為數字在位值欄上滑動移位會安全準確得多。
4. 直式乘法
當我們用一個 4 位數乘以一個 1 位數或 2 位數時，我們會使用直式乘法。
乘以兩位數（雙位數乘法）
讓我們來試試計算 \(124 \times 13\)：
- 首先，用 124 乘以「個位」的 3：\(124 \times 3 = 372\)。
- 接著，用 124 乘以「十位」的 10。重要提示：開始計算前，記得先在個位補上一個 0 來佔位！
- 用 124 乘以 1（代表 10）：\(124 \times 1 = 124\)。加上佔位的 0 後，看起來就是 1240。
- 把兩次的計算結果加起來：\(372 + 1240 = 1612\)。
記憶小法寶：千萬別忘記「補 0 小英雄」！每當乘以十位數字時，第一步永遠都要先填上 0 來佔位。
5. 直式除法（「巴士站」除法）
要用大數除以一位數時，我們會使用短除法（直式除法）。
例子：\(432 \div 3\)
- 4 裡面有多少個 3？有 1 個，餘下 1。把 1 寫在上方（商數），並把餘下的 1 移到下一個數位旁。
- 現在，13 裡面有多少個 3？有 4 個，餘下 1（因為 \(3 \times 4 = 12\)）。把 4 寫在上方，把餘下的 1 移到下一個數位。
- 最後，12 裡面有多少個 3？剛好有 4 個。把 4 寫在上方。
- 答案就是 144。
處理餘數
有時候，數字是無法剛好整除的。剩下的部分就稱為餘數（r）。在小學高年級，你可以把餘數寫成整數，甚至是分數！
例子：\(11 \div 4 = 2\) 餘 \(3\)（或記作 \(2\ r\ 3\)，在中文算式通常寫為 \(2 \dots 3\)）。
重點歸納：
短除法就像由左至右為每個數位提問：「這裡面能放進多少個除數？」。
6. 最後快速總結
成功溫習清單：
- 因數：能整除該數字的整數。
- 倍數：該數字乘數表中的數字。
- 質數：只有兩個因數（1 和它自己本身）。
- 平方數：一個數自乘一次（\(n \times n\)）。
- 乘以及除以 10、100、1000：數字向左移（乘法）或向右移（除法）。
- 兩位數乘法：永遠記住要補 0 佔位！
- 短除法：運用除法直式，並把餘數往後帶。
你做得非常好！工多藝熟，只要多加練習，你一定能掌握這些運算。加油，你一定做得到的！