歡迎來到百分變化與單利息！
你有沒有見過店舖櫥窗貼著大大的標語寫著「全場運動鞋八折（減 20%）！」，或者在新聞中聽過記者提及「加薪 5%」？在我們身邊的世界，百分數無處不在，特別是在購物、薪金和銀行戶口等生活情境中。
在這一章，你將會學懂如何計算增加與減少、掌握如何逆向思考求取原本的數值（原值），以及了解單利息在日常理財數學中的運作原理。如果數學有時讓你感到繁複，千萬別擔心 — 我們會把每個概念拆解成簡單易明的小步驟！
備註：本章隸屬於「比、比例及變化的率」。如欲查閱「單位換算」或「正比例與反比例」等其他課題，請參閱相關章節。
1. 快速溫習：甚麼是百分數？
英文的 percent 源自拉丁文 per centum，意思是「每一百個之中」。你可以把百分數想像為描述「每一百份當中有多少份」的方法。
因為百分數的意思就是「每 \(100\) 個之中」，所以我們可以很輕易地把任何百分數寫成份數或小數：
• \(50\%\) 代表 \(\frac{50}{100}\)，約簡後為 \(\frac{1}{2}\)，寫成小數則是：\(0.5\)
• \(25\%\) 代表 \(\frac{25}{100}\)，約簡後為 \(\frac{1}{4}\)，寫成小數則是：\(0.25\)
• \(10\%\) 代表 \(\frac{10}{100}\)，約簡後為 \(\frac{1}{10}\)，寫成小數則是：\(0.1\)
• \(100\%\) 代表整個整體：\(\frac{100}{100} = 1\)
百分數作為乘數（運算子）：
百分數可以作為對某個數值進行運算的乘數。要求出一個金額的某個百分數，只需將該金額乘以其小數形式即可。例如，要求 \(£80\) 的 \(35\%\)，你可以計算 \(£80 \times 0.35 = £28\)。
大於 \(100\%\) 的百分數：
百分數可以大於 \(100\%\) 嗎？當然可以！如果某個數量比原來的整體還要多，它就代表多於 \(100\%\)。舉例來說，某個數量的 \(150\%\) 代表原本的整體再加上它的一半（即原值的 \(1.5\) 倍）。
重點提示：請時刻謹記，原本的完整數值就是你的起始基準，即 \(100\%\)。
2. 百分增加與百分減少
當一個數值變大時，我們稱為百分增加。例子包括加價、人口增長或加薪。
當一個數值變小時，我們稱為百分減少。例子包括大減價折扣、減價或減重。
方法一：循序漸進的加／減法
這個方法非常適合心算或不准使用計算機的題目。
第 1 步：計算該數值的百分數相應金額。
第 2 步：如果是增加，把該數值加到原本的數值上；如果是減少，則從原本的數值中減去該數值。
例題 1（增加）：一款桌上遊戲原價為 \(£40\)，其售價增加了 \(15\%\)。求新的售價。
第 1 步：求 \(£40\) 的 \(15\%\)。
\(£40\) 的 \(10\% = £4\)
\(£40\) 的 \(5\% = £2\)
因此，\(£40\) 的 \(15\% = £4 + £2 = £6\)。
第 2 步：把這項增加金額加到原價上：
\(\text{新售價} = £40 + £6 = £46\)。
例題 2（減少）：一件大衣原價 \(£80\)，在夏季大減價中降價 \(30\%\) 出售（即七折）。求特價售價。
第 1 步：求 \(£80\) 的 \(30\%\)。
\(£80\) 的 \(10\% = £8\)
\(£80\) 的 \(30\% = 3 \times £8 = £24\)。
第 2 步：從原價減去折扣金額：
\(\text{特價售價} = £80 - £24 = £56\)。
方法二：單一乘數法
這個方法運算極快，特別適合配合計算機使用！
我們不用分開計算變化量，而是直接以 \(100\%\) 為基準看整體：
• 針對增加：將百分數加到 \(100\%\)，化為小數乘數，然後相乘。
例子：增加 \(15\%\) 代表新數值是 \(100\% + 15\% = 115\%\)，乘數為 \(1.15\)。
\(£40 \times 1.15 = £46\)。
• 針對減少：從 \(100\%\) 減去該百分數，化為小數乘數，然後相乘。
例子：減少 \(30\%\) 代表新數值是 \(100\% - 30\% = 70\%\)，乘數為 \(0.70\)（或 \(0.7\)）。
