歡迎來到二進制的世界！
你有沒有想過，電腦、智能手機和遊戲機內部明明只是一堆電子電路，到底是如何播放影片、運行 3D 遊戲和傳送訊息的呢？當中的秘密，就在於一種名為二進制（binary）的特別記數系統。
在這份溫習筆記中，你將會認識什麼是二進制數字、為什麼電腦需要依賴二進制，以及如何將我們日常使用的數字與電腦的二進制代碼互相轉換。即使一開始覺得陌生或有點複雜也不用擔心——只要掌握幾個簡單步驟和位值表，你很快就能運用自如！
為什麼電腦要使用二進制？
人類日常使用的是十進制（decimal / denary / base-10），當中包含十個數字：\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\) 和 \(9\)。我們很大機會是因為有十隻手指，所以發明了十進制！
然而，電腦並沒有手指。在電腦處理器內部，有數以百萬計微小的電子開關，稱為電晶體（transistors）。這些開關在物理上只能處於兩種通電狀態之一：
• 開啟（ON）：高電壓電流通過（以數字 \(1\) 代表）
• 關閉（OFF）：低電壓或無電流通過（以數字 \(0\) 代表）
正因為這些開關只能處於開啟或關閉狀態，電腦在進行所有思考、運算和儲存時，都只會使用兩個數字：\(0\) 和 \(1\)。這個只有兩個數字的系統就稱為二進制（binary / base-2）。
重點提示：電腦之所以使用二進制，是因為其內部的電子開關永遠只有兩種狀態：開啟（ON）（\(1\)）或關閉（OFF）（\(0\)）。
---位元（Bit）、半字節（Nibble）與字節（Byte）：數據的基本單位
在開始轉換數字之前，我們先來認識電腦記憶體的基本單位：
• 位元（Bit）：即 Binary digit（二進制數位）的縮寫。位元是電腦運算中最小的單一數據單位，它的值只能是 \(0\) 或 \(1\)。
• 半字節（Nibble）：由 \(4\) 個位元組成的一組數據（例如：0101 或 1111）。一個半字節可以表示由 \(0\) 至 \(15\) 的數字。
• 字節（Byte）：由 \(8\) 個位元組成的一組數據（例如：00101101 或 11111111）。字節是初中（Key Stage 3）階段用來表示數字和字符的標準單位。一個字節可以表示由 \(0\) 至 \(255\) 的數字。
記憶小貼士：不妨把「nibble」（半字節）想像成輕輕咬一口（nibble）數據，而「byte」（字節）就是吞下一整大口（bite）由 \(8\) 個位元組成的數據！
重點提示：\(1\) 字節（Byte）= \(2\) 半字節（Nibbles）= \(8\) 位元（Bits）。
---位值（Place Values）：十進制 vs 二進制
在十進制中，位值從右至左移動時每次乘以 \(10\)：個位（\(10^0 = 1\)）、十位（\(10^1 = 10\)）、百位（\(10^2 = 100\)）、千位（\(10^3 = 1000\)）。
在二進制中，位值從右至左移動時則是每次乘以 \(2\)（翻倍）：
8 位元二進制位值表：
\(128\) (\(2^7\)) | \(64\) (\(2^6\)) | \(32\) (\(2^5\)) | \(16\) (\(2^4\)) | \(8\) (\(2^3\)) | \(4\) (\(2^2\)) | \(2\) (\(2^1\)) | \(1\) (\(2^0\))
實用秘訣：在解答任何進制轉換題目之前，最好先在草稿紙頂部畫出這個 8 欄位值表。從最右邊寫上 \(1\)，然後向左不斷翻倍：\(1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 16 \rightarrow 32 \rightarrow 64 \rightarrow 128\)。
---將二進制轉換為十進制
把二進制數字轉換為常見的十進制數字非常簡單！只需跟隨以下三個步驟：
步驟 1：寫出 8 位元位值表（\(128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1\)）。
步驟 2：將二進制數字順序填寫在對應的欄位下方。
步驟 3：將下方寫有 \(1\) 的所有欄位位值相加，並忽略下方寫有 \(0\) 的欄位。
範例一
將二進制數字 00101101 轉換為十進制：
• 欄位 \(128\)：\(0\)
• 欄位 \(64\)：\(0\)
• 欄位 \(32\)：\(1\) \(\rightarrow\) \(32\)
• 欄位 \(16\)：\(0\)
• 欄位 \(8\)：\(1\) \(\rightarrow\) \(8\)
• 欄位 \(4\)：\(1\) \(\rightarrow\) \(4\)
• 欄位 \(2\)：\(0\)
• 欄位 \(1\)：\(1\) \(\rightarrow\) \(1\)
現在將這些數值相加：
\(32 + 8 + 4 + 1 = \mathbf{45}\)
因此，二進制 00101101 的十進制數值是 \(45\)。
範例二
將二進制數字 10000110 轉換為十進制：
找出下方寫有 \(1\) 的欄位：
• \(128\) 欄位有 \(1\)
• \(4\) 欄位有 \(1\)
• \(2\) 欄位有 \(1\)
計算：\(128 + 4 + 2 = \mathbf{134}\)
因此，二進制 10000110 的十進制數值是 \(134\)。
