Number bases

介绍：为什么数制很重要

欢迎来到计算机科学数据表示的世界！这一章起初看起来可能纯粹是数学，但它却是计算机工作方式的绝对基石。为什么这么说？因为计算机既不会说英语，也不使用十进制（Base 10）；它们使用的是二进制（Base 2）——即由 0 和 1 组成的序列。

理解数制及其转换，能让你清楚地看到数据是如何在处理器内部存储、操作和表示的。这些知识对于后续学习汇编语言、浮点数以及数据存储计算等主题至关重要。

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1. 核心数制 (3.5.1)

1.1 十进制 (Base 10) – 我们日常使用的系统

我们每天都在使用十进制。它是十进制，因为它使用了 10 个唯一的数字（0 到 9）。

• 基数 (Base)： 10
• 使用的数字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

我们通过位值表示法 (Positional Notation) 来理解数值，其中数字的位置决定了它的 10 的幂次方。
示例： 十进制数 459 实际上是：

$$4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 9 \times 10^0$$

1.2 二进制 (Base 2) – 计算机的语言

计算机使用二进制，因为电子电路只能代表两种状态：开 (1) 或关 (0)。每一个 0 或 1 被称为一个位 (Bit)（二进制数字）。

• 基数 (Base)： 2
• 使用的数字： 0, 1

二进制也使用位值表示法，但它是基于 2 的幂次方。
示例： 一个 8 位的二进制数使用以下列权重：

$$128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1$$

1.3 十六进制 (Base 16) – 程序员的速记法

二进制字符串（如 110101100101）很快就会变得很长，人类读起来和记起来都很困难。十六进制 (Hex) 是二进制的一种便捷缩写。

• 基数 (Base)： 16
• 使用的数字： 0-9 和 A-F

十六进制使用 16 个唯一的符号。由于我们只有 10 个数字，因此字母 A 到 F 被用来表示 10 到 15 的值。

十进制	二进制 (4位)	十六进制
0	0000	0
9	1001	9
10	1010	A
15	1111	F

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2. 数制转换 (3.5.1)

你必须能够在这三种进制之间进行转换：十进制 (Base 10)、二进制 (Base 2) 和十六进制 (Base 16)。

2.1 二进制转十进制 (Base 2 转 Base 10)

这是最简单的转换：将每一位乘以其对应的 2 的幂次方，然后将结果相加。

步骤示例：将 \(101101_2\) 转换为十进制。

1. 写出位置列标题（2 的幂次方，从右侧的 \(2^0 = 1\) 开始）。
2. 将二进制数字填入对应的列中。
3. 将所有出现 '1' 的对应列数值相加。

$2^5 (32)$	$2^4 (16)$	$2^3 (8)$	$2^2 (4)$	$2^1 (2)$	$2^0 (1)$
1	0	1	1	0	1

$$32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$$

结果：\(101101_2 = 45_{10}\)

2.2 十进制转二进制 (Base 10 转 Base 2)

对于较大的数字，最可靠的方法是重复除以 2 法，并将余数逆序排列。

步骤示例：将 \(45_{10}\) 转换为二进制。

1. 将十进制数除以 2。
2. 记录余数（0 或 1）。
3. 用商重复上述过程，直到商为 0。
4. 从下（最高有效位 MSB）到上（最低有效位 LSB）读取余数。

除法运算	商	余数 (位)
$45 \div 2$	22	1
$22 \div 2$	11	0
$11 \div 2$	5	1
$5 \div 2$	2	1
$2 \div 2$	1	0
$1 \div 2$	0	1

向上读取：101101。
结果：\(45_{10} = 101101_2\)

转换要点： 二进制与十六进制的转换对于理解数据的内部结构（如内存地址或指令代码）至关重要。

2.3 二进制与十六进制的转换

这种转换既直接又简单，因为 \(16 = 2^4\)。一个十六进制位恰好完美对应四个二进制位。

二进制转十六进制：四位一组

从右侧（LSB）开始，将二进制数字每四个分成一组。将每一组转换为对应的十六进制数。

示例：将 \(1101011011_2\) 转换为十六进制。

1. 在左侧补零以凑满四位一组：0011 0101 1011
2. 转换每一组：
   • $0011_2 = 3_{16}$
   • $0101_2 = 5_{16}$
   • $1011_2 = B_{16}$ （因为 $11_{10} = B_{16}$）
3. 组合结果：35B