\(£80 \times 0.7 = £56\)。
常見錯誤提醒：遇到個位數百分數時要加倍小心！增加 \(4\%\) 等於 \(100\% + 4\% = 104\%\)，所以乘數是 \(1.04\)，而不是 \(1.4\)（\(1.4\) 代表增加了 \(40\%\)）。
重點提示：每個增加的乘數都會大於 \(1\)；每個減少的乘數都會小於 \(1\)。
3. 計算百分變化
如果你知道舊數值和新數值，想求出當中的百分增加或減少是多少，該怎麼辦？我們可以使用百分變化公式：
\(\text{百分變化} = \frac{\text{變化量}}{\text{原本數值}} \times 100\%\)
在這裡，變化量就是新數值與原本數值之間的差額（以較大的數減去較小的數求得）。
例題 1：一名跑手跑 \(5\text{ km}\) 的時間由 \(25\text{ 分鐘}\) 縮短至 \(22\text{ 分鐘}\)。她所用時間的百分減少是多少？
第 1 步：求出實際變化量（差額）：
\(\text{變化量} = 25 - 22 = 3\text{ 分鐘}\)。
第 2 步：將變化量除以原本數值：
\(\frac{\text{變化量}}{\text{原本數值}} = \frac{3}{25}\)。
第 3 步：乘以 \(100\%\) 化為百分數：
\(\frac{3}{25} \times 100\% = 12\%\)。
她所用的時間減少了 \(12\%\)。
例題 2：一盆小盆栽原本高 \(16\text{ cm}\)，一個月後測量高度為 \(20\text{ cm}\)。計算其百分增加。
第 1 步：\(\text{變化量} = 20 - 16 = 4\text{ cm}\)。
第 2 步：將變化量寫在原本高度之上：\(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)。
第 3 步：化為百分數：\(\frac{1}{4} \times 100\% = 25\%\)。
植物的高度增加了 \(25\%\)。
重要法則：永遠要除以原本數值（起始金額／數值），千萬不要除以新數值！
重點提示：百分變化是將增加或減少的數量，與你最初的起點作比較。
4. 原值問題（逆向百分數）
有時題目會給你減價或加價後的最終價格，然後問：「未有變動之前的原價是多少？」
這類問題稱為原值問題或逆向百分數問題。
一開始覺得棘手很正常，請記住以下這條讓你避開陷阱的黃金法則：
黃金法則：原本數值永遠是 \(100\%\)。你絕對不能直接求取新數值的百分數然後把它加上或減去！
方法一：歸一法（先求 \(1\%\)）
第 1 步：找出新數值所代表的百分比是多少。
• 如果是增加了 \(20\%\)，新數值就是 \(120\%\)。
• 如果是減少了 \(20\%\)，新數值就是 \(80\%\)。
第 2 步：除以該百分數的數值，求出 \(1\%\) 等於多少。
第 3 步：乘以 \(100\)，求出 \(100\%\)（即原值）。
例題 1（減價售價）：一件外套在九折（扣減 \(10\%\)）後以 \(£72\) 出售。外套的原價是多少？
第 1 步：原價為 \(100\%\)。由於減價 \(10\%\)：
\(\text{售價} = 100\% - 10\% = 90\%\)。
因此，\(90\% = £72\)。
第 2 步：求 \(1\%\)：
\(1\% = £72 \div 90 = £0.80\)。
第 3 步：求 \(100\%\)：
\(100\% = £0.80 \times 100 = £80\)。
外套的原價為 \(£80\)。
驗算：讓我們驗證一下答案。\(£80\) 的 \(10\%\) 是 \(£8\)，減去 \(£8\) 得 \(£80 - £8 = £72\)。完全吻合！
方法二：除以乘數
記住，正向計算時我們用乘法：\(\text{原值} \times \text{乘數} = \text{新數值}\)。
要逆向求原值，我們便使用逆運算：除法！
\(\text{原本數值} = \frac{\text{新數值}}{\text{乘數}}\)
例題 2（加薪）：獲得 \(25\%\) 的加薪後，Samir 現在每週賺取 \(£250\)。他在加薪前每週賺取多少？
第 1 步：增加 \(25\%\) 的乘數為 \(1 + 0.25 = 1.25\)。