重點提示：如果欄位下方是 \(1\)，代表開關處於開啟狀態（將該欄位值相加）；如果是 \(0\)，代表開關關閉（忽略該欄位值）。
---將十進制轉換為二進制
要把十進制數字轉換為 8 位元二進制數字，我們會使用減法法則（嚴格由左至右進行，由 \(128\) 遞減至 \(1\)）。
分步減法法則：
由左至右處理每一個欄位：
1. 目前的數字能否減去該欄位值而不會變成負數？（即目前的數字是否 \(\ge\) 欄位值？）
2. 如果可以：在該欄位填上 \(1\)，並從目前的數字中減去該欄位值。
3. 如果不可以：在該欄位填上 \(0\)，目前的數字保持不變。
4. 重複以上步驟處理全部 8 個欄位，直至完成 \(1\) 的欄位為止。
範例：將 84 轉換為 8 位元二進制字節
我們由目標數字開始：\(84\)
• \(84 \ge 128\) 嗎？否 \(\rightarrow\) 填 \(0\)（餘數保持 \(84\)）
• \(84 \ge 64\) 嗎？是 \(\rightarrow\) 填 \(1\)（減法：\(84 - 64 = 20\)）
• \(20 \ge 32\) 嗎？否 \(\rightarrow\) 填 \(0\)（餘數保持 \(20\)）
• \(20 \ge 16\) 嗎？是 \(\rightarrow\) 填 \(1\)（減法：\(20 - 16 = 4\)）
• \(4 \ge 8\) 嗎？否 \(\rightarrow\) 填 \(0\)（餘數保持 \(4\)）
• \(4 \ge 4\) 嗎？是 \(\rightarrow\) 填 \(1\)（減法：\(4 - 4 = 0\)）
• \(0 \ge 2\) 嗎？否 \(\rightarrow\) 填 \(0\)（餘數保持 \(0\)）
• \(0 \ge 1\) 嗎？否 \(\rightarrow\) 填 \(0\)（餘數保持 \(0\)）
由左至右讀取這些位元，得出：01010100。
因此，十進制 \(84\) 轉換為 8 位元二進制就是 \(01010100\)。
重點提示：記緊由左至右依序檢查每個欄位。一旦餘數變成 \(0\)，右邊所有剩餘的欄位都直接填上 \(0\)。
---重要特性與實用規律
以下是一些實用的規則和規律，能幫助你快速檢查答案：
1. 最大數值
對於任何位元數量（\(n\)），所能表示的最大數值為 \(2^n - 1\)：
• 對於 4 位元半字節（\(n = 4\)）：最大值為 \(2^4 - 1 = 16 - 1 = \mathbf{15}\)（二進制 1111）。
• 對於 8 位元字節（\(n = 8\)）：最大值為 \(2^8 - 1 = 256 - 1 = \mathbf{255}\)（二進制 11111111）。
2. 獨立狀態總數
一組 \(n\) 個位元可以產生 \(2^n\) 種不同組合。
對於一個 8 位元字節，共有 \(2^8 = 256\) 種不同組合（足以表示由 \(0\) 至 \(255\) 的所有整數）。
3. 快速奇偶檢查法
觀察最右邊的最後一個數位（即 \(1\) 欄位，又稱為最低有效位元 Least Significant Bit）：
• 如果結尾是 \(1\)，該十進制數字就是奇數（單數）（例如：\(00000101 = 4 + 1 = 5\)）。
• 如果結尾是 \(0\)，該十進制數字就是偶數（雙數）（例如：\(00000110 = 4 + 2 = 6\)）。
為什麼？因為其他所有欄位值（\(128, 64, 32, 16, 8, 4, 2\)）都是偶數，要得出奇數總和，唯一的辦法就是加上最後的 \(1\)！
常見錯誤陷阱
• 位值方向顛倒：切勿由左至右寫成 \(1, 2, 4, 8 \dots\)。最小值（\(1\)）必須永遠在最右邊，就像日常數學中的個位一樣！
• 漏寫前置零（Leading Zeros）：如果題目要求寫出一個 8 位元二進制數字或一個完整的字節，請確保寫齊全部 \(8\) 個數位。例如將十進制 \(5\) 寫成 00000101，而非單純寫成 101。
• 混淆進制概念：不要把二進制的 10 讀成十進制的「十」。在二進制中，10 代表一個 \(2\) 和零個 \(1\)，其實等於十進制的 \(2\)。
• 誤加零欄位：計算時要小心，只相加下方有 \(1\) 的位值，切勿把下方是 \(0\) 的欄位值也加進去。
• 減法計算出錯：在進行十進制轉二進制的減法時要保持專注，避免因為心算失誤而扣分。
快速溫習總結
• 十進制（Decimal / Denary / Base-10）：使用數字 \(0\) 至 \(9\)；位值為 \(10\) 的次方。
• 二進制（Binary / Base-2）：使用數字 \(0\) 和 \(1\)；位值為 \(2\) 的次方（\(128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1\)）。
• 1 位元（Bit） = 單一的 \(0\) 或 \(1\)。1 半字節（Nibble） = \(4\) 位元。1 字節（Byte） = \(8\) 位元。
• 二進制轉十進制：畫出位值表，填入數位，將下方有 \(1\) 的欄位值相加。
• 十進制轉二進制：由左至右與欄位值比對，若足夠減去則填 \(1\) 並減去該值，否則填 \(0\)。
• 8 位元字節的表示範圍：可表示 \(256\) 個數值，範圍由 \(0\)（00000000）至 \(255\)（11111111）。