Further Mathematics (9665) 学习笔记：FP2.9 双曲函数
你好，未来的专家！欢迎来到迷人的双曲函数世界。别担心，虽然它们看起来和三角函数（\(\sin, \cos, \tan\)）很像，但它们实际上是用美妙的指数函数 \(e^x\) 定义的。本章是高等微积分和几何学的核心，让我们开始吧！
你将学到什么？ 你将学习与 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\) 相关的定义、基本恒等式、图像、导数以及积分技巧，并掌握如何求解涉及它们的方程。
第 1 节：定义双曲函数（构建模块）
双曲函数本质上是 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 的组合。之所以称它们为“双曲”函数，是因为它们与单位双曲线 \(x^2 - y^2 = 1\) 的关系，就像三角函数与单位圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 的关系一样。
1.1 核心定义
两个最基本的双曲函数是双曲正弦（\(\sinh x\)）和双曲余弦（\(\cosh x\)）。
- 双曲余弦 (cosh)： 指数函数的偶函数组合。
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$ - 双曲正弦 (sinh)： 指数函数的奇函数组合。
$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$
记忆小窍门： 想想 \(\mathbf{C} \cosh x\) 中的字母“H”，它看起来像是一个侧放的加号（+），这能帮你记住定义中包含加法。
1.2 次级双曲函数
正如三角函数一样，我们也有倒数和比值函数：
- 双曲正切 (tanh)： $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$
- 双曲正割 (sech)： $$\mathrm{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$$
- 双曲余割 (cosech)： $$\mathrm{cosech} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$$
- 双曲余切 (coth)： $$\coth x = \frac{1}{\tanh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$$
关键点： 所有双曲函数本质上都是通过指数形式定义的。当拿不准时，请将其转化回 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\)！
第 2 节：双曲函数基本恒等式
双曲函数之间的关系与三角函数非常相似，但要注意符号上的关键差异！
2.1 主恒等式（需掌握证明）
与 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 等价的双曲函数基本恒等式中，存在一个减号：
恒等式 1： $$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$
证明： 考试常考此证明，让我们一步步来：
- 从左边 (LHS) 开始：\(\cosh^2 x - \sinh^2 x\)
- 代入指数定义： $$LHS = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2$$
- 展开平方项（记住 \((e^x)^2 = e^{2x}\) 且 \(e^x e^{-x} = e^0 = 1\)）： $$LHS = \frac{1}{4} (e^{2x} + 2(1) + e^{-2x}) - \frac{1}{4} (e^{2x} - 2(1) + e^{-2x})$$
- 提取 \(1/4\)： $$LHS = \frac{1}{4} [ (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) ]$$
- 化简括号内的项（注意 \(e^{2x}\) 和 \(e^{-2x}\) 相消）： $$LHS = \frac{1}{4} [ 2 - (-2) ] = \frac{1}{4} [ 4 ] = 1$$ 从而证明了 \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)。
2.2 次级恒等式
我们将主恒等式分别除以 \(\cosh^2 x\) 或 \(\sinh^2 x\) 即可得到：
除以 \(\cosh^2 x\)： $$\frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x}$$ $$\mathbf{1 - \tanh^2 x = \mathrm{sech}^2 x}$$
除以 \(\sinh^2 x\)： $$\frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\sinh^2 x} = \frac{1}{\sinh^2 x}$$ $$\mathbf{\coth^2 x - 1 = \mathrm{cosech}^2 x}$$
2.3 加法公式（需会使用与证明）
你必须熟悉如何利用指数定义证明 \(\sinh(x+y)\) 等恒等式。
- $$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$$
- $$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$$
（注意：对于 \(\cosh(x+y)\)，加号保持不变，这与三角函数中 \(\cos(A+B)\) 符号改变的情况不同）。
复习盒：需要熟记的核心恒等式
$$ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 $$ $$ 1 - \tanh^2 x = \mathrm{sech}^2 x $$ $$ \coth^2 x - 1 = \mathrm{cosech}^2 x $$
