歡迎學習三角比！
你有沒有想過，建築工人是如何精確計算屋頂的傾斜角度，或者測量師如何不用親自登上山頂就能測量出高山的高度呢？他們所運用的，就是一門稱為三角學（trigonometry）的數學分支，字面上的意思就是「三角形的測量」。
在這一章中，我們將會探討直角三角形中角度與邊長之間的關係。初接觸時覺得有點複雜也不用擔心——我們會將它拆解成簡單易懂的步驟，一步一步帶你掌握！
1. 直角三角形的結構
在運用任何公式之前，我們必須先學會如何正確標示直角三角形的三條邊。直角三角形必定包含一個 \(90^\circ\) 的內角（直角），而其餘兩個角則為銳角（小於 \(90^\circ\)）。
我們會選取其中一個銳角作為參考角，並常用希臘字母 theta（\(\theta\)）來表示。
標示三條邊
每條邊都會根據它與直角及參考角 \(\theta\) 的相對位置，而有特定的名稱：
• 斜邊（Hypotenuse，簡稱 \(H\)）： 這永遠是直角三角形中最長的一條邊，它正正位於 \(90^\circ\) 直角的對面（對邊）。
• 對邊（Opposite，簡稱 \(O\)）： 這是位於參考角 \(\theta\) 正對面的邊。
• 鄰邊（Adjacent，簡稱 \(A\)）： 「鄰」就是「相鄰、旁邊」的意思。這是緊貼著參考角 \(\theta\) 的邊，位於 \(\theta\) 與直角之間。
實用小貼士： 記得先標出斜邊，因為它的位置永遠不變（永遠在 \(90^\circ\) 角的對面）。然後找出參考角 \(\theta\)，就能輕鬆標出對邊和鄰邊了！
重點提示
對邊和鄰邊的名稱取決於你選擇了哪一個銳角作為 \(\theta\)。千萬不要以為位於底部的邊就一定是鄰邊！
2. 核心概念：相似三角形與比例
為甚麼三角學會成立？這全賴相似三角形的概念。
如果兩個直角三角形擁有完全相同的角 \(\theta\)，它們的形狀就完全一樣——其中一個只是另一個的放大版。由於它們是相似圖形，無論三角形是大是小，各邊長之間的比例都會保持不變。
你知道嗎？ 無論你畫一個極小的 \(30^\circ\) 直角三角形，還是畫一個巨大的 \(30^\circ\) 直角三角形，它們的 \(\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\) 比例都會剛好是 \(0.5\)！
3. 三個基本三角比
將角 \(\theta\) 與兩條邊的長度聯繫起來的三個主要三角比分別是：
1. 正弦（Sine，記作 \(\sin\)）
\(\sin(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{O}{H}\)
2. 餘弦（Cosine，記作 \(\cos\)）
\(\cos(\theta) = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} = \frac{A}{H}\)
3. 正切（Tangent，記作 \(\tan\)）
\(\tan(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} = \frac{O}{A}\)
記憶口訣：SOH CAH TOA
為了輕鬆記住這三個重要定義，我們可以使用著名的口訣 SOH CAH TOA：
• SOH： \(\mathbf{S}\text{in}(\theta) = \frac{\mathbf{O}\text{pposite（對邊）}}{\mathbf{H}\text{ypotenuse（斜邊）}}\)
• CAH： \(\mathbf{C}\text{os}(\theta) = \frac{\mathbf{A}\text{djacent（鄰邊）}}{\mathbf{H}\text{ypotenuse（斜邊）}}\)
• TOA： \(\mathbf{T}\text{an}(\theta) = \frac{\mathbf{O}\text{pposite（對邊）}}{\mathbf{A}\text{djacent（鄰邊）}}\)
4. 計算未知的邊長
要找出直角三角形中未知的邊長，只需跟隨以下四個簡單步驟：
步驟 1： 根據給定的角 \(\theta\)，標示三角形的三條邊（\(O\)、\(A\)、\(H\)）。
步驟 2： 找出哪條邊是已知的，哪條邊是要求取的未知邊。
步驟 3： 從 SOH CAH TOA 中選出包含這兩條邊的正確三角比。
步驟 4： 將數值代入公式，並解方程以求出未知邊長。
情況 1：未知數在上方（分子）
例子： 一個三角形的角 \(\theta = 30^\circ\)，斜邊 \(H = 10\text{ cm}\)，對邊為未知數 \(x\)。
1. 我們已知 \(H\)，想求 \(O\)，因此使用 SOH：\(\sin(\theta) = \frac{O}{H}\)
