歡迎來到散點圖與相關！
在這一章，我們將會探索兩樣不同的事物（我們稱之為變量）之間可能存在甚麼關係。例如，陽光照射的時間越長，天氣通常會越熱嗎？身材較高的人，腳掌通常會較大嗎？
學完這份筆記後，你將能夠找出數據中的規律，甚至對未來的數據作出預測。即使你覺得圖表有點棘手也不用擔心，我們會一步一步慢慢來！
甚麼是散點圖？
散點圖（Scatter Graph）是一種在坐標平面上展示兩個變量數據的方法。我們會像標記坐標 \( (x, y) \) 一樣，將這些數據繪畫成點。
預備知識複習：請記住，要標記一個點，你要先「沿著走廊走」（x 軸），然後「上樓梯或下樓梯」（y 軸）。
試想像你量度了朋友們的身高和鞋子尺碼。在散點圖上，每個人都會由一個點來代表。這個點的位置，能同時告訴你該位同學的身高和鞋子尺碼！
快速溫習：
• 散點圖使用點來展示兩組數據之間的關係。
• 每個點代表一「對」數據（例如同一個人的身高與體重）。
理解相關
當我們觀察散點圖上的所有點時，我們會尋找當中的規律。這個規律就稱為相關（Correlation）。相關能告訴我們這兩個變量之間是否存在關係。
1. 正相關
當兩個變量同時增加時，就會出現正相關。隨著 x 軸上的數值上升，y 軸上的數值亦會隨之上升。
例子：你溫習的時間越長，測驗的分數通常就會越高。
視覺小貼士：如果這些點從左到右看起來正在「向上爬」（就像飛機起飛一樣），這就是正相關。
2. 負相關
當一個變量增加，而另一個變量減少時，就會出現負相關。
例子：你看電視的時間越多，睡眠的時間就越少。
視覺小貼士：如果這些點從左到右看起來正在「向下滑」（就像溜滑梯一樣），這就是負相關。
3. 無相關
當數據完全沒有清晰的規律時，就是無相關。這些點就像打翻了的麥片一樣散落各處！這代表兩件事物之間沒有關係。
例子：你的數學測驗分數與你的頭髮長度。頭髮留得更長，並不會令你的數學變好（或變差）！
重點整理：
正相關 = 兩者一同上升（向上爬）。
負相關 = 一個上升，另一個下降（向下滑）。
無相關 = 沒有關係（雜亂無章的點）。
相關的強弱
事物之間的關係並不一定都是完美的。我們會使用強和弱來描述規律的清晰程度：
• 強相關：數據點彼此非常密集，排成一條狹窄的「路徑」。整體的走向非常明顯。
• 弱相關：數據點分佈得較分散，但你仍然能夠看出大致上「向上爬」或「向下滑」的趨勢。
你知道嗎？兩件事物之間存在相關，並不一定代表兩者之間有因果關係。例如，雪糕銷量和鯊魚襲擊事件在夏天都會上升，這是因為天氣炎熱的緣故，但吃雪糕絕對不會導致鯊魚咬人！
最佳擬合線
如果數據存在相關，我們就可以畫一條最佳擬合線（Line of Best Fit）。這是一條穿過數據點中間的直線。
如何畫出一條完美的最佳擬合線：
1. 務必使用直尺和削尖的鉛筆（這是一定要的！）。
2. 盡量依循數據點的大致走向。
3. 盡量令在線上方的點和在線下方的點數量大致相同。
4. 切勿直接將第一個點與最後一個點連起來。
5. 切勿強行讓直線穿過原點 \( (0,0) \)，除非這條線自然地經過該處。
重點整理：
最佳擬合線就像是數據的「總結」。它能幫助我們忽略微小的波動，看清整體的趨勢。
作出預測
我們繪畫最佳擬合線的最主要原因，是為了預測我們未知的數值。
例子：如果你有一張顯示氣溫與雪糕銷量的圖表，而你想知道在 \( 25^{\circ}C \) 時大約能賣出多少杯雪糕：
1. 在底部（x 軸）找出 \( 25^{\circ}C \)。
2. 將手指垂直向上移到最佳擬合線。
3. 將手指水平向左移到側面（y 軸），讀取銷量數值。
注意：這種方法在預測已有數據範圍以內的數值時最為準確（這稱為內插法）。如果你嘗試預測數據範圍以外很遠的數值（例如太陽的溫度！），你的預測可能會出現極大偏差（這稱為外推法）。
應避免的常見錯誤
• 逐點連線：千萬不要畫「連連看」式的折線。最佳擬合線必須是一條連續的單一直線。
• 忽略離群值：離群值（Outlier）是指遠離其他所有點的單獨點（有點像「離群獨處的人」）。畫線時應忽略離群值，以免直線被它拉偏，偏離主要數據群。
• 不用直尺：歪歪斜斜的最佳擬合線會導致錯誤的預測！請必定要使用直尺。
重點快速自測
1. 正相關看起來是怎樣的？ 它由左至右呈現「向上爬」的趨勢。
2. 甚麼時候應該畫最佳擬合線？ 只有在數據有明顯的相關（正相關或負相關）時才畫。
3. 甚麼是離群值？ 不符合其餘數據常態規律的個別數據。
4. 你怎樣找出未知的數值？ 從坐標軸出發對應到最佳擬合線，然後橫向對應到另一個坐標軸讀取數值。