导言：迈向多维世界
欢迎来到“进阶力学 1”（Further Mechanics 1）的学习！在基础数学课程中，我们主要处理的是直线运动（一维）。现在，我们要升级了。在这一章，我们将探索物体在平面内的自由运动——比如海上航行的船只或空中飞行的飞机。这需要使用向量来描述位置、速度和位移。
如果之前你觉得向量很难理解，不用担心；我们将通过拆解的方式，让你明白如何利用向量让二维力学变得更清晰、更易于处理！
第 1 节：用向量表示位置与速度
位置、位移、速率与速度
在二维平面中，我们需要两条信息来确定物体的位置或描述其运动：
- 位置 (\( \mathbf{r} \))：这是质点相对于固定原点 \( O \) 的位置。由于是在二维平面内，该向量是从 \( O \) 指向质点的向量。
- 位移 (\( \mathbf{s} \))：这是位置的变化量。如果质点从位置 \( \mathbf{r}_1 \) 移动到 \( \mathbf{r}_2 \)，则位移为 \( \mathbf{s} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \)。位移是一个向量。
- 速度 (\( \mathbf{v} \))：这是位置的变化率，包含大小（量级）和方向。速度是一个向量。
- 速率：这是速度向量的大小（即长度）。速率是一个标量（只有大小，没有方向）。
向量表示法
在进阶力学中，所有的位置和速度都使用单位向量 \( \mathbf{i} \) 和 \( \mathbf{j} \)，或以列向量的形式来表示。
假设一个质点位于原点东向（\( \mathbf{i} \) 方向）3 个单位，北向（\( \mathbf{j} \) 方向）4 个单位的位置：
$$ \text{位置 } \mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} \quad \text{或} \quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
如果它的速度是 \( \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} \)，这意味着：
- 它正以 \( 2 \text{ m/s} \) 的速度在正 \( \mathbf{i} \)（水平）方向上移动。
- 它正以 \( 1 \text{ m/s} \) 的速度在负 \( \mathbf{j} \)（垂直）方向上移动。
求速率：速率就是速度向量的量级。我们利用勾股定理！
如果 \( \mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} \)，则： $$ \text{速率} = |\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ 例：如果 \( \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} \)，速率为 \( |\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \text{ m/s} \)。
关键要点：向量至关重要
在二维运动中，一定要将位置、位移和速度视为向量。速率则是速度向量的标量大小。
第 2 节：恒定速度下的运动
本章仅关注速度恒定的情况。这是一个巨大的简化！这意味着质点正以恒定的速率沿直线运动，且至关重要的一点是，其加速度为零。
基本方程
你已经了解了一维力学中的关系：位移 = 速度 × 时间。而在向量形式下，它更加强大：
如果一个质点从位置 \( \mathbf{r}_0 \)（初始位置向量）出发，并以恒定速度 \( \mathbf{v} \) 运动，那么它在时间 \( t \) 后的位移为 \( \mathbf{v} t \)。
求随时间变化的位置
质点在时间 \( t \) 的位置向量 \( \mathbf{r} \) 由下式给出：
$$ \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t $$
这个方程在本主题中会被反复使用。它能让你准确求出质点在任意时刻的位置。
分步示例：求位置
- 确定初始位置向量 \( \mathbf{r}_0 \)。（即 \( t=0 \) 时刻的位置）。
- 确定恒定速度向量 \( \mathbf{v} \)。
- 将它们代入方程 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t \)。
- 将 \( \mathbf{i} \) 分量合并，将 \( \mathbf{j} \) 分量合并。
示例：一个质点从 \( \mathbf{r}_0 = 5\mathbf{i} - 3\mathbf{j} \) 出发，并以 \( \mathbf{v} = -2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} \text{ m/s} \) 的速度运动。
时间 \( t \) 时刻的位置：
$$