2. 代入數值：\(\sin(30^\circ) = \frac{x}{10}\)
3. 兩邊同乘以 \(10\)：\(x = 10 \times \sin(30^\circ)\)
4. 計算：\(x = 10 \times 0.5 = 5\text{ cm}\)
情況 2：未知數在下方（分母）
例子： 一個三角形的角 \(\theta = 35^\circ\)，對邊 \(O = 7\text{ cm}\)，斜邊為未知數 \(x\)。
1. 我們已知 \(O\)，想求 \(H\)，因此使用 SOH：\(\sin(\theta) = \frac{O}{H}\)
2. 代入數值：\(\sin(35^\circ) = \frac{7}{x}\)
3. 小心進行移項以解出 \(x\)：
兩邊同乘以 \(x\)：\(x \times \sin(35^\circ) = 7\)
兩邊同除以 \(\sin(35^\circ)\)：\(x = \frac{7}{\sin(35^\circ)}\)
4. 計算：\(x \approx 12.2\text{ cm}\)（準確至 \(1\) 位小數）
5. 計算未知的角度（反三角函數）
當你知道兩條邊的長度而想求出未知的角 \(\theta\) 時，可以使用反三角函數：
• 反正弦：\(\theta = \sin^{-1}\left(\frac{O}{H}\right)\)
• 反餘弦：\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{A}{H}\right)\)
• 反正切：\(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{O}{A}\right)\)
在你的科學計算機上，只要先按下 SHIFT 或 2ndF 鍵，然後再按 sin、cos 或 tan，就可以使用這些反三角函數了。
角度計算步驟範例
例子： 一個直角三角形的鄰邊 \(A = 4\text{ cm}\)，斜邊 \(H = 8\text{ cm}\)。求角 \(\theta\)。
1. 我們已知 \(A\) 和 \(H\)，所以選用 CAH：\(\cos(\theta) = \frac{A}{H}\)
2. 列出分數：\(\cos(\theta) = \frac{4}{8} = 0.5\)
3. 運用反三角函數：\(\theta = \cos^{-1}(0.5)\)
4. 在計算機上輸入：按 SHIFT \(\rightarrow\) cos \(\rightarrow\) \(0.5\) \(\rightarrow\) =
5. 結果：\(\theta = 60^\circ\)
6. 計算機設定要點與常見錯誤
檢查計算機模式
請務必確保你的科學計算機設定為角度模式（Degree Mode）（留意螢幕頂部是否顯示微小的 D 或 DEG 字樣）。如果顯示為 R（弧度，Radians）或 G（百分度，Gradians），計算出來的角度答案便會出錯！
應避免的常見錯誤
• 混淆對邊與鄰邊： 請記住，對邊正正位於角 \(\theta\) 的對面，而鄰邊則與它相鄰。
• 分數移項錯誤： 若 \(\sin(35^\circ) = \frac{7}{x}\)，切勿寫成 \(x = 7 \times \sin(35^\circ)\)。正確的移項應為 \(x = \frac{7}{\sin(35^\circ)}\)。
• 把 \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) 當成普通數字： 你不能透過除法將 \(\sin\) 與它的角度分開。單獨寫出「\(\sin\)」而不帶角度在數學上是沒有意義的——它是一個運算符號，而不是一個相乘的數字。
• 混淆反三角函數的符號： 符號 \(\sin^{-1}(x)\) 代表求角度的反函數，並不等於 \(\frac{1}{\sin(x)}\)。
• 三角比 vs 畢氏定理： 當題目只涉及三條邊長而完全沒有角度時，使用畢氏定理；當題目同時涉及邊長與角度時，便要使用三角比！
快速複習清單
• 斜邊（\(H\)） = \(90^\circ\) 直角的對邊（最長的邊）。
• 對邊（\(O\)） = 參考角 \(\theta\) 的對邊。
• 鄰邊（\(A\)） = 與參考角 \(\theta\) 相鄰的邊。
• SOH： \(\sin(\theta) = \frac{O}{H}\)
• CAH： \(\cos(\theta) = \frac{A}{H}\)
• TOA： \(\tan(\theta) = \frac{O}{A}\)
• 要求取未知角度，使用反三角函數：\(\sin^{-1}\)、\(\cos^{-1}\)、\(\tan^{-1}\)。
• 隨時檢查計算機螢幕是否顯示 DEG 或 D。