第 2 步：將新工資除以乘數：
\(\text{原本工資} = £250 \div 1.25 = £200\)。
Samir 原本每週賺取 \(£200\)。
常見陷阱：如果一件貨品在九折（減 \(10\%\)）後的價格為 \(£90\)，同學往往會錯誤地計算 \(£90\) 的 \(10\% = £9\)，然後相加得出 \(£99\)。這是完全錯誤的！折扣是原本未知價格的 \(10\%\)，而不是 \(£90\) 的 \(10\%\)。請務必將原價設定為 \(100\%\)。
重點提示：要求原值，可以先求出 \(1\%\) 再乘以 \(100\)，或者直接將新數值除以小數乘數。
5. 理財數學中的單利息
當你把金錢存放在銀行的儲蓄戶口時，銀行會支付一筆額外的報酬給你，稱為利息。同樣地，如果你向銀行借錢，在還款時除了原本借取的金額外，還要支付額外的利息。
在單利息計算中，所支付或賺取的利息僅以原本的本金計算（稱為本金）。每年賺取或支付的利息金額是完全一樣的！
單利息的重要詞彙
• 本金（Principal，\(P\)）：最初存入或借出的金額。
• 年利率（Rate，\(R\)）：每年按本金計算的百分比（通常以年利率 p.a. 表示）。
• 期數／時間（Time，\(T\)）：存款或借貸的年數。
• 本利和（Total Balance）：戶口最後的總金額，即：\(\text{本金} + \text{總利息}\)。
單利息逐步計算指南
第 1 步：計算一年的利息（計算本金的指定百分數）。
第 2 步：將一年的利息乘以年數。
第 3 步：如果題目要求計算本利和（總金額），將總利息加到原本的本金中。
例題 1：Mia 在儲蓄戶口存入 \(£500\)，年利率為 \(3\%\) 的單利息。她在 \(4\text{ 年}\) 內可賺得多少利息？她戶口內的本利和是多少？
第 1 步：計算 1 年的利息：
\(£500\) 的 \(1\% = £500 \div 100 = £5\)。
\(£500\) 的 \(3\% = 3 \times £5 = \text{每年 } £15\)。
第 2 步：計算 4 年的利息：
\(\text{總利息} = £15 \times 4 = £60\)。
第 3 步：求本利和：
\(\text{本利和} = \text{本金} + \text{利息} = £500 + £60 = £560\)。
例題 2：David 向貸款機構借了 \(£1200\)，每年單利率為 \(5\%\)。他在 \(3\text{ 年}\) 後全數清還貸款。他總共需要償還多少金額？
第 1 步：1 年的利息：\(£1200\) 的 \(5\% = 0.05 \times £1200 = £60\)。
第 2 步：3 年的利息：\(£60 \times 3 = £180\)。
第 3 步：總還款金額（本利和）：\(£1200 + £180 = £1380\)。
單利息公式
你亦可以使用一個非常方便的公式來概括這些步驟：
\(\text{利息} = \frac{P \times R \times T}{100}\)
其中：
• \(P =\) 本金（起始資金）
• \(R =\) 年利率（以百分數數字代入，例如 \(5\%\) 則代入 \(5\)）
• \(T =\) 時間（以年為單位）
以剛才 David 的例子計算：\(\text{利息} = \frac{1200 \times 5 \times 3}{100} = \frac{18000}{100} = £180\)。兩種方法算出的答案完全一樣！
重點提示：計算單利息時，每年的利息金額永遠保持不變，因為它每次都是以最初的原有本金計算的。
溫習清單：你準備好應試了嗎？
• 百分增加：計算百分數相應金額並加到原值，或直接乘以 \((1 + \text{小數})\)。
• 百分減少：計算百分數相應金額並從原值減去，或直接乘以 \((1 - \text{小數})\)。
• 百分變化：使用公式 \(\frac{\text{變化量}}{\text{原本數值}} \times 100\%\)。謹記永遠除以起始的原值！
• 求原本數值（逆向計算）：將原本數值視為 \(100\%\)。先求 \(1\%\) 再乘以 \(100\)，或將新數值除以小數乘數。
• 單利息：先求 1 年利息，再乘以年數；若需要求本利和，最後再加上本金。