\mathbf{r} = (5\mathbf{i} - 3\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) t
$$
$$
\mathbf{r} = (5 - 2t)\mathbf{i} + (-3 + 4t)\mathbf{j}
$$
位置被分解为两个相互独立的组件：\( x = 5 - 2t \) 和 \( y = -3 + 4t \)。这就是为什么二维运动如此简单——水平方向和垂直方向的运动互不干扰！
避免常见错误！
永远记住初始位置 \( \mathbf{r}_0 \)。学生们经常忘记加上这个向量，导致只计算了位移 \( \mathbf{v} t \)，而忽略了最终位置 \( \mathbf{r} \)。
关键要点：核心公式
对于恒定速度运动，请熟记并掌握：\( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t \)。
第 3 节：涉及合速度的问题
有时，物体的速度会受到周围介质的影响。典型的例子是水流中的船，或者风中的飞机。
合速度（Resultant velocity）是物体相对于地面（或固定点）实际可观察到的速度。
合成速度（向量加法）
如果物体 \( A \) 相对于介质 \( M \)（例如水/空气）的速度为 \( \mathbf{v}_A \)，而介质 \( M \) 相对于地面 \( G \) 的速度为 \( \mathbf{v}_M \)，那么合速度 \( \mathbf{v}_{A G} \) 是两者的向量和：
$$ \mathbf{v}_{A G} = \mathbf{v}_{A M} + \mathbf{v}_{M G} $$
类比：想象你在移动的自动扶梯上行走。你的行走速度（相对于扶梯）与扶梯的速度（相对于地面）结合，就构成了你的整体速度。
解题方法：分量法 vs. 向量三角形法
你可以通过两种主要方法来解决合速度问题：
- 分量法（推荐用于复杂问题）：
- 将所有给定的速度分解为 \( \mathbf{i} \)（水平）和 \( \mathbf{j} \)（垂直）分量。
- 将 \( \mathbf{i} \) 分量相加。
- 将 \( \mathbf{j} \) 分量相加。
- 所得向量 \( \mathbf{v} = (\sum \mathbf{i})\mathbf{i} + (\sum \mathbf{j})\mathbf{j} \) 即为合速度。
- 向量三角形法（适用于简单的方向/速率问题）：
如果已知量级和方向（角度），你可以绘制一个向量三角形（首尾相接相加），并使用正弦定理或余弦定理求出合向量的大小和方向。
你知道吗？
向量分解（将向量拆分为分量）的概念本质上就是三角函数！如果速度 \( V \) 与 x 轴正方向夹角为 \( \theta \)，那么其分量即为 \( V \cos \theta \cdot \mathbf{i} \) 和 \( V \sin \theta \cdot \mathbf{j} \)。
关键要点：加法是关键
合速度始终是物体速度与介质速度的向量和。
第 4 节：相对速度
这是力学中最有趣的部分。相对速度是指在一个物体上观察者所看到的另一个物体的速度。
定义与公式
设 \( A \) 和 \( B \) 是两个相对于地面运动的质点，速度分别为 \( \mathbf{v}_A \) 和 \( \mathbf{v}_B \)。
\( A \) 相对于 \( B \) 的速度，记作 \( \mathbf{v}_{A B} \)，是指如果你站在 \( B \) 上时，\( A \) *看起来*具有的速度。
公式很简单，即速度向量之差：
$$ \mathbf{v}_{A B} = \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B $$
注意顺序：第一个下标 (A) 是被观察的质点，第二个下标 (B) 是观察者。
分析相对运动
相对速度的概念非常强大，因为它将二维运动简化为一维运动。如果你计算出 \( \mathbf{v}_{A B} \)，就可以假设观察者 \( B \) 在原点静止，而质点 \( A \) 正以速度 \( \mathbf{v}_{A B} \) 直接向观察者靠近或远离。
相对位移 就像普通位置一样，我们定义相对位置向量 \( \mathbf{r}_{A B} \)：
$$ \mathbf{r}_{A B} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B $$
该向量告诉你 \( A \) 相对于 \( B \) 的位置。如果 \( A \) 和 \( B \) 以恒定速度运动，相对位置会随着时间根据熟悉的恒速公式而改变：
$$ \mathbf{r}_{A B}(t) = \mathbf{r}_{A B}(0) + \mathbf{v}_{A B} t $$
其中 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 是初始分离向量（即 \( t=0 \) 时两者的距离）。
关键要点：减法法则