结果：\(1101011011_2 = 35B_{16}\)

十六进制转二进制：每一位展开

将每一个十六进制位转换为其对应的 4 位二进制序列。

示例：将 \(E7_{16}\) 转换为二进制。

1. 转换 E：$E_{16} = 14_{10} = 1110_2$
2. 转换 7：$7_{16} = 7_{10} = 0111_2$
3. 组合结果：11100111

结果：\(E7_{16} = 11100111_2\)

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3. 信息单位 (3.5.2)

3.1 位与字节

最小的信息单位是位 (Bit, b)。一位存储一个 0 或 1。

计算机内存和存储中使用的基本单位是字节 (Byte, B)。

• 一个字节是由 8 位组成的。
• 一个字节可以表示 \(2^8 = 256\) 种不同的值（从 0 到 255）。

3.2 \(2^n\) 规则

如果你有 \(n\) 位，总共可以表示 \(2^n\) 种不同的值。

你知道吗？ 计算机系统中可寻址的内存总量也取决于地址总线的位数（例如，32 位地址总线可以访问 \(2^{32}\) 个位置）。

示例：

• 2 位可以表示 \(2^2 = 4\) 种值（00, 01, 10, 11）。
• 3 位可以表示 \(2^3 = 8\) 种值（000 到 111）。
• 16 位可以表示 \(2^{16} = 65,536\) 种值。

3.3 十进制前缀 vs. 二进制前缀

在讨论存储容量（KB, MB 等）时，存在两种基于 10 的幂次方或 2 的幂次方的系统。区分标准的十进制前缀（kilo, mega）和二进制前缀（kibi, mebi）至关重要。

十进制前缀（10 的幂次方）

这些是数学和大多数存储制造商（如硬盘）使用的标准单位。

名称	符号	10 的幂次方	近似值
kilo	k	$10^3$	1,000
mega	M	$10^6$	1,000,000
giga	G	$10^9$	1,000,000,000
tera	T	$10^{12}$	$10^{12}$

示例：1 kB (kilobyte) = $10^3$ 字节 (1,000 字节)

二进制前缀（2 的幂次方）

这些前缀被计算机系统用来指代内存和数据大小，因为计算机的一切都是基于 2 的幂次方的。标准的二进制前缀在中间加入了 "bi"（kibi, mebi, gibi, tebi）。

名称	符号	2 的幂次方	精确值
kibi	Ki	$2^{10}$	1,024
mebi	Mi	$2^{20}$	1,048,576
gibi	Gi	$2^{30}$	$2^{30}$
tebi	Ti	$2^{40}$	$2^{40}$

示例：1 KiB (kibibyte) = $2^{10}$ 字节 (1,024 字节)

类比： 把这想象成测量长度。十进制的 kilo 刚好是 1000 米，而二进制的 kibi 稍微长一点，是 1024 米。

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4. 用二进制表示整数 (3.5.3)

4.1 无符号二进制 (3.5.3.1)

无符号二进制 (Unsigned binary) 用于表示正整数（和零）。术语“无符号”意味着没有专门的位来指示数字是正还是负。

• 所有的位都对数字的大小做出贡献。
• 最小值始终为 0。
• 对于 \(n\) 位，最大值为 \(2^n - 1\)。

示例： 在 8 位无符号二进制中，范围是 0 到 \(2^8 - 1\)（即 0 到 255）。

4.2 无符号二进制算术 (3.5.3.2)

二进制加法

二进制加法遵循简单的规则，就像十进制加法一样，但在和达到 2 时会发生进位。

$A$	$B$	和	进位
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1 (进位 1)
1 + 1 + 进位 1		1	1 (进位 1)

示例：在 4 位中进行 \(5_{10} + 3_{10}\)

   1  1  0  0 <-- 进位
     0  1  0  1  (5)
+    0  0  1  1  (3)
-----------------
     1  0  0  0  (8)