关键点： 基本恒等式是 \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)。一定要记住那个减号！
第 3 节：双曲函数的图像
理解这些图像的形状对于确定定义域、值域以及求解反函数至关重要。
3.1 y = \(\sinh x\) 的图像
- 形状： 看起来像拉伸后的三次函数，经过原点 (0, 0)。
- 对称性： 它是奇函数：\(\sinh(-x) = -\sinh x\)。
- 定义域： \(x \in \mathbb{R}\)（所有实数）。
- 值域： \(y \in \mathbb{R}\)（所有实数）。
3.2 y = \(\cosh x\) 的图像
- 形状： 这条曲线称为悬链线 (catenary)。它是完全柔性的链条或缆绳在两点间悬挂时的形状。
- 对称性： 它是偶函数：\(\cosh(-x) = \cosh x\)。
- 最低点： (0, 1)。
- 定义域： \(x \in \mathbb{R}\)。
- 值域： \(y \ge 1\)。（定义反函数时，这个限制条件非常关键！）
你知道吗？ 美国圣路易斯的“大拱门”正是基于倒悬链线设计的！
3.3 y = \(\tanh x\) 的图像
- 形状： 单调递增。
- 渐近线： 当 \(x \to \infty\) 时，\(e^{-x} \to 0\)，因此 \(\tanh x \to \frac{e^x}{e^x} = 1\)。当 \(x \to -\infty\) 时，\(e^x \to 0\)，因此 \(\tanh x \to \frac{-e^{-x}}{e^{-x}} = -1\)。
- 值域： \(-1 < y < 1\)。
关键点： \(\cosh x\) 的值域有限制 (\(y \ge 1\))，这会影响其反函数。\(\tanh x\) 的值始终在 -1 和 1 之间。
第 4 节：反双曲函数（对数形式）
因为双曲函数是由指数函数构成的，所以它们的反函数总是可以用对数表示。这些对数形式在公式手册中会有提供，但你可能会被要求证明它们。
4.1 反双曲正弦：\(\mathrm{arsinh} x\) 或 \(\sinh^{-1} x\)
对数形式： $$\sinh^{-1} x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}), \quad x \in \mathbb{R}$$
\(\sinh^{-1} x\) 的逐步证明：
- 令 \(y = \sinh^{-1} x\)，这意味着 \(x = \sinh y\)。
- 代入指数定义： $$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$$
- 移项以去分母，并乘以 \(2e^y\) 以消除 \(e^{-y}\)： $$2x e^y = e^{2y} - e^0$$ $$2x e^y = e^{2y} - 1$$
- 整理为关于 \(e^y\) 的二次方程： $$(e^y)^2 - 2x(e^y) - 1 = 0$$
- 使用求根公式解 \(e^y\)： $$e^y = \frac{-(-2x) \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2} = \frac{2x \pm 2\sqrt{x^2 + 1}}{2}$$ $$e^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1}$$
- 由于 \(e^y\) 必须为正，我们必须取正根（因为 \(x + \sqrt{x^2+1}\) 始终为正）： $$e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$$
- 两边取自然对数 (ln)： $$y = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$$ （证明完毕！）
4.2 反双曲余弦：\(\mathrm{arcosh} x\) 或 \(\cosh^{-1} x\)
由于 \(\cosh x\) 的值域受限 (\(y \ge 1\))，其反函数的定义域必须受限。
对数形式： $$\cosh^{-1} x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1}), \quad x \ge 1$$
注： 证明过程与 \(\sinh^{-1} x\) 的二次方程法相同，最终会导致 \(\sqrt{x^2 - 1}\) 项的出现，这就是定义域必须为 \(x \ge 1\) 的原因。
4.3 反双曲正切：\(\mathrm{artanh} x\) 或 \(\tanh^{-1} x\)
对数形式： $$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right), \quad -1 < x < 1$$
关键点： 反双曲函数的证明都涉及转换为指数形式并解关于 \(e^y\) 的二次方程。
第 5 节：双曲函数的微积分
双曲函数的一个极好特点是它们的导数非常整洁！你必须掌握微分结果的证明，并能将其应用于积分。
5.1 微分（需掌握证明）
微分证明直接依赖于指数定义。
- \(\sinh x\) 的导数： $$\frac{d}{dx}(\sinh x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$ $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x}$$
- \(\cosh x\) 的导数： $$\frac{d}{dx}(\cosh x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x + (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$ $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x}$$