相对速度 \( \mathbf{v}_{A B} \) 永远等于 \( \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B \)。这能将复杂的二维运动简化为一条直线上的相对运动。
第 5 节：相对运动的关键应用
相对速度对于解决两类标准问题至关重要：拦截和最近距离。
拦截（碰撞）
如果两个物体 \( A \) 和 \( B \) 在同一时间 \( T \) 处于同一物理位置，则它们发生拦截（或碰撞）。我们可以通过两种方式求解：
- 使用绝对位置：
在 \( T \) 时刻使它们的位置向量相等： $$ \mathbf{r}_A(T) = \mathbf{r}_B(T) $$ 因为 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t \)，我们将 \( \mathbf{i} \) 分量相等且 \( \mathbf{j} \) 分量相等，从而得到两个联立方程来解 \( T \)。
- 使用相对速度（通常更快）：
要发生拦截，时刻 \( T \) 的相对位移向量 \( \mathbf{r}_{A B} \) 必须为 \( \mathbf{0} \)。这意味着质点 \( A \)（在 \( B \) 看来）必须正好走完初始分离距离 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \)。
如果题目询问某质点必须沿什么方向运动才能拦截另一个质点，这种方法特别有用。
必要条件： \( \mathbf{v}_{A B} \) 必须平行于初始相对位置向量 \( \mathbf{r}_{B A}(0) \)（连接 B 到 A 的线）。
最近距离
当两个质点都在运动但不会碰撞时，我们通常需要求它们之间的最短距离。这发生在它们的相对速度向量与相对位移向量垂直时。
我们完全使用相对位移向量来工作： $$ \mathbf{r}_{rel} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B = \mathbf{R} $$ （其中 \( \mathbf{R} \) 是时间 \( t \) 的函数）。
方法 1：微积分（最小化距离平方）
这通常是最稳健的数学方法。由于最小距离 \( |\mathbf{R}| \) 出现的时刻 \( t \) 与最小距离平方 \( |\mathbf{R}|^2 \) 出现的时刻相同，我们使用平方距离来避免开根号。
步骤：
- 求出相对位置向量：\( \mathbf{R} = (a+ct)\mathbf{i} + (b+dt)\mathbf{j} \)。
- 计算距离的平方：\( D^2 = |\mathbf{R}|^2 = (a+ct)^2 + (b+dt)^2 \)。
- 对 \( D^2 \) 关于 \( t \) 求导：\( \frac{d(D^2)}{dt} \)。
- 令 \( \frac{d(D^2)}{dt} = 0 \) 并求出最近距离发生的时刻 \( t \)。
- 将此 \( t \) 值代回 \( |\mathbf{R}| \) 以求出最小距离。
方法 2：几何法 / 配方法
如果你比起微积分更喜欢代数，通常可以使用对 \( D^2 \) 表达式进行配方的方法。这有助于在不求导的情况下找到最小值。
或者，几何法利用了这一思想：最近距离是观察者 \( B \) 的初始位置到 \( A \) 的运动轨迹线（相对于 \( B \)）的垂直距离。
几何法步骤：
- 计算 \( \mathbf{v}_{A B} \)。这确定了相对运动的路径。
- 计算初始相对位置 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \)。
- 最短距离是从原点（假设 \( B \) 在此处静止）到穿过 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 且平行于 \( \mathbf{v}_{A B} \) 的直线的垂直距离。
注：这通常涉及找出 \( \mathbf{v}_{A B} \) 与 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 之间的夹角，并使用基本的三角函数（SOH CAH TOA）。
快速回顾：相对运动检查清单
1. 定义向量： 确定 \( \mathbf{r}_A, \mathbf{v}_A, \mathbf{r}_B, \mathbf{v}_B \)。
2. 计算相对速度： \( \mathbf{v}_{A B} = \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B \)。
3. 计算相对位置： \( \mathbf{r}_{A B}(t) = (\mathbf{r}_A(0) - \mathbf{r}_B(0)) + \mathbf{v}_{A B} t \)。
4. 求解问题：
- 拦截： 令 \( \mathbf{r}_{A B}(T) = \mathbf{0} \)。
- 最近距离： 使用微积分或几何法最小化 \( |\mathbf{r}_{A B}(t)|^2 \)。