处理溢出

如果加法的结果超出了分配的位数的最大范围，就会发生溢出 (Overflow)。这个额外的位会丢失，导致结果错误。
示例： 在 4 位无符号二进制中添加 \(15 + 1\)：

     1  1  1  1  (15)
+    0  0  0  1  (1)
-----------------
(1)  0  0  0  0  (0 - 错误！)

第 5 位（1）是溢出位，它被丢弃了，这意味着 \(15 + 1\) 看起来等于 0。

二进制乘法

二进制乘法使用简单的移位和加法，类似于十进制的长乘法，但我们只需要乘以 0 或 1。

示例：\(101_2 \times 11_2\) (\(5 \times 3\))

      1 0 1
    x 0 1 1
    -------
      1 0 1 (101 x 1)
+  1 0 1 0 (101 x 1 左移一位)
    -------
   1 1 1 1  (15)

结果：\(1111_2 = 15_{10}\)

4.3 使用补码 (Two's Complement) 表示有符号二进制 (3.5.3.3)

为了表示负数，我们使用有符号二进制 (Signed binary)。在本大纲中，你需要掌握的唯一方法是补码 (Two's Complement)。

在补码中，最高有效位 (MSB)（最左边的位）作为符号指示符：

• 如果 MSB 是 0，数字为正。
• 如果 MSB 是 1，数字为负。

将正十进制转换为补码

这与转换为无符号二进制相同，但如果你是在特定的位数长度内（例如 8 位）工作，则必须确保有一个前导零。

示例： +13 在 8 位中表示为 \(00001101_2\)。

将负十进制转换为补码

遵循“取反加一” (Flip and Add 1) 方法：

1. 找到该数字的正二进制表示（例如，对于 -13，使用 +13）。
2. 取反 (Flip) 所有位（0 变成 1，1 变成 0）。这就是反码 (One's Complement)。
3. 将结果加 1。

步骤示例：将 \(-13_{10}\) 转换为 8 位补码。

1. 正 13：\(00001101\)
2. 位取反（反码）：\(11110010\)
3. 加 1：

       11110010
   +          1
       --------
       11110011
           

结果：\(-13_{10} = 11110011_2\)。 (注意 MSB 是 1，确认它是负数)。

将补码转换回十进制

如果 MSB 是 0，像往常一样转换（它是正数）。

如果 MSB 是 1（它是负数），你可以使用这个快捷方法：将 MSB 视为负权重，并正常求和其余部分。

示例：将 \(11110011_2\) 转换回十进制 (8 位)。

$-2^7 (-128)$	$2^6 (64)$	$2^5 (32)$	$2^4 (16)$	$2^3 (8)$	$2^2 (4)$	$2^1 (2)$	$2^0 (1)$
1	1	1	1	0	0	1	1

$$(-128) + 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = -13$$

补码减法

在计算机算术中，减法 (A - B) 是通过加上 B 的负数来完成的：$$A - B = A + (-B)$$

步骤示例：在 8 位中进行 \(25_{10} - 10_{10}\)。

我们要执行的是 \(25 + (-10)\)。

1. 正 25：\(00011001\)
2. 负 10 (\(-10_{10}\))：
   • 正 10：00001010
   • 取反：11110101
   • 加 1：11110110
3. 将两个二进制数相加：

     1 1 1 1 1 0 0 0 <-- 进位
       0 0 0 1 1 0 0 1  (25)
   +   1 1 1 1 0 1 1 0  (-10)
   ------------------
   (1) 0 0 0 0 1 1 1 1  (15)
           

最后的进位（括号中的）在补码算术中被丢弃。剩下的 8 位 \(00001111_2\)，转换为 \(15_{10}\)。

结果：减法通过加法成功完成。

补码的 \(n\) 位范围

由于其中一位专门用于符号位，所以最大范围比无符号二进制要小。

对于 \(n\) 位，范围是：

$$\text{最小值：} -2^{n-1}$$ $$\text{最大值：} +2^{n-1} - 1$$

示例： 对于 8 位 (\(n=8\))：

• 最小值：$-2^{(8-1)} = -2^7 = -128$
• 最大值：$2^{(8-1)} - 1 = 2^7 - 1 = 127$