- \(\tanh x\) 的导数： $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\tanh x) = \mathrm{sech}^2 x}$$
类比/记忆小窍门： 将其与标准三角函数对比：
| 三角函数 | 双曲函数 |
|---|---|
| \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\) | \(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\) |
| \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) （注意有负号！） | \(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\) （无负号！） |
鼓励一下： 双曲微分中负号较少，通常处理起来更容易！
5.2 反双曲函数的微分
反函数的导数结果会给出在公式手册中，并会被频繁使用：
- $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}$$
- $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}}$$
- $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1 - x^2}}$$
5.3 积分应用
涉及双曲函数的积分通常依赖于识别积分是某个反函数的导数。你必须能够熟练运用与这些反函数相关的标准积分：
标准积分：
- $$\mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \sinh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C}$$
- $$\mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \cosh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C}$$
- $$\mathbf{\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{a} \tanh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C} \quad (\text{对于 } |x| < |a|)$$
常见的易错点： 不要混淆 \(\sqrt{a^2 - x^2}\)（对应 \(\sin^{-1}\)）和 \(\sqrt{x^2 - a^2}\)（对应 \(\cosh^{-1}\)）的积分公式。请注意 \(x^2\) 和 \(a^2\) 的顺序至关重要！
关键点： \(\cosh x\) 的微分得到正的 \(\sinh x\)。积分则经常导向反函数的对数形式。
第 6 节：求解 \(a \sinh x + b \cosh x = c\) 形式的方程
当求解同时包含 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\) 的方程时，最可靠的方法是回到它们的指数定义。这将问题转化为关于 \(e^x\) 的二次方程。
步骤说明
假设需要求解 \(2 \sinh x + 3 \cosh x = 4\)。
- 代入定义： 替换 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\)： $$2 \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) + 3 \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = 4$$
- 去分母： 方程两边同时乘以 2： $$2(e^x - e^{-x}) + 3(e^x + e^{-x}) = 8$$
- 展开并合并 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 项： $$(2e^x - 2e^{-x}) + (3e^x + 3e^{-x}) = 8$$ $$5e^x + e^{-x} = 8$$
- 构建关于 \(e^x\) 的二次方程： 方程整体乘以 \(e^x\)。因为 \(e^x \cdot e^{-x} = 1\)，得到： $$5(e^x)^2 + 1 = 8e^x$$ 整理为标准二次方程形式（令 \(u = e^x\)）： $$\mathbf{5u^2 - 8u + 1 = 0}$$
- 解二次方程： 使用求根公式求 \(u\) 的值： $$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(5)(1)}}{10} = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{10} = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{10}$$ $$u = \frac{4 \pm \sqrt{11}}{5}$$
- 求解 \(x\)： 记住 \(u = e^x\)。因为 \(e^x\) 必须为正，且此处两个解皆为正数（因为 \(\sqrt{11} \approx 3.3\)），所以两者均有效： $$x = \ln \left(\frac{4 + \sqrt{11}}{5}\right) \quad \text{和} \quad x = \ln \left(\frac{4 - \sqrt{11}}{5}\right)$$
重要提示： 如果二次方程步骤得出了 \(u\) 的负值，则该根必须舍去，因为 \(e^x\) 不可能为负！
关键点： 要求解混合双曲方程，始终将其转换为指数形式，构建关于 \(e^x\) 的二次方程，并使用对数求出最终答案。